Mathématiques 1999 Classe Prepa HEC (STG) Concours Ecricome

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Concours du Supérieur Concours Ecricome. Sujet de Mathématiques 1999. Retrouvez le corrigé Mathématiques 1999 sur Bankexam.fr.

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• Mathématiques
• 1999

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• Publié par: bankexam
• Publié le: 18 mars 2007
• Nombre de lectures: 69
• Langue: Français

Extrait

ECRI COME Banqued’´epreuvescommunes aux concours des Ecoles es bordeaux/ esmarseille /ic nancy/ esc reims/ esrouen /esc toulouse

CONCOURS D’ADMISSION

option technologique ´ MATHEMATIQUES Anne´e1999 Aucuninstrumentdecalculn’estautoris´e. Aucundocumentn’estautoris´e. L’e´nonce´comporte3pages

Lescandidatssontinvit´es`asoignerlapre´sentationdeleurcopie,a`mettreene´videncelesprincipaux r´esultats,a`respecterlesnotationsdel’e´nonce´,et`adonnerdesde´monstrationscompl`etes(maisbre`ves) de leurs affirmations. Tournez la page S.V.P

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Tournez la page S.V.P

Exercice 1 1 −nx R e Onconside`relasuited’inte´gralesJ n =dxneitreopu`entsnuositif. x e+ 1 0 1 x R e 1. CalculerI=dx. x e+ 1 0 ExprimerJ 0 en fonction deIuelavaleedrteeirdu´endJ 0 . 1 2. Montrerque, pour tout entiern>1,06J n 6. n End´eduirelalimitedelasuitedetermeg´en´eralJ n . 3. Montrerque la suite (J n .teanssoicre´dtse) End´eduiresanscalculcompl´ementaireque 1 1 (J n +J n+1 )6J n 6(J n−1 +J n ) 2 2 4. Calculerla valeur deJ n +J n+1 en fonction den. 5.End´eduirelalimitedelasuitedetermege´n´eralnJ n .

Exercice 2    1−0 11 0−1 1−1 0 2−2 00 1−2 3    Onconsid`erelesdeuxmatricesA= etP=    0 03−0 13 0−3 0 00 40 00 1 1.Justifierl’inversibilite´delamatricePreoscllureesinvnam´eparledupthod.tovicaet   1 0 0 0 0 1 0 0   2. Soita´rnurmFol.eeetrimcalaerA−aI`uoI=esdurlevacllul,se,rassnacetermineetd´   0 0 1 0 0 0 0 1 atelles queA−aI?ne soit pas inversible −1 3.V´erifierqueP AP=Dou`D?est une matrice diagonale. Que remarquez vous n n−1 4.Montrerparr´ecurrencequeA=PP Dpour tout entiern>1. −1−1n−1−1 5. ExprimerA, puis (Atout entier) pourn>l’ai1,`aededP,P, etD. −1 Ecrire la matrice Asous forme de tableau.

Exercice 3 Unecompagniea´erienne´etudielare´servationsurl’undesesvols. Onconsid`erequ’uneplacedonne´epeuteˆtredansdeux´etatsre´serv´eeoulibre.Laplaceestlibrelejourd’ouverture delare´servationetsone´tat´evoluechaquejourjusqu’`alafermeturedelare´servationdelamani`eresuivante –Silaplaceestr´eserv´eelejourk, elle le sera encore le jourkilabobpr0´eitalceva1+,9 (pour tenir compte desannulations´eventuelles). – Sila place est libre le jourkserv´eelejoure,llsererae´ke´0+1aveclaprobabilit,4. Pourkenfler positif, on noter k eeelre´vojrulaceelapr´essoitrpalbabotiliuqe´k. 1. Montrerque la suite (r k ue.moe´rtqiitocg-e´tse)e´mhtira 2.End´eduirel’expressionexpliciteder k en fonction dek.

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3. Calculerla limiterde cette suite quandktend vers +∞. Onsupposemaintenantquelenombredejoursdelare´servationestsuffisammentgrandetonadmetquela probabilite´quelaplacesoitr´eserv´eelejourdelafermetureest´egale`ar. L’avionaunecapacite´de140passagers,maislacompagniepensequedufaitdesannulations,ilestpossible d’ouvrir`alare´servationunnombrenplusimportantdeplaces. 4. OnappelleXtoeal´eaalege´irllbairavas,parmilesaenumorbdepealecn.,quisnoree´rtvressee´ Quelle est la loi deXceanerp´eson,s?ecnairavaste 5. Enapprochant la loi deXpar une loi normale, expliquer comment choisir la valeur maximale denpour que P(X6140)>0,95. On ne demande pas de calculer cette valeur.

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