Mathématiques 2006 Classe Prepa HEC (ECE) Ecole Sup. Libre des Sciences Commerciales Appliquées

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Examen du Supérieur Ecole Sup. Libre des Sciences Commerciales Appliquées. Sujet de Mathématiques 2006. Retrouvez le corrigé Mathématiques 2006 sur Bankexam.fr.

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• Mathématiques
• 2006

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• Publié par: bankexam
• Publié le: 18 mars 2007
• Nombre de lectures: 57
• Langue: Français

Extrait

ÉCOLE SUPÉRIEURE LIBRE DES SCIENCES COMMERCIALES APPLIQUÉES

MATHÉMATIQUES 1ère ÉPREUVE

OPTIONS : ECONOMIQUE

EXERCICE 1 On noteRlensemble des nombres réels etNcelui des nombres entiers naturels.On considère la fonctionf:R!R dénie par la formule suivante : 1 f(x(exp() =x) + exp(x)): 5 On rappelle que2;716e62;72 1. Etudierles variations def, donner sa représentation graphique et préciser la nature des branches innies de celle-ci. 1 2. Résoudreléquation :f(x) = 2 1 3. Résoudrelinéquation :f(x)6 2 1 2 4. CalculerlaireAdu domaine =f(x; y)2R= f(x)6y6g 2 5. Onappelle point xe deftout nombretel quef() =se propose détudier les points xes de. Onf par le biais dune fonction auxiliairegdénie parg(x) =f(x)x.

0 00 (a) Donnerle tableau de variation de la dérivéegdegaprès étude du signe de la dérivée secondeg. 0 (b) Endéduire quil existe un uniquet2Rtel queg(t) = 0, sans essayer de le calculer. (c) Encadrertentre deux entiers consécutifs. (d) Calculert. 0 (e) Donnerle tableau de signe degpuis dresser le tableau des variations deg. Montrerquegadmet un minimum strictement négatif. (f) Endéduire quefadmet exactement deux points xes.

6. Onse restreindra désormais à lintervalleI= [0;1]. Montrerquefnadmet quun seul point xe2I.

7. Montrerque lintervalleIest stable parf.

8. Ondénit une suite par la donnée deu 0 2Iet la relation de récurrenceu n+1 =f(u n )pour toutn2N. Démontrer que lesu n appartiennent tous àI. 1 0 9. Démontrerque :8x2I;jf(x)j6: 2 1 10. Endéduire que8n2N;ju n+1 j6ju n j. Acheverlétude de(u n ). 2

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EXERCICE 2     1 02 23 2 Soit les matricesI=; J=etA=. 0 12 22 3

k 1. CalculerJpour tout entier naturelk. Onnoubliera pas le cas oùk= 0.

n 2. Endéduire les puissances n-ième deA, en remarquant queA=I+J. ExpliciterAet vérier la validité du résultat pourn= 0;n= 1etn= 2.

3. Ondispose de deux boîtes U et V : U contient 3 boules blanches et 2 boules noires V contient 2 boules blanches et 3 boules noires On tire des boules une à une, chaque boule étant remise immédiatement dans la boîte doù elle provient avant le tirage suivant.La première boule est tirée de U. Si elle est blanche, la seconde boule est tirée de U; si la première boule tirée est noire, la seconde boule est tirée de V. A chaque étape si len-ième tirage donne une boule blanche alors le(n+ 1)-ième tirage se¤ectuera dans U, alors que si len-ième tirage donne une boule noire alors le(n+ 1)-ième tirage se¤ectuera dans V. On dénit les événements suivants, pour tout entiern>1: B n le: «n-ième tirage donne une boule blanche » N n : « len-ième tirage donne une boule noire »   p n On posep n =P(B n ),q n =P(N n )etX n =: q n

(a) Donnerles valeurs dep 1 etq 1 . (b) Calculer,par une méthode clairement justiée,p 2 etq 2 . (c) Pourtoutn, exprimerp n+1 etq n+1 en fonction dep n etq n . (d) Endéduire un algorithme de calcul desp n et desq n traduire en Turbo-Pascal.. Le (e) DonnerX n+1 en fonction deX n . (f) Endéduire le calcul depetq. n n

4. Onconsidère encore la suite de tirage de la question 3.On dénit la variable aléatoireTégale au temps dattente de la première boule blanche :pour toutn>1, lévénement (T=nsignie que la première boule blanche est apparue aun-ième tirage.

(a) Donnerla distribution de probabilité deT. (b) Vérierque la somme des probabilités des événements(T=n)vaut bien 1. (c) CalculerE(T)etV(T)citera explicitement, aux questions b) et c) les résultats de cours utilisés. On ainsi que leur condition de validité.

EXERCICE 3 On rappelle queR 2 [X];ensemble des polynômes à coe¢ cients réels de degré inférieur ou égal à2, est unR-espace 2 vectoriel de dimension3. Onappellera iciBsa base canonique(1; X; X). Unpolynôme sera noté indi¤éremment Q(X)ouQ; à chaqueQ(X)2R 2 [X], on associe la polynôme suivant, noté aussi(Q(X))ou(Q)(X): 20 (Q) = (2X+ 1)Q(X)(X1)Q(X)

0 oùQest le polynôme dérivé deQ.

1. Vérierque cela dénit bien un endomorphismede lespace vectorielR 2 [X]. 2. Déterminerson noyauker().

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3. Endéduire queest bijectif. 4. Donnerla matriceAdedans la baseB. 5. Déterminerle spectreSp(A)de la matriceA. Endéduire immédiatement queAest diagonalisable. 6. Déterminerle sous-espace propreE a deApour touta2Sp(A) 7. Onrange les valeurs propres par ordre strictement croissant.Trouver une matricePinversible telle que la 0 1 matriceA=P APsoit diagonale : 0 1 u0 0 0 @ A A= 0v0: 0 0w On respectera la contrainte suivante :la première ligne dePdoit être égale à(1;1;1). n 8. Déduirede la question 7.le calcul deApour tout entier natureln. 0 12n 9. Onrappelle que =Id; =; =la calcul deDéduire de la question 7., etc..pour tout n. 2n Autrement dit, étant donné un polynôme quelconqueQ(X) =aX+bX+c, expliciter le polynôme (Q(X)) en fonction den; a; betc.

EXERCICE 4 2 24 33 23 Soit la fonction à deux variablesf:R!Rdénie par la formulef(x; y) = 2x y+ 3x y+x y. Etudier lexistence dextrema locaux def.

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