Mathématiques I 2002 Classe Prepa MP Concours Mines-Ponts

Description

Concours du Supérieur Concours Mines-Ponts. Sujet de Mathématiques I 2002. Retrouvez le corrigé Mathématiques I 2002 sur Bankexam.fr.

Sujets

• Mathématiques indiennes
• 2002

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• Publié par: bankexam
• Publié le: 26 février 2007
• Nombre de lectures: 97
• Langue: Français

Extrait

A 2002 Math MP 1

ÉCOLE NATIONALE DES PONTS ET CHAUSSÉES. ÉCOLES NATIONALES SUPÉRIEURES DE L’AÉRONAUTIQUE ET DE L’ESPACE, DE TECHNIQUES AVANCÉES, DES TÉLÉCOMMUNICATIONS, DES MINES DE PARIS, DES MINES DE SAINT-ÉTIENNE, DES MINES DE NANCY, DES TÉLÉCOMMUNICATIONS DE BRETAGNE. ÉCOLE POLYTECHNIQUE (Filière TSI).

CONCOURS D’ADMISSION 2002

ÉPREUVE DE MATHÉMATIQUES PREMIÈRE ÉPREUVE Filière MP (Durée de l’épreuve:3 heures) (L’usage d’ordinateur ou de calculette est interdit).

Sujet mis à la disposition des concours : Cycle International, ENSTIM, ENSAE (Statistique), INT, TPE-EIVP.

Les candidats sont priés de mentionner de façon apparente sur la première page de la copie : MATHÉMATIQUES 1-Filière MP. Cet énoncé comporte 5 pages de texte. Si, au cours de l’épreuve, un candidat repère ce qui lui semble être une erreur d’énoncé, il le signale sur sa copie et poursuit sa composition en expliquant les raisons des initiatives qu’il est amené à prendre.

oit   s définis par les relations suivantes : SB n n  la suite des réel N n p 1  C n B p . B 0 1,B 1 1, pourtout entier naturelnsupérieur ou égal à 1,B n  p0

n p p Les réelsC n sont les coefficients du binôme ; le nombre réelC n estaussi ,, noté p égal au cardinal de l’ensemble des parties ayantpéléments d’un ensemble ayantnéléments.

PREMIÈRE PARTIE I-1.FonctionE: SoitEla fonction définie sur la droite réelleRpar la relation suivante : x e E  x  exp  expx  e. a. Démontrer que la fonctionEest développable en série entière sur la droite réelleR.

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b. �tant donn
un entier natureln, soitA n le r
el
gal la valeur de la d
riv
en-ime de la fonctionEen 0 :  n  A n E  0  . 0 D
montrer, en admettant les conventions habituelles 00!1, la relation suivante :  n k A n  .  k! k0

c. �tablir, pour tout entier natureln  n0  , une relation de r
currence exprimantA n1 en fonction deA 0 ,A 1 ,,A n . En d
duire l' expression suivante du r
elB n en fonction deA n : 1 B n A n . e

I-2.Comparaison de sommes infinies: suit ifs  u0  ; on suppose que, pour tout entier Soit  u n  1 une ede r
els strictement posit n n n natureln, la s
rie de terme g
n
ralu k k,kest convergente. Soit1, 2, ...,U n sa somme :  n U n   u k k. k1 a. D
montrer que, pour tout entierpdonn
sup
rieur ou
gal 1  p1  , lorsquel' entiern croît vers l'infini, le r
elU n est
quivalent au reste d'ordrepde la s
rie d
fini par la relation :  n R  u k k; c'est--dire : p,n kp  n ier strictement positifp,U n R p  u k k. pour tout ent ,n kp

et  v  b. �tant donn
es deux suites  u n  1 n n  de r
els strictement positifs n1 u n 0,v n 0 ,d
montrer que, si les r
elsu n etv n sont
quivalents lorsque l'entierncroît vers l' infini  u n v n  , les deux suites de r
elsU n ,n1, 2,etV n ,n1, 2,d
finis par les relations suivantes :   n n U n  u k k,V n  v k k,   k1k1 sont
quivalentes, lorsque l'entierncroît vers l'infini : U n V n .

I-3 Fonctionf n : �tant donn
un entiernstrictement positif  n1  , soitf n la fonction d
finie sur la droite r
elleRpar la relation suivante : 0, six0, f n  x   xxn1/2 e x, six0.

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�tant donn
un entiernstrictement positif  n1  , soits k le r
el d
fini par la relation suivante : s k f n  k  . a. �tudier, pour un entierndonn
, la convergence de la s
rie de terme g
n
rals k , k0, 1, 2,; soitS n la somme de cette s
rie :  S n   f n  k  . k0 b. D
montrer, lorsque l'entiern:eavtnesuilencuival'
q,inifni'lsrevtocr  1 A n  f n  k  .  2 k0

DEUXI�ME PARTIE �tant donn
un r
elstrictement positif  0  , soit  la fonction d
finie sur la demi-droite ouverte0,la relation suivante :, par    x  xlnxxlnx. II-1.
tude de la fonction  : a. D
terminer des
quivalents de   x  dans des voisinages de 0 et de l' infini. b. D
terminer les variations de la fonction  0,sur la demi-droite ouverte;
tablir en particulier l'existence d'un r
elen lequel la fonction  atteint son maximum. c. Soitla fonction qui, au r
elle r
el, associe. D
montrer que cette fonction, d
finie sur la demi-droite0,continûment d
rivable., est Pour tous r
elsxetstrictement positifs, la relation ci-dessous, dans laquelle le r
elest l' imagepar la fonctiondu r
el      , estadmise :     1x           xln  1x  xln  1x  .

II-2.Maximum de la fonctionf n : a. D
montrer que, pour tout entiernstrictement positif, la fonctionf n admet un maximum en un unique point n . Est-ce que la fonctionf n est continûment d
rivable sur la droite r
elleR? b. �tablir les propri
t
s suivantes v
rifi
es par les r
els n  n1  : i. En admettant les in
galit
s suivantes, 1 3 0 2 ln 2, 2 2 d
montrer que les r
els n ,n0, 1, 2,v
rifient les encadrements suivants : 1 1 2 2 ; pourtout entier sup
rieur ou
gal 3 :n n n.

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ii. le r�el n entierest n�gligeable devant l'nentierlorsque l'ninfini :cro
t vers l'  n o  n  lorsquen.  iii. pour tout r�elcompris strictement entre 0 et 1, le r�elnest n�gligeable devant n , lorsque l'entiernrctvo
slernf'ii:in  no   n  lorsquen.

TROISI�ME PARTIE tant donn�un entiernstrictement positif  n1  , soitg n la fonction d�finie sur la droite r�elleRpar la relation suivante : 1x g n  x  f n  n 1. f n   n  n III-1.Propri
t
s de la fonctiong n : a. V�rifier, pour tout entiernstrictement positif et tout r�elx, la relation suivante : n f n  x  f n   n  g n xn.  n

b. Donner l'allure du graphe de la fonctiong n .

c. D�montrer que la suite de f  g  c onctions n 1 onverge simplement vers une fonctiong; n expliciter cette fonctiong. d. D�montrer qu'il existe un entiern 0 tel que, pour tout entiernsup�rieur ou �gal n 0  nn 0  et tout r�elxstrictement sup�rieur n  xn  , la fonctiong n v�rifie la majoration suivante : n xx g n  x  exp ln 1. 2 n n

III-2:Une majoration de la fonctiong n : a. Soitula fonction d�finie par la relation suivante : 1 u  x    xln  1x  . 2 x D�montrer que cette fonction se prolonge en une fonction d�rivable sur la demi-droite ouverte1,; d�montrer que cette fonctionuest d�croissante sur cet intervalle. Pr�ciser son signe. b. En d�duire que, pour tout entiernentiersup�rieur ou �gal l'n 0 introduit la question III-1.d, la fonctiong n , d�finie sur la droite r�elle, v�rifie les majorations suivantes : 2 x1 g n  x  exp, six0 ;g n  x  exp  xln  1x  , six0. 4 2

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QUATRI�ME PARTIE Recherche d'un �quivalent du r�elB n entierlorsque l'ncro
t ind�finiment. IV-1.Int
grabilit
de la fonctiong n : D�montrer que, pour tout entiernstrictement positif, la fonctiong n est int�grable sur la droite r�elle. SoitI n la valeur de son int�grale : I n   g n  x  dx. R D�montrer que la suite de r�els  I n  est convergente. Il est admis que la limite de cette n1 suite est �gale 2. IV-2.Un encadrement de la sommeS n : tant donn�un entiernstrictement positif, d'aprs la questionI-3.a, le r�elS n est la somme de la s�rie de terme g�n�ralf n  k  ,k0, 1, 2,. D�terminer des r�elsK n et n tels que la sommeS n soit encadr�e de la manire suivante au moyen de l' int�graleI n : K n  I n  n  S n K n  I n  n  . Les r�elsK n et n seront explicit�s en fonction den, n et de la fonctionf n . La suite n tend vers 0. Indication: Soitp�gal la partie entire du r�ell' entier n ; cet entier est d�fini par les in�galit�s ci-dessous : p n p1. D�terminer des encadrements des deux sommesS n ´ etS n ´´ d�finies par les relations suivantes : p  S n ´  f n  k  ;S n  ´´  f n  k  . k0kp1

IV-3.Un
quivalent du r
elB n : D�duire des r�sultats pr�c�dents un �quivalent du r�elB n entierlorsque l'nfini.cort
evsr'lni

FIN DU PROBLÈME

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