Mathématiques 2004 Classe Prepa MP Ecole des Mines de Paris

J.D.

Description

Examen du Supérieur Ecole des Mines de Paris. Sujet de Mathématiques 2004. Retrouvez le corrigé Mathématiques 2004 sur Bankexam.fr.

Sujets

• Mathématiques
• 2004
• sujet concours

Informations

• Publié par: bankexam
• Publié le: 13 juillet 2008
• Nombre de lectures: 68
• Langue: Français

Extrait

CONCOURS COMMUN 2004 DES ÉCOLES DES MINES D’ALBI, ALÈS, DOUAI, NANTES Épreuve Spécifique de Mathématiques (filière MPSI) Mercredi 19 mai 2004 de 08h00 à 12h00 Instructions générales : Les candidats doivent vérifier que le sujet comprend 4 pages numérotées 1/4, 2/4, 3/4, 4/4. Les candidats sont invités à porter une attention particulière à la rédaction : les copies illisibles ou mal présentées seront pénalisées. Les candidats colleront sur leur première feuille de composition l’étiquette à code à barres correspondante.

L’emploi d’une calculatrice est interdit

Barème indicatif : 10 points pour chaque problème Premier problème I. Résolution d’équations différentielles 1.Résoudre l’équation différentielle :z ′ +ztht=0 ,oùzest une fonction de la variable réelletà valeurs réelles. Trouver la solution z de cette équation telle que z(0)=1 . 11 2.Résoudre l’équation différentielle :z ′ +ztht=ttht. Trouver la solutionzde cette équation telle quez ( 0 ) =0 . 2 2

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II. Etude d’un arc paramétré Dans le plan rapporté à un repère orthonormal, on considère la courbe ( Γ ) représentée ⎧ x ( t ) =t−tht ⎪ paramétriquement par : ⎨ 1 y ( t ) = ⎪ ⎩ cht 3.Démontrer que ( Γ ) admet un axe de symétrie. 4.Etudier les branches infinies de ( Γ ) . 5.Etudier les variations dexety; faire un tableau. 6.Préciser la nature du pointAd’abscisse 0, ainsi que la tangente en ce point. 7. a) Calculer ch tet th tlorsque sh t =1 . Calculer la valeur det correspondante  (onexprimera le résultat sous forme d’un logarithme népérien). b) Déterminer le point B de ( Γ ) où la tangente a pour coefficient directeur−1 ; déterminer une équation cartésienne de la tangente enBà ( Γ ) . 8.Donner l’allure de la courbe ( Γ ) . 9. a)Déterminer une équation cartésienne de la tangente à ( Γ ) au pointMde paramètre t . b)Cette tangente recoupe l’axe des abscisses en un pointN. Calculer la distanceMN. III. Etude d’intégrales et de suites x dt Soient un réelxetkun entier strictement positif. On poseI ( x ) =. ∫ 0 k k ch t t 10. Calculer I ( x ) (on pourra faire le changement de variable u = e ). 1 11.CalculerI ( x ) . 2 12. a)En intégrant par parties, trouver une relation entre I etI(on pourra k+2k 1 cht remarquer que=). k k +1 chtcht b)En déduireIetI. 3 4 13. Démontrer que la fonction I:x6I ( x ) est : k k a)impaire. b) continue sur\. ∞ c)de classe C sur\. ′′ ′′′ ′ 14. Calculer I , I et I . k kk 15.Donner le développement limité deIà l’ordre 3 au voisinage de 0. k 16.Démontrer queIest monotone sur\. k

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fixé, d’étudier la convergence dfinie pa 17.On se propose, pourkla suite e ( u n ) ∗ dé r n∈ ` u=I ( n ) . n k a) Démontrer que cette suite est monotone. 1 −t b) Démontrer que, pour tout réel t , - 2 e ; en déduire que la suite converge. cht x+∞ dt dt 18. On pose, sous réserve d’existence, J =lim ,notée⋅ x→+∞ ∫ 0 ∫ 0 k k k chtcht J a)Démontrer l’existence de k . b) Calculer J et J . 1 2 c) Calculer J . k

Deuxième problème a c ⎛ ⎞ On désigne parEl’ensemble des matrices carrées d’ordre 2 de la forme, oùa,b,c 0b ⎜ ⎟ ⎝ ⎠ sont des nombres réels. I. Etude de structures 1. a)Démontrer queE, muni de l’addition des matrices et de leur produit par un scalaire réel, est un espace vectoriel réel. b)Trouver une base et la dimension deE. 2. a)Démontrer queEest stable pour la multiplication des matrices. b)En déduire queE, muni de l’addition et de la multiplication des matrices, est un anneau. c)Cet anneau est-il commutatif ? 3.On désigne parGl’ensemble des matrices deEtelles quea>0 etb>0. Démontrer queGest un groupe multiplicatif. II. Puissances d’une matrice et suites a c ⎛ ⎞ SoitA=∈E. 0b ⎜ ⎟ ⎝ ⎠ 4. p p ⎛ p a−b ⎞ a c ∗ p a)On supposea≠b. Démontrer que∀p∈`A= a−b . p 0b ⎜ ⎟ ⎝ ⎠ p ∗ b)On suppose quea=b. Calculer A pourp∈`; on exprimera les coefficients en fonction deaetc.

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n α γ ⎛ n n ⎞ 1 ∗ p 5.Pour tout n∈` , on poseB=A=, en convenant que ∑ n 0β ⎜ n ⎟ p=0 p! ⎝ ⎠ ⎛1 0⎞ 2n nk 0 x xx x A=I=et, pour toutxréel,ϕ ( x ) =1++ +"+ =. ∑ n ⎜ 0 1 ⎟1! 2 !n! k=0 k! ⎝ ⎠ a)Rappeler l’inégalité de Taylor-Lagrange avec ses hypothèses. b)Démontrer que, pourxfixé, la suite de terme général ϕ ( xconverge et que sa n x limite est e . c)On supposea≠b. Calculer α n , β n et γ n en fonction dea,b,c,ϕ n ( a ) et ϕ n ( b ) . Démontrer que les suites ( α ) , ( β ) et ( γ ) ont des limites respectivesα,β,γque n nn n nn l’on calculera. d)On supposea=b. ( ) Calculerα n ,β n etγ n en fonction dea,c,ϕaetϕ n ( a. n−1 , ( ) γ Démontrer que les suites ( α n ) β n et ( n ) n ont des limites respectivesα,β,γque n n l’on calculera. 6. a cα γ ⎛ ⎞⎛ ⎞ Pour toutA=∈E, on poseA ′ =, où α,β etγont été définis à la ⎜ 0b ⎟ ⎜ 0β ⎟ ⎝ ⎠⎝ ⎠ question 5, et on notef l’application deEdansEdéfinie parf ( A ) =A ′ . a)L’applicationfest-elle linéaire ? b)L’applicationfest-elle injective ? c)L’applicationfest-elle surjective ? d)Déterminer l’image deEparf. 7.On suppose maintenant que 0<a<ln 2 et 0<b<ln 2 . n p−1 a c n k−1 ⎛ n n ⎞ ( − 1 ) −1 ) k p ∈ On pose, pourA E, ( f ( A ) −I ) =et ψ ( x ) =x⋅ ∑ ∑ n 0b ⎟ p=1 p ⎜ n 1 ⎝ ⎠ k= k a)Calculera n ,b n etc n lorsquea≠b, puis lorsquea=b(on pourra utiliser les résultats de la question 4). b)Démontrer que si 0<x<1 , la suite de terme généralψ ( x ) ,xfixé, converge vers n ln 1 + x ) . a bcc)Dans chacun des deux cas précédents, démontrer que les suites (( ) n ) n et ( n n n n ont respectivement pour limitesa,betc. FIN DU SUJET

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