Mathématiques II 2004 Classe Prepa PSI Concours Mines-Ponts

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Concours du Supérieur Concours Mines-Ponts. Sujet de Mathématiques II 2004. Retrouvez le corrigé Mathématiques II 2004 sur Bankexam.fr.

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• 2004

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• Publié par: bankexam
• Publié le: 27 février 2007
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• Langue: Français

Extrait

A 2004 Math PSI 2

´ ´ ECOLE NATIONALE DES PONTS ET CHAUSSEES. ´ ´´ ECOLES NATIONALES SUPERIEURES DE L’AERONAUTIQUE ET DE L’ESPACE, ´ ´´ DE TECHNIQUES AVANCEES, DES TELECOMMUNICATIONS, ´ DES MINES DE PARIS, DES MINES DE SAINT-ETIENNE, DES MINES DE NANCY, ´ ´ DES TELECOMMUNICATIONS DE BRETAGNE. ´ ECOLEPOLYTECHNIQUE(Fili`ereTSI).

CONCOURS D’ADMISSION 2004

´ ´ SECONDE EPREUVE DE MATHEMATIQUES Filie`rePSI (Dure´edel’e´preuve:3heures) (L’usage d’ordinateur ou de calculette est interdit).

Sujetmis`aladispositiondesconcours:CycleInternational,ENSTIM,INT,TPE-EIVP.

Lescandidatssontpri´esdementionnerdefac¸onapparentesurlapremi`erepagedelacopie: ´ MATHEMATIQUES2-Filie`rePSI.

Cet´enonce´comporte4pagesdetexte.

Si,aucoursdel’e´preuve,uncandidatrep`erecequiluisembleˆetreuneerreurd’´enonc´e,illesignale sursacopieetpoursuitsacompositionenexpliquantlesraisonsdesinitiativesqu’ilestamen´e`aprendre.

Lebutdeceproble`meestl’´etudededeuxsuitesre´ellesF= (f n ) etG= (g n )edtse´sreeis n∈Nn∈N n n entie`resdetermesge´n´eraux(f n x) et(g n x) . n∈Nn∈N

SoientF= (f n ) etG= (g n euxpremiearrsleursdhccanupe´dfieinseeer´esllsuuxesitledse) n∈Nn∈N ´el´ementsetlameˆmerelationdere´currenceci-dessous:

F:f 0 = 0, f 1 = 1,pour tout entier natureln, f n+2 =f n+1 +f n ; G:g 0 = 2, g 1 = 1,pour tout entier natureln, g n+2 =g n+1 +g n . SoitM 2 llse´reerd2e’droent;soil’esecaptceveirosedltrmaesicrrcaes´eIee´tinuettriclamaJla matricecarr´eede´finiesparlesrelationssuivantes:   √  √   1 00 5/ 2 5 0 1 √ I= ;J= =. 0 1 5/ 0 2 0 2 1 Pour tout entier natureln,soitU n rtamaltn:eiuavoisnletarlariepa´efiniced 1 U n =f n J+g n I. 2   1 SoientUla matriceU 1 U=U 1 =J+IetEle sous-espace vectoriel deM 2 sdlearepxeu´rdnegne 2 matricesIetJ.

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Premi`erepartie

Lebutdecettepartieestl’´etudealterne´edesdeuxsuitesdere´elsetdelasuitedesmatrices;elle permetd’obtenirdesr´esultatspre´liminaires. Quelquesproprie´te´s: n n 1.D´emontrerquelasuitedesmatrices(U) ,ou`Uest la matriceUecnass´eevel´uiapale`n, n∈N 0 (avec la convention habituelleU=Iirotlet`en’ealacspecev)a,ppraitE. ´ 2. Etablirla relation qui, pour tout entier natureln,lie les matricesU n+2 , U n+1 etU n . Caract´erisationdelasuitedematrices(U n )´enssencqeuquelcoesuq;: n∈N p 3. Comparer,pour tout entierpcompris entre 0 et 2 (0≤p≤2) les matricesU p etUr.Dmo´erent n qu’il existe, pour tout entier natureln, une relation simple entre les matricesU n etU . 4.De´duiredesdeuxre´sultatspr´ec´edentslesrelationssuivantes: n2 2n pour tout entier natureln,detU n = (−1),(g n )−5 (f n ) =4 (−1).

´ 5.Etantdonne´sdeuxentiersnaturelspetq,exprimer les termesf p+q etg p+q des suitesFetGen fonction des termesf p , g p , f q etg q eecdmseˆemssiuet.s Inverse des matricesU n : 6.De´terminerl’inversedelamatriceU n en fonction des matricesIetJ. Exprimerles coefficients des matricesIetJail’dede`ae´rsslef n etg n . Despolynˆomesannule´sparlamatriceU Soit, pour tout entiern,l`a2´egauorueire´pusP n (Xalraalernoitviustean:)lenfipidee´ˆnmoopyl n P n (X) =X−f n X−f n−1 . 2 7.De´montrerquelepolynˆomeP n (Xse)bisividteprlpalemeˆoynolX−X−1. 8.Quelestlepolynˆomecaract´eristiquedelamatriceU? n 9. Calculerla valeur de la matriceC n =U−f n U−f n−1 I.

n 2n n2 Divisibilite´dupolynˆomeX−g n X+ (−1)parX−X−1: Soit toujoursnou´eieura2.gal`neitnu´prereus 10.De´terminerlepolynˆomecaract´eristiquedelamatriceU n :te.End´eduireeralitalusnonavi

2 n n n U−g n U+ (−1)I= 0.

2n 11. SoientQetRlypoomnˆendiduneetuaneffecusenbtencuiloienvisiltdaosemoˆnylopselX− n n2 g n X+ (−nˆomearlepolyp)1X−X−1 :   2n n n 2 X−g n X+ (−1) =Q(X)X−X−1 +R(X). Pr´eciserlesdegr´esdespolynˆomesQetR. 2n De´montrer,enutilisantparexemplelesr´esultatsdelaquestionpr´ec´edente,quelepolynoˆmeX− n n2 g n X+ (−1) estdivisible parX−X−1.

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Deuxi`emepartie

Lebutdecettepartieestl’e´tudedepropri´et´esdesuitesconstruites`apartirdesdeuxsuitesFetG.

Un calcul de sommes : 12. Lebut de cette question est de calculer, pour tout entiern(2a`lage´uorueriesup´n≥2), des expressions plus simples des deux expressions suivantes :

n X α n =f 0 +f 2 +. . .+f 2n =f 2k . k=0 n X β n =g 0 +g 2 +. . .+g 2n =g 2k . k=0 De´terminerlesexpressionsdeα n et deβ n en fonction respectivement def 2n+1 et deg 2n+1 en con- sid´erantparexemplelamatriceS n suontilarelaarepinfie´det:vina n X S n =U 0 +U 2 +. . .+U 2n =U 2k . k=0

SoitTla suite (t n epnilear)efid´tes:snusvinarsletaoi n∈N

t 0 = 1, t 1 = 4,pour tout entier natureln, t n+2 = 4t n+1 +t n . D´eterminationdese´l´ementst n de la suiteTedede´rssle`aail’f n etg n . 6 32 13.D´emontrerquelepolynˆomeX−4X−eparlepolynˆomee1tsidivislbX−X−1.

14.Ende´duirequelamatriceUernaentilturefii,e´vreottuoprup,la relation suivante :

6+p3+p p U= 4U+U .

15.D´eduiredelarelationpr´ece´dentequelestermesdessuitesFetGre´vitreutenurtot,poifien naturelp,les relations suivantes :

f 6+p = 4f 3+p +f p ,

g 6+p = 4g 3+p +g p .

16.D´eduiredesr´esultatspr´ece´dentsl’expressiondutermeg´ene´ralt n de la suiteT ,raelinpeefid´s relations suivantes :

t 0 = 1, t 1 = 4,pour tout entier natureln, t n+2 = 4t n+1 +t n , en fonction de termes des suitesFetG.

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