Corrige AGREGEXT Composition de physique option physique 2008 AGREG PHYS

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Agrégation externe de sciences physiques, option physique Session 2008 Corrigé de l’épreuve A ELECTROMAGNETISME Première Partie : Quelques aspects fondamentaux de l’électromagnétisme A. Des équations de Maxwell I. ♦ Coulomb Charles (1736-1806) : met en évidence expérimentalement la loi 1 (loi de Coulomb). d’interaction électrostatique en 2r♦ Ampère André-Marie (1775-1836) : origine électrique du magnétisme (courants ampériens), travaux sur les forces d’interaction entre circuits, théorème dit d’Ampère. ♦ Faraday Michael (1791-1867) : lois expérimentales de l’induction électromagnétique. ♦ Maxwell James Clerk (1831-1879) : réalise la synthèse de l’électromagnétisme en unifiant électricité, magnétisme, induction, et en prévoyant l’existence des ondes électromagnétiques. Il est à noter que Maxwell n’est pas l’auteur formel des célèbres équations de Maxwell, même si les idées fondamentales qui s’y cachent lui sont dues sans doute possible. C’est Oliver Heaviside, élève de Maxwell qui mettra les idées de Maxwell en forme et produira formellement le système des « équations de Maxwell ». ♦ Hertz Heinrich (1857-1894) : réussit, en 1886, à produire et à détecter des ondes électromagnétiques. Il apporte ainsi, vingt ans après, la confirmation expérimentale à la théorie de Maxwell. ♦ Lorentz Hendrik Antoon (1853-1928) : auteur de la célèbre transformation de Lorentz, qui permettra de donner à l’électromagnétisme son cadre naturel : la relativité. ...

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Agrégation externe de sciences physiques, option physique

 Session 2008



Corrigé de lépreuve A  ELECTROMAGNETISME

 Première Partie : Quelques aspects fondamentaux de lélectromagnétisme 

A. Des équations de Maxwell I. ♦ (1736-1806) : met en évidence expérimentalement la loiCoulomb Charles 1 dinteraction électrostatique en 2 (loi de Coulomb).

II.♦







♦ 

 

♦ Ampère André-Marie (1775-1836) : origine électrique du magnétisme (courants ampériens), travaux sur les forces dinteraction entre circuits, théorème dit dAmpère. ♦ Faraday Michael (1791-1867) : lois expérimentales de linduction électromagnétique. ♦ Maxwell James Clerk (1831-1879) : réalise la synthèse de lélectromagnétisme en unifiant électricité, magnétisme, induction, et en prévoyant lexistence des ondes électromagnétiques. Il est à noter que Maxwell nest pas lauteur formel des célèbres équations de Maxwell, même si les idées fondamentales qui sy cachent lui sont dues sans doute possible. Cest Oliver Heaviside, élève de Maxwell qui mettra les idées de Maxwell en forme et produira formellement le système des « équations de Maxwell ». ♦ Hertz Heinrich (1857-1894) : réussit, en 1886, à produire et à détecter des ondes électromagnétiques. Il apporte ainsi, vingt ans après, la confirmation expérimentale à la théorie de Maxwell. ♦ Lorentz Hendrik Antoon (1853-1928) : auteur de la célèbre transformation de Lorentz, qui permettra de donner à lélectromagnétisme son cadre naturel : la relativité. ♦ Lorenz Ludwig (1829-1891) : même si ce nest pas à lui que lénoncé pensait, on pouvait évoquer son nom car il fut lun des premiers à développer la théorie de Maxwell et à utiliser les potentiels scalaire et vecteur  ρ e ⇔E.n= me de Gauss div E ε = 0 ∫ S ∫xt Q Sd ε 0 nti  : théorè rot B= μ 0   ⎝  ⎜ j+ ε 0 ∂ ∂ E t   ∫     ⎜   ⎝ I int + ε 0 ∫ S ∫ ∂ ∂t E .ndS ⎟ : théorème dAmpère ⇔B   ⎠ ⎟     C .dl= μ 0    rot E− ∂ ∂ = t B ⇔ C ∫ E.dl= − td d  ⎝ ⎜  ∫ S ∫ B.ndS ⎠     ⎟ : loi de Faraday div B=0⇔ ∫∫ B.n ext dS=0 : champ magnétique à flux conservatif S Pour fonder lélectromagnétisme, il faut ajouter, ou bien la loi de force de Lorentz, qui définit linteraction électromagnétique, ou bien, lexpression du vecteur de Poynting, qui caractérise les échanges énergétiques.

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  B. De lApproximation des Régimes Quasi-Stationnaires  I. Condensateur plan en régime sinusoïdal forcé : première approche.  1.a.La symétrie de révolution daxeOzainsi que lexistence des plans de symétrie contenant laxeOz i pliquent :   E ( r,t ) =E r ( r,z,t ) u r +E z ( r,z,t ) u z m ⎨ ⎪ ⎩ ⎪      B ( r,t ) =B θ ( r,z,t ) u θ . e Si rot E=0 , ∂ E z r ∂ = r E z , soit en ordre de grandeur : E r ≈ E z , donc : E r ≈ R <<1 .  e R  E z  1.b.Dans ces conditions, la composante radiale du champ électrique est bien négligeable et on peut donc écrire : E ( r,t ) ≈E z r,z,t ) u z . De plus, lespace inter-armatures étant vide de charges, div E=0 , soit ∂ E z =0 . Enfin, E nétant fonction que de et t , léquation de Maxwell-Faraday z implique que B  etaussi ne dépende que de t . ⎪ E r ) =E z ( r,t ) u z Conclusion : ⎩ ⎪ ⎨    B ( ( r, , t t ) =B θ ( r,t ) u θ . 2.Les équations de Maxwell donnent léquation de dAlembert, qui sécrit simplement pour E : ∂ 2 E ∂ 2 E 2 + 1∂E − 1 2 =0  c t 2 . 3.Léquation de Maxwell-Faraday donne immédiatement : B ( r,t ) = − i E 0 e ′ ( r ) exp ( iωt ) 

  4.On déduit de la question précédente que e ( r ) vérifie léquation : e ′   ′ ( r ) + 1 e ′     ( r ) + c ω 2 2 e ( r ) =0 . En posant u= c , il vient (puisque e = u e c ) : e ′′ (   u ) + 1  e u ′ ( u ) +e ( u ) =0 . 5.a. Léquation de Maxwell-Ampère, ou le théorème dAmpère écrit le long dun cercle orienté daxe Oz, et de rayon r donne : B 1 ( r,t ) = 2 i c 2 rE 0 exp ( iωt ) . 5.b.Il sagit dun phénomène dinduction (de Neumann). Léquation de Maxwell-Faraday donne : 2 E 2 ( r,t ) =− ω 4 2 r c 2 E 0 exp ( iωt ) sur laxe car il est dû au champ. Ce champ électrique doit sannuler perturbatif B 1 ( r,t ) = 2c i 2 rE 0 exp ( iωt ) , lequel sannule sur laxe. r 5.c.Le théorème dAmpère donne, en partant de E 2 r,t : B 3 ( r,t ) = − 1 i 6 ω c 3 3 4 E 0 exp ( iωt ) . La ,t= loi de Faraday donne, en partant de B 3 r,t : E 4 ( r ) 6 ω 4 4 r c 4 4 E 0 exp ( iωt ) . 5.d.On somme les différentes contributions : E r,t=E 0 r,t E 2 r,t+E 4 r,t+...  et on trouve : 2 1 E ( r,t ) =E 0 ⎝ ⎜       1− 4 1ω  ⎜  ⎛  ⎝ r c  ⎠  ⎟  ⎞ 64  ⎛  ⎝ ω  ⎜ c r  ⎠  ⎟  ⎞ 4 +... ⎠ ⎟       exp ( iωt ) . +

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