Première épreuve 2004 Classe Prepa MP Ecole de l'Air

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Examen du Supérieur Ecole de l'Air. Sujet de Première épreuve 2004. Retrouvez le corrigé Première épreuve 2004 sur Bankexam.fr.

Sujets

• 2004
• École de l'air

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• Publié par: bankexam
• Publié le: 28 février 2007
• Nombre de lectures: 182
• Langue: Français

Extrait

Ceprobl`emefaite´tudiercertainespropri´et´esdel’e´quationdiffe´rentielle

002 −u(x) +x u(x) =λu(x) enparticulierlespolynoˆmesd’Hermite(partieI),etunein´egalite´quiestlatraduction math´ematiqueduprinciped’incertitudedeHeisenberg(question12)).Lesquestions9)et 10)delapartieIIpeuventeˆtretraite´essansfaireappelauxre´sultatsdelapartieI. I ∗ On poseH 0 (x) = 1 et, pour toutn∈N, n d 2 2 n x−x H n (x) = (−1)e(e). n dx 1) CalculerH 1 (x),H 2 (x),H 3 (x),H 4 (x) etH 5 (x). 2) a) Montrer que, pour toutn∈N,H n r´egededomnˆlyponoitcnofenutseenet que la suite (H n elatieolnarerifi)v´ 0 x)−H(x). H n+1 (x) = 2xH n ( n 2)b)Quelestlecoefficientdumonoˆmedeplushautdegr´edansH n ? 2) c) ExprimerH n (−x) en fonction deH n (xruedavel.)´dnEiudealerH 2n+1 (0) pour tout n∈N. 3) a) Pour toutn≥1, calculer n d 2 −x ¯ (e). n x =0 dx 2 −x (On pourra exprimeree´seeeiremmonu’d.i`nte)ercommes 3)b)End´eduirelavaleurdeH 2n (0) pour toutn∈N. 4)a)Quelssontlesze´rosdesfonctionsH 1 ,H 2 ,H 3 ,H 4 etH 5 ? 4) b) Soienta∈Retf: [a,+∞[→Rtnnieute´dreviba]rusecloa,+∞[. Onsuppose que f(alim) = 0 et quef(x) = 0. x→+∞ 0 Montrer qu’il existeα∈]a,+∞[ tel quef(α) = 0. 4) c) Montrer que, pour toutn≥1, la fonctionH n admetnerosr´eez´tc.sslidtsni 5) a) Montrer que, pour toutm,n∈N, l’on a Z +∞ 2 −x H m (x)H n (x)e dx= 0 sim6=n . −∞ 5)b)Etantdonne´eunefonctionpolynoˆmePddege´re< n, calculer Z +∞ 2 −x P(x)H n (x)e dx. −∞ 1

5) c) Calculer, pour toutn∈N, Z +∞ 2 2−x H n (x)e dx. −∞ R 2 +∞ √ −x (On rappelle quee dx=π). −∞ 6) a) Montrer que pour toutn∈Nla famille{H 0 (x), H 1 (x), . . . , H n (x), xH n (x)}est une basedel’espacevectorieldesfonctionspolynoˆmesdedegre´auplusnsticneocffietea`+1 r´eels. ∗ 6) b) Montrer que pour toutn∈Ntsdeelixe´leuerxsia n etc n que l’on calculera, tels que H n+1 (x) =a n xH n (x) +c n H n−1 (x),pour toutx∈R. (Onpourrade´composerH n+1 dans la base du 6) a) et utiliser la question 5)). 7) Pour toutn≥0, calculer l’expression 00 0 H(x)−(x) n 2xH n + 2nH n (x). (On pourra utiliser les questions 2) a) et 6) b)). 8) Pour toutn∈Nlafo`ereonncti,disnocnou n :R→R´dfierainpe n d 2 22 −x /2/n x2−x ∀x∈R, u n (x) =e H n (x) = (−1)e(e) n dx Montrer que, pour toutn∈N,u n rie´naenoilorpruetcevtseticalipp’aeledprT´dfieurnies ∞ C(R) par 2 d f 2 (T f)(x) =−(x) +x f(x),∀x∈R, 2 dx c’esta`direqu’ilexisteunnombrer´eelλ n que l’on calculera tel que 2 d u n 2 −(x) +x u n (x) =λ n u n (x),∀x∈R. 2 dx

II 1 2 Onde´signeparC(R) (resp.C(R), resp.C(R)) l’ensemble des applications conti- 1 2 nues (resp.de classeC, resp.de classeC) deRdansR. 9) a) Soitφ∈C(R) telle que Z +∞ |φ(x)|dx <+∞. −∞ Montrer qu’il existe deux suites (a n ) n∈N et (b n ) n∈N telles que (a n ) tend vers +∞, (b n ) tend vers−∞et (φ(a n )) n∈N et (φ(b n )) n∈N convergent vers 0. 2

b) A-t-onφ(x)→0 lorsque|x| →+∞? 2 10) a) Soitu∈C(R) telle que Z +∞ £ ¤ 2 202 (∗) (1+x)u(x) +u(x)dx <+∞. −∞

Calculer, pour toutaetb∈R, Z Z b b £ ¤ 02 22 202 u(x) +x u(x)−u(x)dx−[u(x) +xu(x)]dx . a a

2 10)b)Montrerqu’ilexisteunre´elpositifα(que l’on calculera) tel que, pour toutu∈C(R) v´erifiant(∗), l’on ait Z Z +∞+∞ £ ¤ 02 22 2 u(x) +x u(x)dx≥α u(x)dx −∞ −∞

11) Justifier l’existence de ½Z Z¾ +∞+∞ £ ¤ 022 22 2 infu(x) +x u(x)dx ¯ u∈C(Refi(v)e´ir∗) etu(x)dx= 1 −∞ −∞

etlacalculer.Cetteborneinf´erieureest-elleatteinte? R +∞ 2 2 12) Montrer que pour toute fonctionu∈C(R*)ett(anifierv´)u(x)dx= 1, l’on a −∞ Z Z +∞+∞ 02 22 u(x)dx xu(x)dx≥1/4, −∞ −∞

et donner un exemple de telle fonctionu’ielllueitalegn´sed-ice´eivedsusnlurtqnapueo e´galite´.

FIN

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