UNSA DEA Examen du mars “Representations lineaires des groupes symetriques”

Description

UNSA, DEA 2003/2004, Examen du 11 mars 2004. “Representations lineaires des groupes symetriques” L'espace hermitien des fonctions centrales f : Sn ? C est note R(Sn). Son produit hermitien est defini par = 1n! ∑ ??Sn f(?)g(?). Les representations (V, ?V ) sont de dimension finie et ?V designe a la fois l'action de groupe Sn ? Gl(V ) et l'action d'algebre C[Sn] ? End(V ), i.e. ?V ( ∑ ??Sn f(?)?) = ∑ ??Sn f(?)?V (?) : V ? V . Le caractere de (V, ?V ) est note ?V ? R(Sn). Chaque partition ? n definit une representation irreductible Sp? de dimension f? et de caractere ??. On note trivn (resp. sgnn) le C-espace vectoriel de dimension 1 muni de l'action triviale (resp. signature) de Sn. Chaque partition (?1, . . . , ?k) n definit un sous-groupe S? ?= S?1 ? · · · ? S?k de Sn. On note M ? = C[Sn/S?] le C-espace vectoriel de base Sn/S?.

• caractere


• linearite de l'action de sn sur sn


• representations adjacentes


• sp? de dimension f? et de caractere ??


• tableau standard


• isomorphisme de representations ?


• partition duale de ?


• action triviale

Sujets

• Caractère

Informations

• Publié par: pefav
• Publié le: 01 mars 2004
• Nombre de lectures: 28
• Langue: Français

Extrait

UNSA, DEA 2003/2004, Examen du 11 mars 2004. “Repr´esentationsline´airesdesgroupessym´etriques” L’espace hermitien des fonctions centralesf: S n →Ctoe´sentR(S n ). Son P 1 produithermitienestde´finipar< f, g >=f(σ)g(σ). n! σ∈S n Lesrepr´esentations(V, ρ V ) sont de dimension finie etρ V nleai`gaiessfdo´ l’action de groupe S n →Gl(Vbeer)etl’actiond’alg`C[S n ]→End(V), i.e. P P ρ V (f(σ)σ) =f(σ)ρ V (σ) :V→V. σ∈S n σ∈S n Lecaracte`rede(V, ρ V tes´otne)χ V ∈R(S n partition). Chaqueλ`nd´fieint λ λ unerepre´sentationirr´eductibleSpdedimensionf`ectracadeeterχ λ . On notetriv n (resp.sgn n ) leC-espace vectoriel de dimension 1 muni de l’action triviale (resp.signature) de S n . Chaquepartition (λ 1 , . . . , λ k )`n λ ∼ d´efinitunsous-groupeS λ = S λ 1 × ∙ ∙ ∙ ×S λ k de S n note. OnM=C[S n /S λ ] λ leC-espace vectoriel de base S n /S λ de S. L’action n surMes´ddeuitpar lin´earite´del’actiondeS n sur S n /S λ ese´rpernoitatnmueslPelerang´´eteou,t.nt pour laquelle il existe une baseEstable sous l’action de S n restonaee´C[E] etappel´eepermutativeD.uerxpe´rsesnoitatneVetWsont ditesadjacentessi < χ V , χ W >= 1. I.Caract`eresirr´eductiblesetidempotentscentraux. P I.1.Montrerqu’un´el´ementx=f x (σ)σest central dansC[S n ] (i.e. σ∈S n ∀y∈C[S n ] :xy=yx) si et seulement sif x ∈R(S n ). P I.2. Rappelerpourquoif=< χ λ > χ, f λ pour toutf∈R(S n ). En λ`n de´duirea`l’aidedeI.1quetout´el´ementcentralx∈C[S n ´’s]irceoutsafslmeor P P x= (< χ λ , f x > χ λ (σ))σ. σ∈S n λ`n λ ρderie.D)du´edEnSp( I.3. Soitx∈C[S n ] central.Montrer que Sp (x)∈ S n λ ´edelatracequeT r(x) laline´arit(ρ Sp ) =n!< χ λ , f x >(On pourra utiliser que λ −1 n! σ)). Conclurequ> id, f. χ λ (σ) =χ λ ( eρ Sp (x) = λ < χ λ x Sp λ λ f 2 I.4. Soitx∈C[S n ] central et idempotent (i.e.x=xpose supp(). Onx) = {λ`n|ρ(x)6= 0}. Montrerqueρ(x) est soit l’application nulle soit λ λ Sp Sp P P λ f l’identit´e.D´eduiredeI.2etI.3quex= (χ λ (σ))σ. Ex- σ∈S n λ∈supp(x) n! plicitercetteformulepourl’unit´edel’alge`breC[S n ]. ∼ I.5.Montrerquetoutealge`breA`gla’dtiserbe,quiroduestpA = A 1 ×A 2 , contient des idempotents centrauxe 1 , e 2 tels quee 1 +e 2 = 1 ete 1 e 2 = 0. Indication :posere 1 = (1 A 1 ,0 A 2 ) ete 2 = (0 A 1 ,1 A 2 e´dnE.)equeduirC[S n ] P contient une famille d’idempotents centraux (e λ ) λ`n tels quee λ = 1 et, λ`n siλ6=µ,e λ e µ = 0 et supp(e λ ) ={λ}. P λ f I.6.De´duiredeI.4etI.5laformulee λ =χ λ (σ)σles. Expliciter n! σ∈S n idempotents centraux (e λ ) λ`n pourn= 2 etn= 3. II. Calcul deχ (n−1,1) . II.1.Montrerquelecaracte`red’unerepr´esentationpermutativeC[E] se calcule par la formuleχ C[E] (σ) = card{e∈E|σ.e=e}, σ∈S n .

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