Mathématiques 2002 Classe Prepa HEC (S) Concours ESC

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Concours du Supérieur Concours ESC. Sujet de Mathématiques 2002. Retrouvez le corrigé Mathématiques 2002 sur Bankexam.fr.

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• Mathématiques
• 2002

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• Publié par: bankexam
• Publié le: 18 mars 2007
• Nombre de lectures: 70
• Langue: Français

Extrait

ESC 2002.math. Option scientifique. EXERCICE 1 On rappelle que lorsqueYvarituneal´eableerdataionautemtterp´esneceanseE(Yace´nute)-tr Y−E(Y) ? ? type non nulσ Y , on noteYlecentr´lavariabsaeticos´reeiudee`´eaYfin´epaie,rdY= . σ Y Soitnun entier naturel non nul. Onconsid`erennadnsetaatle´esrbeloiianadrsivpe´eX 1 , X 2 , . . . , X n emol,ite,suivantlamˆe admettantuneesp´erancenote´emute-trace´nfionsoti´testritypeentpctemσ. Onpose´egalementS n =X 1 +X 2 +∙ ∙ ∙+X n . EnfinonnoteΦlafonctionder´epartitiond’unevariablesuivantlaloinormalecentr´eer´eduite. 1)a)Montrer queS n xpseleetnfremeridnoitcnoeetunadm´eraeesputencneenaecavirn,m etσ. ? n f b)End´eduirel’exrpseisnoedS n dee onctionS n . Dans la suite de l’exercice, on pose pour tout entier naturelntuotruoptelunnonleer´β: ? β |< n) p n,β =P(|S n Oncherche`a´etudierlalimitedelasuite(p n,β ) n∈N dieffassdsrce´ntee.uarnfigd ∗ 2)On supposeβ= 0. a)medeoe`rmitilelaergrontruth´aceaMenec´etrueeqmlip n,0 = Φ(1)−Φ(−1). n→+∞ b)elruparpco´heeedDonneruneva)(1eΦnnodnO(etimilettec'0.8413 ). 3)On supposeβ >0.   1 β+ 2 a)Montrer quep n,β =P|S n −nm|< σ.n. 1 b)eevnqauyem´e-iTtc´heedbyecBhii’´ngelalisinaltertrutenonMp n,β ≥1− 2β . n c)itimeledirdualelEdne´iusa(etp n,β ) n∈N . ∗ 4)On suppose ici queβ <0, et queX 1 , X 2 , . . . , X n ee´rdeiuet.lantveuis´rtnecelamroniol ? ? a)Quelle est la loi de la variableS n ? de la variableS n   β b)Montrer que pour tout entier naturelnnon nul,p n,β = 2Φ(n)−Φ(0) . c)neΦeeuq0iunide´tlantntcotinusali:rleirmentMop n,β = 0. n→+∞ r 2 β d):euq,0neΦede´tlibivari´eadtlannetulisiMnortrep n,β ∼.n. n→+∞ π EXERCICE 2 2 SoitEl’ensemble des suites (a n ) n∈N deeer´telsetermeg´en´eralllseuqlesae´irdeaconverge. n Danscet´enonc´eonemploielanotationaesigurd´nesuinteeruop(a n ) n∈N r´eedesl. 1)a)Montrer queEest un espace vectoriel surR. b)elnonnulrtoutr´euoPαitsuedie`eral,noocsnu(α´e)diefin:rap n α ∀n∈N, u n (α) = √ n! V´erifierquelessuitesu(αe´le´sededstnemsont)E. 2)a)Montrer que siaetbsno´tlee´emntsdeEeireetedgemr´ne´aler,alorslas´a n b n est absolument convergente. b)cilppa’lΦtioSsurfiniend´eatioE×Enasrudsavela`Rpar : +∞ X ∀(a, b)∈E×E,Φ((a, b)) =a n b n n=0 Montrer que Φ est un produit scalaire surE. On notera alorsha, bi= Φ(a, b), et||.|| 2 i´eessoc`aΦ.mraealon

v v +∞+∞+∞ XuXuX t 2 t 2 c)Montrer que pour toutes suitesaetbde E,a n b n ≤a b. n n n=0n=0n=0 d)lee´rtuotrourpnemieretD´αla norme||u(α)|| 2 eeslruotsu´r,etpoαetβdistincts, le produit scalairehu(α), u(β)i. e)toecevacdeelriudelanogpse-suosunebinerrthoaseoetmrDe´Eilleegnnerde´aplrfama   u(−1), u(1), u(2) . 3)Pour tout entier naturelk:itfin´end,ounlonn F k llesr´eeitesussedelbmesne’latelles que : pour tout entiern≥k,a n = 0 G k eslesr´eellsedetiussne’lbmeadeEtelles que : pour tout entiern≤k−1, a n = 0. a)Montrer queF k ⊂E, et queF k est un sous-espace vectoriel deE. b)te´DimrerunebanedeseF k et donner la dimension deF k . c)Montrer queG k est un sous-espace vectoriel deE. d)Soitaune suite deE. Montrer qu’il existe deux suitesretstelles que : r∈F k , s∈G k et pour tout entier natureln,a n =r n +s n End´eduirequeF k etG k upss´eplesescepatrosogohtnemeriaoduileprpournauxsnodtt scalaire Φ.   1 e)teuiaselquertr´le´nutsenMemneoedtE. n+1 n∈N De´terminersonprojete´orthogonalsurF k pour le produit scalaire Φ. EXERCICE 3

Partie 1 −t Soitgncfola´dfieitnoruinseR + par :g(t) =telouprotu´etertpositif. 1)a)Etudier la fonctiongsurR + . 4 b)uqpeuotrMnortrefitisoptneemctristel´etrout,g(t)≤. 2 te 1 2)Montrer que pour tout entierne´irspu´ugeueor3,l’al`aatio´equng(t) =admet exactement n 0 0 < ρ. deuxsolutionsnot´eesρ n etρ n et telles que : 0< ρ n <1 n 3)a)Montrer que la suite (ρ n ) n≥3 converge et que sa limite est 0. 1 b)Montrer queρ n ∼. n +∞ 0 c)Montrer que la suite (ρ) n≥3 diverge. n Partie 2 2 Soitfontiefid´lancfoseinruRavas`rnuaedlsR´d:rapeinfie 1 − 2 2 x+4y e f((x, ysi ()) =x, y)6= (0,0) etf(0,0) = 0. 2 2 x+ 4y 1 2 1)a)Montrer quefest de classeCsurR\ {(0,0)}. b)Montrer en utilisant la question 1.b de la partie 1 quefest continue en (0,0). 2 c)dselearspeltiri´eeev´eldsnireetmrDe´fsurR\ {(0,0)}. 1 2 d)Montrer quefest de classeCsurR. 2)Montrer que (x, y) est un point critique pourfe’c(sureepsc-`stdia-nuxeteerdeˆ’itlbumtrem 2 2 pourf) si et seulement si :x+ 4y= 1 ou (x, y) = (0,0). 3)En utilisant la fonctionged´eslanreap`emiapereitre´utid a)Trouver le minimum global defainsi que l’ensemblePdeslntoispsilae´re.tna b)Trouver le maximum global defainsi que l’ensembleEalisant.ntsler´eedpsio 2

2 4)On note pour tout entiernl`a3:urou´ega´puseireE n l’ensemble des points (x, y)∈Rtels   1 quef(x, y) =. n   1 2 Onnote´egalementDla demi-droite deR:rdeiape´nfiD= (x, y)/x≥0 ety=x. 2 (  s s !)  rr  1 21 21 21 2 0 Montrer queE∩D=, ,,ont l n ou`ρ n etρ n valeurss es 0 0 2ρ n 4ρ n 2ρ4ρ n n d´efiniesdanslaquestion2delapartie1.

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