Mathématiques 1 2003 Classe Prepa TSI Concours Instituts Nat. Polytechniques (INP - ENSI)

Vincent

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Concours du Supérieur Concours Instituts Nat. Polytechniques (INP - ENSI). Sujet de Mathématiques 1 2003. Retrouvez le corrigé Mathématiques 1 2003 sur Bankexam.fr.

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• Publié par: bankexam
• Publié le: 28 février 2007
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• Langue: Français

Extrait

ÉPREUVE SPÉCIFIQUE FILIÈRE TSI – SESSION 2003 ______________________ MATHÉMATIQUES 1 Durée : 4 heures Les calculatrices sont interdites. NB. :Le candidat attachera la plus grande importance à la clarté, à la précision et à la concision de la rédaction. Si un candidat est amené à repérer ce qui peut lui sembler être une erreur d’énoncé, il le signalera sur sa copie et devra poursuivre sa composition en expliquant les raisons des initiatives qu’il a été amené à prendre. Les cinq parties du problème sont indépendantes αdésignant un réel non nul, on note f α la fonction définie surRpar f α ( x) = cos(αx). PARTIE I 1. Montrerquon peut se limiter àα>0 (ce quon fera dans toute la suite du problème). 2. Vérifierque f α est périodique ; on notera T α une période strictement positive. 3. Dequelle équation différentielle linéaire, du second ordre, à coefficients réels constants, homogène, f α est-elle solution ? Résoudre cette équation différentielle. 4. Onnote respectivement E et d la partie entière et la partie décimale deα. Cest-à-direα= E + d, avec E entier naturel et 0≤d<1. Déterminer en fonction de E et d le nombre de solutions dans [0,π] de f α (x) = 0. PARTIE II On pose f α,β = f α + f β , oùαetβsont des réels strictement positifs distincts. 1. Montrerque f α,β est périodique si et seulement si il existe deux entiers naturels non nuls k et p tels que : kα= pβ(on pourra envisager x = 0). On notera T α,β une période de f α,β . 2. Relieralors T α,β à T α et T β . 3. αetβétant à nouveau quelconques (mais toujours réels strictement positifs distincts), montrer 2 22 '' la relation : f α,β + αf α,β = (α-β) f β . (4) 22 22 4. Endéduire que f α,β est solution de léquation (E) : y+ (α+β)y''+α βy = 0. ' ' 5. Vérifierque f α est solution de (E). En déduire que f β , f α , également solutions de (E).f sont β

6. Enadmettant que lensemble des solutions de (E) est un espace vectoriel de dimension 4, ' ' montrer que la famille ( f α , f β , f α , f )en constitue une base. β PARTIE III On sintéresse àf 1 , que pour simplifier on note f. ,1 2 1. Montrerque [0,2π] est un intervalle suffisant à létude de f. 2. Etudierles variations de f sur [0,2 π ] ; (on notera x 0 le point de ]0,2 π [ où0).f ' (x) = 3. Déterminer f(x 0 ). 4. Discutersuivant c le nombre de solutions dans [0,2π] de léquation f(x) = c. 5. Préciserles solutions dans les cas c = -1 et c = 0. 6. Onse place dans le cas où léquationf(x) = cadmet, sur [0,2π], 2 solutions distinctes x 1 et x 2 .  x 1   x 2   x 1   x 2  Déterminer cos   + cos   cos et   .cos   .  2   2   2   2   x  7. Résoudre8y"(x) + 5y(x) = 3 [cos   = 0.y ' (0)- cos(x)], avec y(0) = 2 et  2  8. Reprendrela question III.7 en appliquant le résultat de la question II.3 à des valeurs particulières deαetβ. PARTIE IV n  x  ∏ On pose P n (x) = f 1 (x) ,et U n (x) = sin   . P n (x ). n k=0 2  2  k 1 1. Montrerque U 1 =U 0 . 2 2. Montrerque la suite ( U n ) est géométrique. n∈N 3. Endéduire, pour x∈]0,π] la limite de P n (x) quand n tend vers linfini. 4. Vérifierque le résultat précédent peut se prolonger par continuité à x = 0.

PARTIE V On note F α la fonction de période 2π, telle que F α (x) = f α (x) sur [-π, +π]. 1. Comparer F k et f k si k∈N* . Dans toute la suite, on suppose queαnest pas entier. 2. Représentersommairement F 1 et F 4 pour x∈[0, 2π]. 3 3 3. Montrerque F α  estcontinue surR, mais non dérivable aux points dabscisses (2p+1)π. 4. Onnote à nouveau E et d les parties entière et décimale deα. ' Discuter suivant E et d les signes de F α (π) et de ( F α ) (π), dérivée à gauche de F α enπ. g 5. Déterminerles coefficients de Fourier de F α (quon notera pour simplifier a n (α) et b n (α)). Ecrire la série de Fourier de F α et préciser sa convergence. 6. Quelleest la limite de a n (α) quandαtend vers un entier naturel non nul k ? 7. Déduiredu résultat obtenu en 5 un développement en série de cot(απ). ____________ Fin de lénoncé