Mathématiques 1999 Classe Prepa HEC (ECS) EDHEC Lille

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Examen du Supérieur EDHEC Lille. Sujet de Mathématiques 1999. Retrouvez le corrigé Mathématiques 1999 sur Bankexam.fr.

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• Mathématiques
• 1999

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• Publié par: bankexam
• Publié le: 18 mars 2007
• Nombre de lectures: 640
• Langue: Français

Extrait

EDHEC 1999 S

Vendredi 7 mai 1999, de 8h `a 12h

L’´enonc´e comporte 4 pages.

Exercice 1

Pour chaque entier naturel

,

o

n

d

´efinit la fonction

par :

.

1.

´

Etude de

.

a) Montrer que

,

e

s

t

d

´erivable sur son domaine et donner son sens de variation.

b) D´eterminer

.

c) En d´eduire que pour chaque entier naturel

, il existe un unique r´eel, not´e

,

´el´ement de

, tel que

.

2.

´

Etude de la suite

.

a) Montrer que

.

b) Montrer que:

.

3. On pose

a) Montrer que

.

b) Calculer

.

c) D´eduire de l’encadrement obtenu en 2.b que

Exercice 2

Une urne contient une boule noire et

boules blanches,

d´esignant un entier sup´erieur ou

´egal `a

. On vide l’urne en effectuant des tirages d’une boule de la mani`ere suivante : le premier

tirage s’effectue sans remise, le deuxi`eme s’effectue avec remise, le troisi`eme s’effectue sans remise,

le quatri`eme s’effectue avec remise... D’une mani`ere g´en´erale, les tirages d’ordre impair s’effectuent

sans remise et les tirages d’ordre pair s’effectuent avec remise de la boule tir´ee.

1.

a) Quel est le nombre total

de tirages effectu´es lors de cette ´epreuve?

b) Pour

´el´ement de

, combien reste-t-il de boules avant le

-i`eme tirage?

Combien en reste-t-il avant le

-i`eme tirage?

On d´esigne par

la variable al´eatoire qui vaut

si la boule noire est obtenue au

-i`eme tirage

(que ce soit la premi`ere fois ou non) et

sinon. On d´esigne par

la variable al´eatoire ´egale au

nombre d’apparitions de la boule noire lors de cette ´epreuve.

2.

a) Calculer

,

.

b) Pour tout entier naturel

de

, calculer

et

.

c) En d´eduire la loi suivie par toutes les variables

.

1

3. Pour tout

´el´ement de

, on note

l’´ev´enement ”On obtient la boule noire pour la

premi`ere fois au

-i`eme tirage”.

a) En consid´erant l’´etat de l’urne avant le

-i`eme tirage, montrer que

.

Montrer que:

.

b) Exprimer l’´ev´enement

en fonction des

, puis en d´eduire la valeur de

.

c) Montrer que

.

4. Montrer que

, puis en d´eduire l’esp´erance de

.

5. Soit

un entier naturel compris entre

et

.

a) Pour tout

de

, donner la valeur de

.

b) En d´eduire que

.

6. Soit

un entier naturel compris entre

et

.

a) Montrer que, pour tout

de

.

b) Montrer que, pour tout

de

.

c) En d´eduire que:

7. Montrer que la variance de

est:

.

Exercice 3

On consid`ere l’espace vectoriel

; on note

l’endomorphisme identit´e de

et

l’endomorphisme

nul de

. On note

la base canonique de

.

Le but de cet exercice est de trouver les couples

d’endomorphismes de

v´erifiant les 4 asser-

tions suivantes:

:

(il faut comprendre

).

:

.

:

.

:

.

1.

Etude d’un exemple.

V´erifier que les endomorphismes

et

dont les matrices dans

sont respectivement

et

sont solutions du probl`eme pos´e.

On revient au cas g´en´eral et on consid`ere un couple

solution du probl`eme.

2

2.

a) Montrer que

et

sont des automorphismes de

, puis donner

et

en fonction de

,

et

.

b) Pour tout entier naturel

, exprimer

comme combinaison lin´eaire de

et

.

3.

a)

´

Etablir que :

.

b) En d´eduire, en raisonnant sur les dimensions, que :

.

4. Montrer, en raisonnant par l’absurde, que :

.

5. Soit

une base de

; on pose:

.

a) Montrer que

est une base de

.

b) Donner les matrices de

et

dans cette base.

6. Donner la conclusion de cet exercice.

Problme

Pour tout entier naturel

non nul, on consid`ere les fonctions r´eelles

d´efinies par:

et

.

On appelle

, l’espace vectoriel engendr´e par la famille

. On note

l’application qui

`a toute fonction de

,

a

s

s

o

c

i

e

s

a

f

o

n

c

t

i

o

n

d

´eriv´ee.

Partie I

1. Montrer que la famille

est une base de

.

2.

a) Calculer

, puis montrer que:

.

b) Montrer que

est un endomorphisme de

.

3.

a) V´erifier que

est un automorphisme de

.

b) Justifier que :

.

c) En d´eduire, pour tout

de

, l’expression de

dans la base

.

4. Utiliser la question pr´ec´edente pour montrer que, pour tout entier naturel

,

l

’

i

n

t

´egrale

converge, puis donner sa valeur en fonction de

.

5. Montrer que l’application qui `a tout couple

de

, associe

est un produit scalaire sur

.

Pour tout

de

, on note d´esormais

la norme de

.

Partie II

1. On pose

.

3

a) Rappeler le th´eor`eme qui assure l’existence d’un unique ´el´ement

de

v´erifiant:

.

On pose d´esormais

.

b) Pour tout

de

, rappeler pourquoi

.

c) En d´eduire que pour tout

´el´ement de

:

2. On consid`

e

r

e

l

a

f

o

n

c

t

i

o

n

d´efinie pour tout

r´eel par:

a) V´erifier que

.

b) En d´eduire explicitement

, puis v´erifier que

.

3.

a) Montrer que

.

b) En d´eduire la valeur de

.

4