Mathématiques 1999 Classe Prepa HEC (ECO) Concours ESC

Description

Concours du Supérieur Concours ESC. Sujet de Mathématiques 1999. Retrouvez le corrigé Mathématiques 1999 sur Bankexam.fr.

Sujets

• Mathématiques
• 1999

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• Publié par: bankexam
• Publié le: 18 mars 2007
• Nombre de lectures: 377
• Langue: Français

Extrait

ASSEMBLEE DES CHAMBRES FRANCAISES DE COMMERCE ET DINDUSTRIE

EPREUVES ESC CONCOURS DADMISSION SUR CLASSES PREPARATOIRES

MATHEMATIQUES

OPTION ECONOMIQUE Année 1999

La présentation, la lisibilité, lorthographe, la qualité de la rédaction, la clarté et la précision des raisonnements entreront pour une part importante dans lappréciation des copies.Les candidats sont invités à encadrer, dans la mesure du possible, les résultats de leurs calculs.Ils ne doivent faire usage daucun document ; Lusage de toute calculatrice ou de tout matériel électronique est interdit pendant cette épreuve.

Seule lutilisation dune règle graduée est autorisée.

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Exercice 1 Partie A : étude dune fonction. 2 Soitfla fonction dénie surRpar:f(x) = ln(1 +x). On désigne parCsa courbe représentative dans le plan muni dun repère orthonormé. 1.Montrer quefest une fonction paire 2.Etudier les variations defet préciser les limites en+1. 3.Montrer quef(x)est équivalent à2 lnxquandxtend vers+1. En déduire la nature de la branche innie deCen+1. 4.Etudier la concavité deCet calculer les coordonnées des points dinexion. 5.ConstruireCainsi que ses tangentes à labscisse0et aux points dinexion. On donneln 2'0;7.

Partie B : étude dune intégrale. 1 2n+1 R x Pourn2N, on poseI n =dx. 2 1 +x 0 1.CalculerI 0 . 2.(a) CalculerI 0 +I 1 . (b) EndéduireI 1 . 3.(a) Quelest le signe deI n ? 1 (b) Montrerque :I n +I n+1 = 2n+ 2 1 (c) Endéduire que :I n 6. 2n+ 2 (d) Montrerque la suite(I n ) n2N est convergente et calculer sa limite.

Partie C : étude dune série 1.(a) Montrerpar récurrence que: n k1 X (1) n1 8n2N2(1)I n =ln 2 k k=1 k1 n P (1) (b) Endéduirelim n!+1 k k=1 2.(a) Alaide dune intégration par parties, montrer que: 1 Z 2n+3 1 1x I n = +dx 2 2 4(n+ 1)n(1 ++ 1x) 0 1 2n+3 R x1 (b) Etablirles inégalités :06dx6 2 2 (1 +x) 2n+ 4 0 (c) EndéduirelimnI n . n!+1 3.A laide des questions précédentes, donner un équivalent de n X k1 (1) ln 2 k k=1 quandntend vers+1.

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Exercice 2 Partie A : calcul matriciel      5 14 01 0 On considère les matrices deM 2 (R):A=,D=etI=. 1 50 60 1 2 1.(a) CalculerA. 2 (b) Déterminerles réelsaetbtels queA=aA+bI. 1 (c) Endéduire queAest inversible et exprimerAen fonction deAet deI. 2.les valeurs propres de(a) CalculerAmatrice. LaAest-elle diagonalisable? (b) Déterminerles sous espaces propres deA. 1 (c) Endéduire une matrice inversiblePdeM 2 (R)telle que :A=P DP. 1 CalculerP. n n1 3.tout entier naturelque: pour(a) Montrern,A=PP D. 1 n (b) Endéduire lexpression de la matriceMoùM=A 6 Partie B : probabilités On dispose de deux urnesU 1 etU 2 ainsi que dune pièce de monnaie non truquée. Initialement, lurneU 1 contient une boule blanche et deux boules noires et lurneU 2 contient deux boules noires. On considère lépreuveEsuivante: on lance la pièce si lon obtient pile, on tire une boule deU, sinon on tire une boule deU 1 2

si la boule tirée est noire, elle est remise dans la même urne, sinon elle est remise dans lautre urne.

Pournentier naturel non nul, on désigne parX n la variable aléatoire égale au numéro de lurne dans laquelle se trouve la boule blanche à lissue denrépétitions deE.

I) Dans cette question, on e¤ectue une seule foisE. 1.La notationP B 1 signiant: lapièce a donné pile et on a tiré la boule blanche deU 1 " (on la donc remise dansU 2 ), calculer la probabilité de lévénementfP B 1 g. 2.En utilisant la même notation, décrire les résultats possibles deE. 3.Déterminer la loi de la variable aléatoireX 1 . 4.CalculerE(X)etV(X). 1 1

II) On répète maintenant lépreuveE. 5 1 1.(a) Vérierque :P(X n+1 = 1jX n = 1) =etP(X n+1 = 1jX n = 2) = 6 6 (b) CalculerégalementP(X n+1 = 2jX n =i)pouri= 1et pouri= 2. (c) EndéduireP(X n+1 = 1)puisP(X n+1 = 2)en fonction deP(X n = 1)etP(X n = 2).   P(X n = 1) 2.On poseV n =. P(X n = 2)

(a) VérierqueV n+1 =M V n oùMest la matrice dénie dans laPartie Aen 3.b. n1 (b) Montreralors que:pour toutnentier naturel non nul ,V n =M V 1 .

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(c) Alaide de laPartie A, en déduire la loi deX n .

3.CalculerE(X n )aisi que sa limite quandntend vers+1. - FIN -

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