Technicien sup territorial mathematiques 1997 externe

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GJGConcours Externe B Technicien Territorial 1997 3 heures Coef : 4 « Cette épreuve se compose de deux parties indépendantes ». PARTIE I On considère la fonction numérique ...

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Extrait

Concours Externe B

Technicien Territorial 1997

3 heures Coef : 4

« Cette épreuve se compose de deux parties indépendantes ».

PARTIE I

On considère la fonction numérique f définie par

f

(

x

)=3

x

–

x

ln|

x

|

pour

x

≠ 0

et

f

(0) = 0

On désigne par (C) sa courbe représentative dans un repère orthonormé du plan ;

unité :

1

4

cm

1.

Etudier la continuité et la dérivabilité de la fonction

f

. Calculer sa dérivée.

2. Préciser son domaine d'étude et construire son tableau de variation.

3. Calculer les coordonnées des points d'intersection de (C) avec l'axe des abscisses.

4. a. Déterminer une équation de la tangente à (C) au point d'abscisse

x

= e

b. Démontrer que la courbe (C) admet une tangente à l'origine que l'on précisera.

5. Construire (C).

6. Calculer l'aire du domaine plan, ensemble des points dont les coordonnées (x,y)

vérifient

1

0

(

)

≤

≤





≤

≤



x

e

y

f

x

PARTIE II

Soit ABC un triangle équilatéral de côté

a

, où

a

est un nombre réel strictement positif

donné. On désigne par B' le milieu de [AC] et par D le point défini par la relation :

4AD = AB + 3BC

JJJG

JJJG

JJJG

1.

Démontrer que

3

BD =

BB'

2

JJJG

JJJG

. En déduire que D appartient à la médiatrice du

segment [AC].

2. Calculer

BB', BD et AD

JJJG JJJG

JJJG

en fonction de

a

.

3.

Démontrer que D est le barycentre des points pondérés (A, 3), (B, -2) et (C, 3).

4. Pour tout point M du plan on pose :

f

(M) = 3MA

2

- 2MB

2

+ 3MC

2

a. Calculer

f

(D) en fonction de

a

.

b. Calculer

f

(M) en fonction de

a

et de MD.

On pourra utiliser les relations :

MA = MD + DA ; MB = MD + DB ; MC = MD + DC

JJJJG

JJJJG

JJJG

JJJJG

JJJJG

JJJG

JJJJG

JJJJ

G

J

JJG

.

c. Déterminer et tracer l'ensemble des points M du plan tels que f(M) = f(G), où G

est le centre de gravité du triangle ABC.

d. Soit k un nombre réel donné. Déterminer l'ensemble des points M du plan

vérifiant la relation : f(M)= k. Discuter.