a) Montrerqueadmet une demi-tangente enO. b) Déterminerles points dintersection deavec laxe des abscisses. c) Préciserla nature de la branche innie de. d) Tracer
Partie II : Étude dune fonction dénie par une intégrale On considère lapplicationG: ]1 ;+1[!Rdénie, pour toutx2+]1 ;1[, par : Z x+1 1 G(x) =f(t)dt 2 x1 2 1. MontrerqueGest de classeCsur]1 ;+1[et que, pour toutx2]1 ;+1[: 1 0 G(x) =(f(x+ 1)f(x1)) 2 1 00 etG(x(ln () =x+ 1)ln (x1)) 2 À cet e¤et, on pourra faire intervenir une primitiveFdefsans chercher à calculerF. 0 2. a)Montrer queGest strictement croissante sur]1 ;+1[: 0 b) Vérier:G(2)>0. 0 c) Établir que léquationG(x) = 0, dinconnuex2+]1 ;1[, admet une solution et une seule, notée, et que <2
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Partie III : Étude dune fonction de deux variables réelles 2 2 On considère lapplication : ]1 ;+1[!Rdénie, pour tout(x; y)2+]1 ;1[, par :
2 2 (x; y) = (yf(x+ (+ 1))yf(x1))
où lapplicationfest dénie dans la partieI. 2 2 1. Justierqueest de classeCsur+]1 ;1[et calculer les dérivées partielles premières de 2 en tout(x; y)de+]1 ;1[. 2. Vérierque(; f(+ 1))est un point critique de. oùest déni enII 2.c. 3. Est-cequeadmet un extremum local en(; f(+ 1))?
EXERCICE 2 On considère les matrices carrées dordre trois suivantes : 0 10 10 1 1 1 12 1 10 0 0 @ A@ A@ A A= 0 01; B=321; D= 01 0 221 00 0 11 1
Partie I : Réduction simultanée deAetB 1. Déterminerles valeurs propres et les sous-espaces propres deA. 2. Endéduire une matrice carréePdordre trois, inversible, de deuxième ligne(1 1 1), telle 11 queA=PP D, et calculerP. 1 3. Calculerla matriceC=P BPet vérier queCest diagonale.
Partie II : Étude dun endomorphisme dun espace de matrices On noteElespace vectoriel des matrices carrées dordre trois, et on considère lapplicationf:E!E qui, à toute matriceMcarrée dordre trois, associef(M) =AMM B: 1. Donnerla dimension deE. 2. Vérierquefest un endomorphisme deE. 1 3. SoitM2E. On noteN=P MP, oùPest dénie enI.2. a) Montrer:M2ker (f)()DN=N C: b) Déterminerles matricesNcarrées dordre trois telles que :DN=N C: c) Montrerque lensemble des matricesNcarrées dordre trois telles queDN=N Cest un espace vectoriel, et en déterminer une base et la dimension. 4. a)En déduire la dimension deker (f), puis la dimension deIm (f). b) Donnerau moins un élément non nul deker (f)et donner au moins un élément non nul deIm(f):
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EXERCICE 3 Les partiesIetIIsont indépendantes.
Partie I : Étude dune variable aléatoire 1. Soithla fonction dénie sur lintervalle[0; 1]par : x 8x2[0; 1]; h(x) = 2x 1 a) Montrerquehest une bijection de[0; 1]sur[0; 1]et, pour touty2[0; 1], exprimerh(y): b) Déterminerdeux réelsetvériant :8x2[0; 1]; h(x) =+ 2x R 1 c) Calculerh(x)dx. 0 2. SoitXune variable aléatoire suivant la loi uniforme sur lintervalle[0; 1] a) Donnerlespérance et la variance de la variable aléatoireX. X b) Pourtout réelyde[0; 1]déterminer la probabilité de lévénementy 2X X c) Montrerque la variable aléatoireY=admet une densité et déterminer une densité 2X deY: d) MontrerqueYadmet une espéranceE(Y)-et déterminer
Partie II : Étude dun temps dattente Soitnun entier supérieur ou égal à 2. Une réunion est prévue entreninvités que lon note I1; I2 ; In. Chaque invité arrivera entre linstant0et linstant1. Pour tout entierktel que1kn, on modélise linstant darrivée de linvitéIkpar une variable aléatoireTkde loi uniforme sur lintervalle[0; 1]. On suppose de plus que, pour tout réelt, lesn événements(T1t),(T2t), (Tnt), sont indépendants. 1. Soitun réeltappartenant à[0; 1]. Pour tout entierktel que1kn, on noteBkla variable aléatoire de Bernoulli prenant la valeur1si lévénement(Tkt)est réalisé et la valeur0sinon. On noteSt=B1+B2+ +Bn: a) Quemodélise la variable aléatoireSt? b) Déterminerla loi de la variable aléatoireSt. 2. SoitR1la variable aléatoire égale à linstant de la première arrivée. a) Soitun réeltappartenant à[0; 1]. Comparer lévénement(R1> t)et lévénement(St= 0) b) Montrerque la variable aléatoireR1admet une densité et en déterminer une. 3. SoitR2la variable aléatoire égale à linstant de la deuxième arrivée. Montrer que la variable aléatoireR2admet une densité et en déterminer une.