Le but de ce probleme est d'analyser quelques proprietes de schemas numeriques utilises pour la discretisation de systemes hamiltoniens Dans toute la suite on note R le corps des reels et Mn R l'espace des matrices reelles carrees de taille n avec n un entier strictement positif Si A Mn R on note AT sa matrice transposee Une matrice est dite symetrique si elle satisfait AT A et antisymetrique si elle satisfait AT A De meme si y Rn

Description

Introduction et notations Le but de ce probleme est d'analyser quelques proprietes de schemas numeriques utilises pour la discretisation de systemes hamiltoniens. Dans toute la suite, on note R le corps des reels et Mn(R) l'espace des matrices reelles carrees de taille n (avec n un entier strictement positif). Si A ? Mn(R), on note AT sa matrice transposee. Une matrice est dite symetrique si elle satisfait AT = A et antisymetrique si elle satisfait AT = ?A. De meme, si y ? Rn est un vecteur colonne ou ligne, on note yT le vecteur transpose. On notera y1, . . . , yn les composantes d'un tel vecteur. On dit qu'une application d'un ouvert U de Rn dans Rm est de classe Cp si elle est p fois differentiable avec des derivees successives continues sur U . Si H est une fonction C1 de Rn dans R, on note ?H(y) le vecteur colonne de composantes (?H(y))i = ∂H ∂yi (y), pour i = 1, . . . n. De meme, si H est C2, on note ?2H(y) sa matrice hessienne de composantes (?2H(y))ij = ∂2H ∂yi∂yj (y), pour i, j = 1, . . . n.

• application c1


• r2d


• classe cp


• espace des matrices reelles


• methode de stormer-verlet definie


• composante

Sujets

• Composante

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Extrait

Introduction et notations

Lebutdeceprobl`emeestd’analyserquelquespropri´et´esdesche´masnume´riquesutilis´es pourladiscre´tisationdesyste`meshamiltoniens.Danstoutelasuite,onnoteRle corps des re´elsetM n (Rdesepscal)e’llesr´eeicesmatrelliatedsee´rracn(avecnun entier strictement T positif). SiA∈M n (R), on noteAeuqirttdesceri´eymesitnapssoe´.enUmetasamatricetr T T n si elle satisfaitA=Atitasiafsrtqimye´leeleuisntisetaA=−AiD.ˆeem,smey∈R T est un vecteur colonne ou ligne, on noteyratenoOne.s´opsnartruetcevely 1 , . . . , y n les composantes d’un tel vecteur. n m p On dit qu’une application d’un ouvertUdeRdansRest de classeCsi elle estp 1 foisdiff´erentiableavecdesde´riv´eessuccessivescontinuessurU. SiHest une fonctionC n deRdansR, on noterH(y) le vecteur colonne de composantes ∂H (rH(y)) i = (y),pouri= 1, . . . n. ∂y i 2 2 Demeˆme,siHestC, on noterH(y) sa matrice hessienne de composantes 2 ∂ H 2 (rH(y)) ij = (y),pouri, j= 1, . . . n. ∂y i ∂y j

n m1 Sig:R→Rest une applicationC, pournetmtneisrodnne´,snoedteosne n0 (g i (y)) i=1,∙∙∙,m le vecteur colonne correspondant, poury∈R, etg(y) sa matrice ja- cobienne`amlignes etncolonnes, de composantes 0 ∂g i (g(y)) ij = (y), i= 1, . . . , m,etj= 1, . . . , n. ∂y j 0pT m Remarquonsquedanslecasou`m= 1, on ag(y) =rg(y) . Sih:R→R,z7→h(z), 1 est une applicationCe´rcrilematairecjacobiennedesrolatuepno,h◦gsous la forme 0 0 0n (h◦g) (y) =h(g(y))∙g(y), y∈R,

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