Mathématiques I 2004 Classe Prepa PC Concours Mines-Ponts

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Concours du Supérieur Concours Mines-Ponts. Sujet de Mathématiques I 2004. Retrouvez le corrigé Mathématiques I 2004 sur Bankexam.fr.

Sujets

• Mathématiques indiennes
• 2004

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• Publié par: bankexam
• Publié le: 27 février 2007
• Nombre de lectures: 77
• Langue: Français

Extrait

A 2004 Math PC 1

´ ´ ECOLE NATIONALE DES PONTS ET CHAUSSEES. ´ ´´ ECOLES NATIONALES SUPERIEURES DE L’AERONAUTIQUE ET DE L’ESPACE, ´ ´´ DE TECHNIQUES AVANCEES, DES TELECOMMUNICATIONS, ´ DES MINES DE PARIS, DES MINES DE SAINT-ETIENNE, DES MINES DE NANCY, ´ ´ DES TELECOMMUNICATIONS DE BRETAGNE. ´ ECOLEPOLYTECHNIQUE(Filie`reTSI).

CONCOURS D’ADMISSION 2004

` ´´ PREMIERE EPREUVE DE MATHEMATIQUES Filie`rePC (Dure´edel’e´preuve:3heures) (L’usage d’ordinateur ou de calculette est interdit).

Sujetmis`aladispositiondesconcours:CycleInternational,ENSTIM,INT,TPE-EIVP.

Lescandidatssontpri´esdementionnerdefac¸onapparentesurlapremi`erepagedelacopie: ´ MATHEMATIQUES1-Filie`rePC.

Cete´nonc´ecomporte5pagesdetexte.

Si,aucoursdel’e´preuve,uncandidatrep`erecequiluisembleeˆtreuneerreurd’´enonce´,illesignale sursacopieetpoursuitsacompositionenexpliquantlesraisonsdesinitiativesqu’ilestamene´`aprendre.

Ceproble`memeten´evidenceparuneme´thodeoriginaleunepropri´et´eetunem´ethodedecalculde lamoyenneetdelavariancebienconnuesenProbabilit´es.

SoitS’ensllleeestius´rselbmesedeU= (u n tous les termes) dontu n sont positifs ou nuls et la n∈N somme´egale`a1: ( ) ∞ X S=U|U= (u n ),∀n, u n ≥0, u n = 1. n∈N n=0 SoitFonctdesfmbleensellse´reeoisn’lfqiuessdmeomssdentsoredere`itneeire´yanoedocvnreegcne Regtnvnresruqseol´eelelersup´erieurou´e`lagc;1a´sseeirentseeri`soescontxelte1a`lemmosru´egaest vaut1encepoint;touteslesd´erive´esdesfonctionsfen 0 sont positives ou nulles : ( ) ∞ ∞ X X n(n) F=f|f(x) =a n x ,a n = 1, R≥1,∀n, f(0)≥0. n=0n=0 ` A une suiteU= (u n ppraa,)aneta`tnSi´oclaeencfoontise,ssatfationsuivante:de´nfieiaplrrale n∈N ∞ X n f(x) =u n x . n=0 b Soitjplapl’naioatic´dfieniisin:eU7→−f=j(U) ; la fonctionj(Ueenot´)estU.

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Propri´et´esdesfonctionsdeFet des suites deS: 1.D´emontrerquetoutefonctionf,blensemquitrappaie’la`tneF,est, sur l’intervalle ouvertI= ]−1,u,[1ofen0[tneefid´menitincinonbaelc,ortn´dreviurlesegmissantes,1] et convexe sur l’intervalle semi-ouvert [0,1[.

2.D´emontrerquetoutefonctionf,aptriupaa`’leitnlembseenqF,ga`eunit1neehcua.ontces

q Exemples :soientG, EetVrseltalesnoiviusteui´esdiefinarsplsertioss:snaet n+1 ∙Glare´ne´gemretequedetrieom´teg´saiuseltg n = 1/2 :   1 G=. n+1 2 n∈N q ´ ∙iernaturn´eunenttEnadtnoleq, Eest la suite dont tous les termes sont nuls sauf le terme de rang q`a1:lage´

q E= (0, . . . ,0,1,0,∙ ∙ ∙). ∙V= (v n esrelationssuivatnse:)elastitsueredlee´e´dseinfilrap n∈N  ! −1 ∞ X a1 v 0 = 1/pour2 ;n≥1, v n = aveca= 2. 2 2 n n n=1 q q b c q 3. Montrerque les suitesG, EetVsont dansS.imrelrente´DimesesagG=j(G), E=j(E) q b b des suitesGetE´ceaelculerlad´eriv;Vla fonction´ deV=j(V) image de la suiteV; puis donner b l’expression deV(xtne´nuieed’d’lia)`ae.algr

4. Soitfnetrappanoitcnofnnae`tulae’snmelbeF. D´emontrerque,silafonctionfest nulle en 0 (fla fonction(0) = 0),fegaloit´e`atss,exsur le segment [0,1],´eorarepctristitajtmenemosxsur l’intervalle ouvert ]0,1[ (0< x <1 =⇒f(x)< x).

De´montrerque,silafonctionfest strictement positive en 0 (f(0)>0),oinuqta’le´

f(x) =x a, dans l’intervalle ouvert ]0,1[, au plus une solution.

5.D´emontrerque,pourtoutesuiteUlbesnmeenrtpaap’ealt`anS,la fonctionj(U)atienptp`aar l’ensembleF.’lpaqreutnere´omDnioaticpljest une application bijective de l’ensembleSsur l’ensemble F.

Une loi de composition dans l’ensembleS: ´ Etantdonn´eesdeuxsuitesU= (u n ) etV= (v n natearppenl’`antesbmela)S,soitU∗Vla n∈Nn∈N suite, dont les termesw n ,n∈Nfin´epaisarrlatels,dtnoe:ntvauinsio n X w n =u p v n−p . p=0 6.De´montrerquelasuiteU∗V= (w n iasn)paapiert´eidiefinbmesela`tnne’lS. n∈N

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7.De´montrerqu’´etantdonne´esdeuxsuitesUetVdeS,colaosmpe`´aeU∗Vde ces suites correspond par l’applicationjle produit des fonctionsj(U) etj(V) : \ b b j(U∗V) =j(U)j(V) ouU∗V=V .U .

8.D´emontrerquelaloidecomposition∗vetiiaocl´´eun,auentnemetseteertefinid´edssce-iatsssuse commutative.

´ Etantdonn´esunr´eelp, strictement compris entre 0 et 1 (0< p <lee´rnute)1λstrictement positif, p pλ soientB ,finiesd´euitelessteΠΓtnav:eelsdanameri`uies p p p ∙Best la suite dont tous les termesnβ ,∈N,sont nuls sauf les deux premiers :β= 1−pet n 0 p β=p: 1 p B= (1−p, p,0,0, . . .).

p pn ∙em´gtereetitdsealΓusralen´eγ= (1−p)p,n∈N: n

p n Γ =((1−p)p). n∈N

n λ λ λ −λ ∙mrgee´´niuetedetastlesΠeralπ=e,n∈N: n n!   n λ λ−λ Π =e . n! n∈N

Produit de composition∗de chacune de ces suitesqelecavismeˆe-mle:of p pλ 9.De´montrerquelestroissuitesB ,ntnel’`aseenlembΓeΠtappraitneS.´Dreteseengiammuieslrr c p c p c λ B ,Π parl’applicationΓ etj. ´ p∗q p∗q λ∗q 10.Etantdonne´unentiernaturelqetd´miersipof,tietcitnemrtstiseenlrseusB ,ΠΓ et p pλ obtenuesrespectivementa`partirdessuitesB ,Γ etcompositionΠ parqsiceresivaofelec-mlemeˆer´.P p∗q p∗q λ∗q lestermesdecessuitesnot´esrespectivementβ,γetπ ,n∈N. n nn

λ ∗q q Pourunr´eelλsulaeitnod,e´nimiledetBlorsque l’entierqrsl’ıtvei.infinrcˆo

11.Lere´elstrictementpositifλdosteitresquel’ennn´e;lorqest suffisamment grand, le rapportλ/q estunre´elstrictementcomprisentre0et1. De´terminer,pourtoutentiernuidmeiltmarle,te´xfie

λ ∗q λ q ∗q β n de rangnde la suiteB , q λ λ lorsque l’entierqetmredudecroˆıtverslE.infini’cremirpxmiliteetail’`ateπde rangnde la suite Π. n

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