Mathématiques III 1999 Classe Prepa HEC (ECO) HEC

Description

Examen du Supérieur HEC. Sujet de Mathématiques III 1999. Retrouvez le corrigé Mathématiques III 1999 sur Bankexam.fr.

Sujets

• 1999
• HEC

Informations

• Publié par: bankexam
• Publié le: 17 mars 2007
• Nombre de lectures: 84
• Langue: Français

Extrait

CHAMBRE DE COMMERCE ET DINDUSTRIE DE PARIS DIRECTION DE LENSEIGNEMENT Direction des Admissions et concours

ECOLE DES HAUTES ETUDES COMMERCIALES E.S.C.P.-E.A.P. ECOLE SUPERIEURE DE COMMERCE DE LYON

CONCOURS DADMISSION SUR CLASSES PREPARATOIRES

OPTION ECONOMIQUE MATHEMATIQUESIII Année 1999

La présentation, la lisibilité, lorthographe, la qualité de la rédaction, la clarté et la précision des raisonnements entreront pour une part importante dans lappréciation des copies. Les candidats sont invités à encadrer dans la mesure du possible les résultats de leurs calculs. Ils ne doivent faire usage daucun document :lutilisation de toute calculatrice et de tout matériel électronique est interdite. Seule lutilisation dune règle graduée est autorisée.

1/4

Exercice 1 4 44 On noteL(R)lensemble des endomorphismes de lespace vectorielR,Idlendomorphisme identique deRetI la matrice identité deM 4 (R). Onconsidère les matrices : 0 10 1 0 1 0 00 0 1 0 1 0 0 00 0 0 1 B CB C L=; M= @ A@ A 0 0 0 11 0 0 0 0 0 1 00 1 0 0 4 On désigne respectivement par'etles endomorphismes deRreprésentés parLetMdans la base canonique 4 E= (e 1 ; e 2 ; e 3 ; e 4 )deR. 4 1. (a)Montrer que'etsont des automorphismes deRet en déterminer les automorphismes réciproques. (b) Déterminerles valeurs propres et les sous espaces propres associés de lendomorphisme'. Déterminer de même les valeurs propres et les sous espaces propres associés de. 4 (c) Montrerque lon peut trouver un vecteurf 1 non nul deRvériant'(f 1 ) =f 1 et(f 1 ) =f 1 . 4 (d) Déterminer,plus généralement, une baseF= (f 1 ; f 2 ; f 3 ; f 4 )deRdont chaque vecteur est à la fois un 0 0 vecteur propre de'et un vecteur propre de. Donnerla matriceLde'et la matriceMdedans cette baseF. 4 2. Onse propose détudier lensembleCdes endomorphismesdeRvériant'='et=. 4 (a) MontrerqueCest un sous espace vectoriel deL(R)qui contient'et. 0 0 (b) Montrerque si2Cet2C, alors2C. 4 4 (c) Soit2 L(R)un endomorphisme deRet soitGla matrice dedans la baseF, constituée de vecteurs propres de'et, déterminée à la question 1.d).Montrer que2Csi et seulement siGest une matrice diagonale. 4 (d) Endéduire queCest un sous espace vectoriel de dimension 4 deL(R)et que les en domorphismesId, ',et'forment une base deC.

Exercice 2 On considère un entier naturelNsupérieur ou égal à 3, et on notef1;2; : : : ; Nglensemble des entiers strictement positifs, inférieurs ou égaux àN. Une urne contientNboules numérotées de1àN. Ony e¤ectue des tirages successifs dune boule avec remise de la boule tirée après chaque tirage, jusquà obtenir pour la première fois un numéro déjà tiré.On note alorsT N le rang aléatoire de ce dernier tirage. Cest ainsi que, si on a obtenu successivement les numéros -1-5-4-7-3-5-, la variableT N prend la valeur 6, alors que si lon a obtenu -5-4-2-2- la variableT N prend la valeur 4. On admet quon dénit ainsi une variable aléatoire sur un espace probabilisé, dont la probabilité est notéeP. Toutes les variables aléatoires introduites dans le problème seront supposées dénies sur cet espace.SiZest une telle variable, son espérance sera notée E(Z) et sa variance V(Z). N.B.Les parties II et III sont indépendantes.

I. Etude de la variable aléatoireT N 1. Danscette question, on se place dans le cas particulier où lentierNest égal à 3. Déterminer la loi deT 3 et calculer son espérance et sa variance. 2. Onrevient désormais au cas général oùNest supérieur ou égal à 3.

(a) Déterminerlensemble des valeurs que peut prendreT N .

2/4

(b) CalculerP(T N = 2),P(T N = 3), etP(T N =N+ 1). (c) Prouver,pour tout entierkdef1;2; : : : ; Ng, les égalités

k1 Y N!i P(T N > k= (1) =) k (Nk)! N N i=0

En déduire la loi de la variable aléatoireT N . (d) Déterminer,pour tout entierkxé, la limitelimP(T n > k). N!+1 Pouvait-on prévoir ce résultat?

II. Etude dun algorithme Dans le programme Turbo-Pascal suivant, la fonctionRANDOMrenvoie, pour un argumentMde typeINTEGER, un nombre entier aléatoire de lintervalle[0; M1]. PROGRAM simulation; VAR T :ARRAY[1..20001] OF INTEGER; U,S,i,n :INTEGER; coincide :BOOLEAN;

PROCEDURE X; BEGIN RANDOMIZE; {initialisationde la fonction RANDOM} FOR i :=1 to 20001 DO T[i] :=1+RANDOM(20000); END;

BEGIN X; i :=1; coincide :=FALSE; REPEAT i :=i+1; S :=0; WHILE (S<i-1) and NOT coincide DO BEGIN S :=S+1; IF T[S]=T[i] THEN conicide :=TRUE; END; UNTIL coincide = TRUE; U :=i; FOR n :=1 to i DO WRITELN(T[n],, ); WRITELN; WRITELN(U= ,U); WRITELN(S= ,S); READLN; END.

a) Quefait la procédure X ?

b) Quereprésentent les variables U et S à la n du programme ?

c Pourquoiest-il certain que le nombre de passages dans la boucleREPEAT ...

3/4

UNTILest ni ?

III. Etude du comportement asymptotique de la suite(T N ) N>3 1. Uneformule pour lespérance deT N . N P (a) Justierlégalité suivante :E(T N ) =P(T n > k). k=0 h N N! P N (b) Endéduire légalité :E(T N ) =. N N h! h=0 2. Unrésultat utile sur les lois de Poisson. Soit(X n ) n>1 une suite de variables aléatoires de Poisson indépendantes de paramètre= 1et soit, pour tout entierN>1,Y N =X 1 +X 2 +: : :+X N . (a) Montrer par récurrence surN, que la loi deY N est une loi de Poisson de paramètreN. Donner lespérance et la variance deY N . (b) Justierlégalité 0   Z Y n N1 2 t =2 limP p 60 = p e dt N 2 N!+1 1 1 (c) Endéduire légalite :limP(Y n 6N) = N!+1 2 N 1N!e 3. Enappliquant ce résultat, montrer queE(T N )est équivalent àquandNtend vers linni. N 2N 4. Uneexpression de la variance deT N . N P 2 (a) MontrerlégalitéE(T) =(2k+ 1)P(T N > k): N k=0 h N N P N! P N (b) Etablirla relationkP(T N > k) =(Nh). N N h! k=0h=0 h N+1 N P N N (c) Montrerlégalité :(Nh) =. h!N! h=0 (d) Endéduire que la varianceV(T N )deT N et son espérance vérient la relation : 2 V(T N ) = 2N+E(T N )(E(T N )) p NN 5. Enadmettant le résultat classique :N!N e2NquandNtend vers linni, donner, en conclu- sion, des équivalents simples deE(T N )etV(T N ): * FIN *

4/4