Baccalaureat 2001 mathematiques sciences economiques et sociales recueil d'annales

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[BaccalauréatES2001\ L’intégraledeseptembre2000 àjuin2001 Pourunaccèsdirectcliquezsurlesliensbleus Antilles-Guyaneseptembre2000 ..................... 3 Franceseptembre2000 ............................... 7 Polynésieseptembre2000............................10 AmériqueduSudnovembre2000 ................... 12 Nouvelle-Calédoniedécembre2000 .................16 Pondichérymars2001 ...............................20 AmériqueduNordjuin2001 .........................23 Antilles-Guyanejuin2001 ........................... 27 Asiejuin2001 ........................................30 Centresétrangersjuin2001 ..........................34 Francejuin2001 .....................................37 Libanjuin2001 .......................................40 Polynésiejuin2001 .................................. 442[BaccalauréatESAntilles–Guyaneseptembre2000\ EXERCICE 1 5points Communàtouslescandidats Dans une entreprise de conception de logiciels pour l’informatique, 20% des em- ployésontundiplôme engestiondesaffaires.70%desdiplômés engestiondesaf- faires ont des postes de cadre, alors que seulement 15% de ceux qui n’ont pas ce diplômeoccupentcespostes. Le comité d’entreprise organise en fin d’année une loterie pour tout le personnel. Chaqueemployéreçoitunbilletdeloterieetunseul. Touslesbilletssontplacésdansuneurneetonentireuntotalementauhasard. L’employégagnantsevoitalorsoffrirunvoyage. 1. a. Construireunarbredeprobabilitédécrivantcettesituation. b. Calculerlaprobabilitédesévènementssuivants: G:«L’employégagnantaundiplômedegestiondesaffaires». C:«L’employégagnantestuncadredel’entreprise». 2. Sachantquel’employé gagnantestundiplôméengestiondesaffaires,quelle estlaprobabilitéquecesoituncadre? 3. Quelle est la probabilitéque l’employé gagnantsoit un cadresil’on sait qu’il n’estpasdiplôméengestiondesaffaires? 4. Calculerlaprobabilitédesévènementssuivants: «L’employégagnantestcadreetdiplôméengestiondesaffaires» «L’employégagnantestcadreetnondiplôméengestiondesaffaires». EXERCICE 2 5points Enseignementobligatoire Danscetexercice,lesrésultatsnumériquespourrontêtreobtenusàl’aidedelacalcu- latriceetserontarrondisà2chiffresaprèslavirgule. Le tableau suivant donne le bénéfice, en millions de francs (MF), obtenu chaque annéeparuneentreprisepourlesannées1995à1999. Année 1995 1996 1997 1998 1999 Rangdel’année x 1 2 3 4 5i Bénéfice y 10 9 12 8 11i 1. Calculerlecoefficientdecorrélationlinéaireentre x et y.Quepeut-onendé- duirequantàlapertinenced’unajustementaffinepourcettesériestatistique àdeuxvariables? 2. Onconsidèreensuitelasériez deseffectifscumuléscroissantsdelasérie y .i i a. Recopieretcompléterletableausuivant: Année 1995 1996 1997 1998 1999 Rangdel’année x 1 2 3 4 5i Bénéficecumulé z 10 19i b. Calculerlecoefficientdecorrélationlinéaireentrex etz. c. Donneruneéquationdeladroitederégressiondez enx. d. À l’aide des résultats précédents, montrer qu’il est possible de calculer uneestimationdubénéficecumulépourl’année2000,puisdubénéfice pourl’année2000,arrondiàuneunitéprès.BaccalauréatES L’intégrale2001ES EXERCICE 2 5points Enseignementdespécialité Uneusineproduitdesappareilsménagerscomportantdescomposantsélectriques etdespiècesmécaniques.Cesappareilspeuventêtredéfectueux.Cesdéfautspeuvent avoirdeuxorigines,défautd’originemécanique,défautd’origineélectrique. Cesdeuxdéfautssontindépendantsetpeuventêtresimultanéssurunmêmeappa- reil. Un suivi statistique de la production journalière permet d’attribuer une valeur de probabilitéauxévènementssuivants: • Laprobabilité,pourunappareiltiréauhasarddanslaproductionjournalière, −3d’êtredéfectueuxestde1,5×10 . • Pourunappareilprisauhasardparmiceuxquisontdéfectueux,laprobabilité pour quel’une des originesdelapanne soit dueauxcomposants électriques estégaleà0,7. • Laprobabilité,pourunappareilprisauhasardparmiceuxquiontundéfaut électrique,d’avoiraussiundéfautmécaniqueestde0,8. OndésigneparDl’évènement «L’appareilestdéfectueux». OndésigneparEl’évènement«L’appareilprésenteundéfautélectrique». OndésigneparMl’évènement «L’appareilprésenteundéfautmécanique». Lesrésultatsnumériquesserontdonnésaveccinqchiffresaprèslavirgule. 1. Calculer la probabilité de l’évènement : «L’appareil ne présente aucun dé- faut». 2. Construireunarbrepondéréreprésentantcettesituation. 3. Calculerlesprobabilitéssuivantes: a. P(E ∩M); b. P(E); c. P(M). PROBLÈME 10points PartieA Soit f la fonction numérique définie sur ]0 ; +∞[ dont une courbe représentative (C)estdonnéeenannexedansunrepèreorthogonal. Danstoutleproblèmeonsecontenterad’étudierlesfonctionssur]0;5]. 1. Aumoyend’unelecturegraphiqueetenutilisantletableaudevaleurs,donner lesignede f sur]0;5]. 2. OnnoteF laprimitivede f sur]0; +∞[quiprendlavaleur0pour x=1. LacourbedeF estdonnéeenannexe. Calculer,enunitéd’aire,lavaleurexactedel’airedudomaineA comprisentre lacourbe(C),l’axedesabscissesetlesdroitesd’équationsrespectivesx=1et x =e. PartieB Onadmetquelafonction f estdéfiniesur]0;+∞[par: 1+ln(x) f(x)= . x 1. Calculerlalimitede f enzéroparvaleurssupérieures. Quepeut-onendéduirepourlacourbe(C)? Antilles-Guyane 4 septembre2000BaccalauréatES L’intégrale2001ES 2. Calculerladérivéede f etétudierlesignedecettedérivée. Dresserletableaudesvariationsde f sur]0;5]. 3. Calculeruneprimitivedelafonction f sur]0; +∞[. Donnerl’expressiondeF. PartieC Une entreprise qui fabrique des ustensiles de cuisine sait qu’elle peut en produire jusqu’à5 000parjour etquesonbénéfice,expriméenmilliers defrancs, estdonné par: 1+ln(q) B(q)=10× q oùq estlenombred’unitésproduites,enmilliers. Déduiredel’étudedelapartieB: 1. Lenombreminimald’unitésàproduirepourquel’entrepriseatteigneleseuil derentabilité(bénéficepositif); 2. Lenombreexactd’unitésàproduirepourquel’entrepriseobtienneunbéné- ficemaximum,ainsiquelavaleurdecebénéfice. Antilles-Guyane 5 septembre2000BaccalauréatES L’intégrale2001ES Annexeduproblème 2 Courbedelafonction f 1 0 -1 0 1 2 3 4 5 6 -1 -2 1 x 1 e e 2 f(x) 0 1 e Courbedelafonction F 3 2 1 0 -1 0 1 2 3 4 5 6 -1 1 x 1 e e 1 3 F(x) − 0 2 2 Antilles-Guyane 6 septembre2000[BaccalauréatESFranceseptembre2000\ EXERCICE 1 5points Communàtouslescandidats Uneusinefabriquedesmoteursélectriquespourl’industriespatiale.Ceux-cidoivent êtretrèsfiablesetperformants;pourcelailspassentdescontrôlestrèssévères. Chaquemoteuresttestéenfindefabrication.Siletestestpositif,lemoteurestache- minéchezleclient;siletestestnégatif,lemoteurretourneenusineoùilestréparé puis testé une seconde fois. Si, cette fois, le test est positif, le moteur part chez le clientmais,siletestestnégatif,lemoteurestdéfinitivementécartéetdétruit. Uneétudestatistique apermisdemontrerqueletestestpositif pour85%desmo- teurs neufs sortis directement des chaines de fabrication mais que, parmi les mo- teursrévisés,seulement65%d’entreeuxpassentlesecondtestavecsuccès. Saufaviscontraire,ondonneralesvaleursdécimalesexactesdesprobabilitésdeman- dées. 1. Onchoisitunmoteurauhasarddanslachainedefabrication. a. Construireunarbredeprobabilitéillustrantlesdifférentscasquipeuvent seprésenterpourcemoteur. Faireapparaîtresurchaquebranchelesprobabilitéscorrespondantes. b. Donnerlaprobabilitépour quelepremier test enfindefabricationsoit positifpourcemoteur. c. Calculer la probabilité pour que ce moteur doive être révisé et soit en- suiteacheminéchezleclient. d. Calculer laprobabilitépour quecemoteur soitfinalement écartéetdé- truit. e. Calculerlaprobabilitépourquecemoteursoitenvoyéchezleclient. 2. La fabrication d’un moteur revient à 60 000 francs auxquels il faut rajouter 10 000francssilemoteurestrévisé.Unmoteurestfacturéauclientlasomme de t francs (t nombre réel positif). Soit X la variable aléatoire qui, à chaque moteur fabriqué, associe le gain (éventuellement négatif que réalise l’entre- prisesurcemoteur. a. Déterminer en fonction de t les troisvaleurs que peut prendre X et dé- terminerlaloideprobabilitédeX. (Onrappelle que le bénéfice est la différence entre le prixde vente et le prixderevient.) b. Calculer enfonction de t l’espérance mathématique de X etendéduire lavaleur de t àpartir delaquelle l’entreprise fera un bénéficepositif en vendantungrandnombredemoteurs(arrondiraufrancprès). EXERCICE 2 5points Enseignementobligatoire meM Xdécided’ouvrir unpland’épargne.Letauxmensueldecelui-ci estde0,4%, erlesintérêtssontcapitaliséstouslesmois.Elleverse10000Fle1 janvier2000.Puis, ertouslespremiersdechaquemoisàpartirdu1 février2000, elleverse600 Fsurce plan. Soit u la somme qui se trouve sur son plan après n mois d’ouverture. Ainsi u =n 0 10000etu =10640.1 1. Calculeru etu .2 3 Écrireunerelationentreu etu .n+1 nBaccalauréatES L’intégrale2001ES 2. Ondéfinitlasuite(v )tellequepourtoutn deN,onaitv =u +150 000.n n n Montrer que (v ) est une suite géométrique dont on précisera la raison et len premierterme. Endéduirel’expressiondev puisdeu enfonctionden.n n 3. Calculer le temps nécessaire pour économiser la somme de 100 000 F sur ce plan. Enquelleannéecelaseproduira-t-il? EXERCICE 2 5points Enseignementdespécialité Leconseilmunicipal d’unestation touristique demontagne adécidédefaireéqui- perune falaiseafindecréerunsited’escalade.L’équipement doitsefairedepuisle pied de la falaise. Deux entreprises spécialisées dans ce genre de chantier ont été contactéesetontenvoyédesdevis.Onseproposed’étudierceux-ci. Devisdel’entrepriseA: Le premier mètre équipé coûte 100 F, puis chaque mètre supplémentaire équipé coûte 20 F de plus que le mètre précédent (100 F pour équiper une falaise de un mètre,100F+120F=220Fpouréquiperunefalaisededeuxmètres,100F+120F+ 140F=360Fpourunefalaisedetroismètres,etc.) Devisdel’entrepriseB: Lepremiermètreéquipécoûte50F,puischaquemètresupplémentaireéquipécoûte 5 %deplusquelemètreprécédent(50Fpouréquiperunefalaisedeunmètre, 50F+52,50F=102,50Fpouréquiperunefalaisededeuxmètres, 50F+52,50F+55,125F=157,625 Fpourunefalaisedetroismètres,etc.) On appelle u le prix du n-ième mètre équipé et S le prix de l’équipement d’unen n falaiseden mètresdehauteurindiquésparl’entrepriseA. On appelle v le prix du n-ième mètre équipé et R le prix de l’équipement d’unen n falaiseden mètresdehauteurindiquésparl’entrepriseB. 1