Mathématiques 2005 Classe Prepa HEC (ECE) EM Lyon

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Examen du Supérieur EM Lyon. Sujet de Mathématiques 2005. Retrouvez le corrigé Mathématiques 2005 sur Bankexam.fr.

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• Mathématiques
• 2005

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• Publié par: bankexam
• Publié le: 18 mars 2007
• Nombre de lectures: 65
• Langue: Français

Extrait

EML2005,math1,option´economique

EXERCICE 1 Onconside`relese´l´ementssuivantsdeM 3 (R) :      1 0 00 1 00 0 1      I1 0= 0, J= 00 1, K= 00 0 0 0 10 0 00 0 0 On noteEle sous-espace vectoriel deM 3 (Rrdneape´rgne)I,JetK. 0 Pour toute matriceMdeE, on noteM=I, et siMest inversible, on note, pour tout entier −k−1k kk−1−k naturelk,M= (M) ,et on rappelle qu’alorsMest inversible et que (M) =M. 1)idalrenidnoisnemermte´eDE. 2 2 2)CalculerJ,J K,KJetK. 3)Soit la matriceL=I+J. a)Montrer, pour tout entier natureln: n(n−1) n L=I+nJ+K 2 b)euqrefiire´VLest inversible et montrer, pour tout entier relatifn: n(n−1) n L=I+nJ+K 2 n2 c)Exprimer, pour tout entier relatifn,Ledia’la`edI,L,Letn.   0 2–1   3 Onconsid`erelamatriceAde0 1= 1M 3 (R) et on notefl’endomorphisme deR 2 –33 3 3 repr´esente´parlamatriceAdans la base canonique deRetel’application identique deRdans lui-mˆeme. 4)Montrer quefra.mine’leuqelurete´dnoprrorpeusenetueeunetalevdma Est-ce quef?est diagonalisable 5)a)Soitw= (1,0,0). Calculerv= (f−e)(w) etu= (f−e)(v). 3 Montrer que (u, v, w) est une base deR. b)a´ee`osicecsatairlrmanemieretD´fvemelatire(esa`tnabalu, v, w). 3n c)Montrer quefest un automorphisme deRet, pour tout entier relatifn, exprimerf`a 2 l’aide dee,f,fetn.

EXERCICE 2 Onconside`rel’applicationf:R→Rel´etrourtp,uonfieid,e´t, par : ( 0 sit60 1 f(t) = sit >0 2 (1 +t) 1)rTcarel’alluredelacourerebe´rptnesvitaeedf. 2)Montrer quefutensetie´edsnobabdepr´e.ilit Z x 3)rertnoMruop,euqeer´uttolxngtr’´iee,lalf(t) dtte,eclacnocgrevla.eeint´egrulercett −∞ On distinguera les casx60etx >0. Z α 1 4)rnurenimrete´Dtifposi´eelαtel quef(t) dt= . 2 0 5)Soitx∈[0,+∞e.´xfi[ Z x+u Onconsid`erelafonctionϕ x esur[0;+´dfiein∞[ par :∀u∈[0,+∞[, ϕ x (u) =f(t) dt. x−u

a)Calculerϕ x (0) etlimϕ x (u). u→+∞ Z x+v   2 b)Montrer :∀(u, v)∈[0,+∞[< v, u=⇒ϕ x (v)−ϕ x (u)>f(t) dt. x+u End´eduirequeϕ x est strictement croissante sur [0;+∞[. 1 c)On admet queϕ x est continue sur [0;+∞onnoM.[rtreuqle´’qeauitϕ x (u) =, d’inconnue 2 u, admet une solution et une seule dans [0;+∞[. On noteU+: [0;∞[→Rel´etroul’apoitacilpta`,iuqnx∈[0; +∞[, associeU(x) l’unique solutiondel’´equationϕ x (u) = 0. Z x+U(x) 1 Ainsi, pour toutx∈[0; +∞[, on a :f(t) dt= . 2 x−U(x) 1 6)a)fier,´eriVottuoprux∈:[0; [U(x) = 1−x. 2 1 1 b)Pour toutx∈+[ ;∞[, montrer :ϕ x (x)>, puis :x−U(x)>riude´dn:e0,ete 2 2 p 2 U(x4 + () =x+ 1)−2. 7)a)Montrer que l’applicationU+est continue sur [0;∞[. b)avibe´irlrdadueiEteedt´liU+sur [0;∞[ c)daleuqrertnoMequationroited’´y=x−edevneseitaterrbr´epale`ouacsamytptoe1tsU. d)devitatneurbelaco´esereprre’lrTcaeredlaulU.  a 0 = 1 8)erd`sionteuiasel´reell(ecnOa n ) n∈N efiniepar´d ∀n∈N, a n+1 =U(a n ) 1 a)Montrer :∀n∈N, a n >. 2 b)Montrer que la suite (a n ) n∈N nte.issaecro´dtse 1 c)En(tesaiuuqleiuer´ddea n ) n∈N ´egale`aimiteest.oncrgveuqrelasemteertno 2 d)Ecrire un programme en Turbo-Pascal qui calcule et affiche le plus petit entiern∈Ntel que : 1 −6 a n −610  2 EXERCICE 3 1)Pre´liminaire: Soitx∈pe´dadnesetnmed,me]ˆ0e;1[.Dansunesuccseisno’de´rpuevesdeBernoulliin probabilit´ed’e´checxselbairaiotae´las(re´dfie,noeuxsnitdsdevuiteS n ) n>1 et (T n ) n>1 de la fa¸consuivante: •pour tout entier naturelnnon nul,S n esuvrevaltairasee´egtoirl´eablea´’perbdenumolaae ne´cessairespourobtenirlene`i-useme`cc;s •T 1 stevalaabriallee´taioere´agela`S 1 et pour tout entier natureln>2,T n est la variable al´eatoiree´galeaunombred’´epreuvessuppl´ementairesne´cessairespourobtenirlen-i`eme succ`esapr`esle(n−.esc`ucesemi`)-1 Ainsi, pour toutn>2,T n =S n −S n−1 et pour toutn>1,S n =T 1 +T 2 +∙ ∙ ∙+T n . a)Pour tout entier naturelnunnonrete´d,lalrlnemideoiT n s,nacslauc,lodnnerl’esp´eranceet et la variance deT n . b)Pour tout entier natureln>stifi2,juadcnpeneni´dre’ll´saleabrivaesedseriotaeT 1 , T 2 , . . . , T n . c)Pour tout entier naturelnedecnnainrorqrel’uel,nuntmoteecaval´psenareS n esniefi´dtnos n nx et montrer :E(S n et) =V(S n .) = 2 1−x(1−x) d)Soitnonlnl.nuetD´miernuitneanreerutenlrlaioedS n . 2

+∞ X Que peut-on dire, sans calcul, de la valeur deP(S n =k) ? k=n e)tuotruop,eridu´endEx∈et pour tout entier naturel]0; 1[nnon nul : +∞ n X x n−1 k Cx= k−1 n (1−x) k=n 2)Deux joueursAetB.eceA`corphatcenedneaun`cuseisusccalcnnoed’uneersdepi`mˆem chaquelancer,laprobabilit´ed’obtenirpileestp(pfix´e,p∈t´libibaroaptl,erinetbo’de]0;1[) face estq= 1−p. Le joueurAilndtiobetrˆuaeqreimelipltneerpe.Onnote’sratelineecocmmXla variable ale´atoiree´galeaunombredelancerseffectu´esparlejoueurA. Le joueurBeffectue alors autant de lancers que le joueurAet on noteYreoiate´laelbairaval ´egaleaunombredepilesobtenuparlejoueurB. a)Rappeler la loi deXet, pour toutk>1, donner la loi conditionnelle deYsachantX=k. b)Quelles sont les valeurs prises parY? +∞ X q 2k−1 c)Montrer :P(Y= 0) =pq= . 1 +q k=1 d)Soitnun entier naturel non nul. +∞ X n n+1 2k−n−1 Montrer :P(Y=nC) =p q, k k=n puis, en utilisant1.e,   n−1 1q P(Y=n) = 2 (1 +q+) 1q

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