Mathématiques 2008 Classe Prepa ATS Concours ATS (Adaptation Technicien Supérieur)

David

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Concours du Supérieur Concours ATS (Adaptation Technicien Supérieur). Sujet de Mathématiques 2008. Retrouvez le corrigé Mathématiques 2008 sur Bankexam.fr.

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• Mathématiques
• 2008

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• Publié par: bankexam
• Publié le: 16 juin 2008
• Nombre de lectures: 358
• Langue: Français
• Poids de l'ouvrage: 1 Mo

Extrait

Mathématiques Durée : 3 heures.- Coefficient : 3 Les exercices sont indépendants. La calculatrice personnelle est interdite.  Exercice 1  Pourbettstrictement positifs, on considère les fonctionsFetIdéfinies par : , et

1) a- Que vaut

? Justifier que

sont définies sur.

 b-Montrer que. En déduire que, puis calculer. 2) On admet quepeut se calculer en dérivant sous l'intégrale et donc que . Montrer que. En déduire la valeur de, en utilisant la limite trouvée au 1)b 3) a- Donner le développement en série entière de.

b- Montrer par récurrence que c- On admet que pour t>1 on peut intégrer terme à terme le développement en série obtenu dans l'intégrale définissant. En déduire que si t>1 on a :  d- Comment retrouver ce résultat à partir de lexpression deobtenue en 2) ? 4) A laide dune intégration par parties, montrer queexiste.

On posera alors :. 5) On admet queest continue en 0. En déduire la valeur de. 6) Montrer que. En déduire quediverge.  Exercice 2  Dans un plan muni d'un repère orthonormé, soit P la parabole d'équation cartésienne dereprésentation paramétrique pour  1.a. Donner un vecteur directeurde la tangente au pointà la parabole P.

P 1/3

1.b. Donner un vecteur directeurde la normale au pointà la parabole P. 1.c- Écrire une équation cartésienne de la tangenteau point. 2. On se donne le pointde l'axe des abscisses. Donner un vecteur directeur de la droite contenant A et orthogonale à. Calculer les coordonnées de, projection orthogonale desur .On noterales coordonnées de .(Ces coordonnées dépendent du paramètrea) On appellela courbe de représentation paramétrique 3. Montrer que la courbeadmet la même asymptote(dépendant dea) quandu tend verset quandu, et donner cette asymptote.tend vers 4. Montrer qu'il existe une unique valeur dea telleque estune droite. Préciser la valeur deaet la droite trouvée. On choisit maintenanta=0, c'est-à-dire que le pointA est choisi à l'origine O du repère. 5. Faire une étude et un tableau de variation conjoint deet de. En déduire que la courbeadmet une tangente enayant un vecteur directeur de composantes .Préciser la nature du point. 6. Représenter sur une même figure la parabole P, la courbe, l'asymptote.  Exercice 3  On pose pour tout couple d'entiers naturels (n, p) : 1. Calculer. Montrer que pour, , ,. f-périodique telle que :est une fonction On fait l'hypothèse qu'il existe deux réelstels que le développement en série de Fourier defest :

2.a) Déterminer les conditions surtelles queet pour tout, .  b) Déterminer les valeurs dequi répondent à ces conditions.  c) Représenter graphiquement la fonctionf.sur l'intervalle  d)Soit ,on a doncet aussi. Montrer pour les valeurs deet trouvéesà la question2.a..  e) En déduire que la fonctionfest paire et continue sur.  3. Que peut-on en déduire pour les coefficients. 4. Montrer que pour toutxde, en énonçant le théorème qui le justifie. 5. Déduire du résultat précédent la valeur de.

P 2/3

6. Déduire d'un des résultats précédents la valeur de

et de

.

7. Appliquer le théorème de Parseval et en déduire la valeur de.  Exercice 4  Dans un espace vectoriel E de dimension 3 on considère l'endomorphismefde matrice

 dansla base

. Dans E, l'application identiqueidpour a

matriceI. L'objet de l'exercice est de déterminer toutes les matricesMtelles que. 1. Montrer que kerfde kerest de dimension 1 et déterminer un vecteur directeurfde la forme :[on calculeraa]. 2. Calculer le polynôme caractéristique deA.Déterminer ses racines. 3. Déterminer le sous-espace propre associé à la valeur propre non nulle deA.Montrer qu'il est de dimension 1 et qu'il est engendré par un vecteur de la forme[on calculerab]. 4. La matriceAest elle diagonalisable? Expliquer pourquoi. 5.a) Montrer queest une base de E.  b) Déterminer la matriceBdef.dans la base  c)Déterminer la matrice de passageP dela basevers la baseet calculer son inverse .  d) Donner une relation entreA,PetB. SoitM.une matrice telle que On notegl'endomorphisme de matriceM. On a doncdans la base 6. a) Montrer que l'on a.  b)Calculer de deux manièreset .En déduire queet qu'il existe un réelxtel .

 c)En déduire que l'on a

 d)Déterminer les deux valeurs possibles de

P 3/3

.

puis deM.