Baccalaureat 2004 mathematiques scientifique recueil d'annales

Sujets

• annales

Informations

• Publié par: aldebaran
• Nombre de lectures: 1 838
• Langue: Français

Extrait

[BaccalauréatS2006\ L’intégraledeseptembre2003àjuin2004 Pourunaccèsdirectcliquezsurlesliensbleus Antilles-Guyaneseptembre2003 ..................... 3 Franceseptembre2003 ............................... 7 Polynésiespécialitéseptembre2003 .................10 AmériqueduSudnovembre2003 ................... 12 Nouvelle-Calédonienovembre2003 .................18 Nouvelle-Calédoniemars2004 ......................21 Pondichéryavril2003 ................................24 AmériqueduNordjuin2004 .........................29 Antilles-Guyanejuin2004 ........................... 33 Asiejuin2004 ........................................37 Centresétrangersjuin2004 ..........................40 Francejuin2004 .....................................43 Libanjuin2004 .......................................47 Polynésiejuin2004 .................................. 50 LaRéunionjuin2004 .................................55année2004 2[BaccalauréatSAntilles–Guyaneseptembre2003\ EXERCICE 1 5points Une association organise des promenades en montagne. Douze guides emmènent chacun, pour la journée, un groupe de personnes dès le lever du Soleil. L’été il y a plus de demandes que de guides et chaque groupe doit s’inscrire la veille de la promenade. Mais l’expérience des dernières années prouve que la probabilité que chacun des 1 groupes inscrits ne se présente pas au départ de la promenade est égale à . On 8 admettraquelesgroupesinscritsseprésententindépendammentlesunsdesautres. eLesprobabilitésdemandéesserontarrondiesau 100 leplusproche. 1. a. Montrerquelaprobabilitéqu’unjourdonnéles12groupesinscritssoient tousprésentsestcompriseentre0,20et0,21. b. On désigne par X la variable aléatoire égale au nombre de jours où les 12groupesinscritssesonttousprésentésaudépartlorsd’unmoisde30 jours. Montrer que X suit une loi binomiale dont on précisera les para- mètres. Donner la signification desévènements X =30 puis X =0 et calculer la probabilitédecesévènements. Préciserl’espérancemathématiqueE(X) Quellesignificationpeut-ondonneràcerésultat? c. Unesommede1Crédit(lamonnaielocale)estdemandéeàchaquegroupe pourlajournée.Cettesommeestrégléeaudépartdelapromenade. Danslecasoù un groupenese présente pas audépart,l’association ne gagneévidemmentpasleCréditquecegroupeauraitversépourlajour- née. On nomme S la variable aléatoire égale à la somme, en Crédits, perçue parl’associationunjourdonné. Calculerlaprobabilitédel’évènement [S=11]. Préciserl’espérancemathématiquedeS. 2. a. Agacéparle nombredeguidesinemployés, ledirigeantdel’association décidedeprendrechaquejouruneréservationsupplémentaire.Évidem- ement si les 13 groupes inscrits se présentent, le 13 groupe sera dirigé vers une activité de substitution. Toutefois, cette activité de remplace- mententraîneunedépensede2Créditsàl’association. Quelle est a probabilité P qu’un jour donné il n’y ait pas de désiste-13 ment, c’est-à-dire que les 13 groupes inscrits la veille se présentent au départdelapromenade? b. SoitR lavariablealéatoireégaleaucoûtdel’activitédesubstitution. PréciserlaloidelavariablealéatoireR etcalculersonespérancemathé- matique. c. Montrerquelegainmoyenobtenupourchaquejourest: Ã Ã ! !µ ¶ µ ¶13 k 13−kX k 7 1 k¢ −2P .1313 8 8k=0 Calculercegain. d. Ladécisiondudirigeantest-ellerentablepourl’association?BaccalauréatS année2004 EXERCICE 2 4points Enseignementobligatoire SoientA,Bdeuxpoints distinctsfixésd’uncercleC decentreIet M unpointquel- conquedececercleC. −→ −→ −→ −→ 1. LepointD estdéfiniparIA +IB +IM =ID . −→ −−→ −→ −−→ a. ProuverquelesproduitsscalairesAD ¢BM etBD ¢AM sontnuls. EndéduireàquellesdroitesparticulièresdutriangleABM lepointD ap- partientpuispréciserlanaturedupointD pourletriangleAMB. −→ b. Soit G l’isobarycentre des points A, B, M. Exprimer ID en fonction de−→ IG . ³ ´→− →− 2. Dans le plan complexe, rapporté à un repère otthonormal direct O, ı ,  , ondonnelespointsA,B,Id’affixesrespectives z =2, z =4+2iet z =4.OnA B I nomme f l’application qui,àtoutpoint M dupland’affixez,associelepoint 1 2′M d’affixeZ telque Z = z+2+ i. 3 3 a. Montrer qu’il existe un unique point­tel que f(­)=­ etcalculer l’af- fixeωdecepoint. Pourtoutpointd’affixez,exprimeralorsZ−ωenfonctiondez−ω. Préciserlanaturedel’application f. b. M étantunpointquelconque d’affixez ,montrerquel’imageparl’ap-M plication f du point M est l’isobarycentreG d’affixe z des points A, B,G M. c. Déterminer l’ensemble des points G lorsque le point M décrit le cercle C decentreIetderayon2. d. Endéduirealors,àl’aidedurésultatdelaquestion1.b.,l’ensembledécrit−→ −→ −→ −→ parlepointD définiparID =IA +IB +IM lorsquelepoint M parcourt lecercleC decentreIetderayon2. EXERCICE 2 4points Enseignementdespécialité Soitl’équation(1)d’inconnuerationnelle x : 3 278x +ux +vx−14=0. oùu etv sontdesentiersrelatifs. 14 1. Onsupposedanscettequestionque estsolutiondel’équation(1). 39 a. Prouverquelesentiersrelatifsu etv sontliésparlarelation 14u+39v=1 129. b. Utiliserl’algorithmed’Euclide,endétaillantlesdiversesétapesducalcul, pourtrouveruncouple(x ; y)d’entiersrelatifsvérifiantl’équation 14x+39y=1. Vérifierquelecouple(−25; 9)estsolutiondecetteéquation. c. En déduireun couple (u ; v ) solution particulière del’équation 14u+0 0 39v=1 129. Donner la solution générale de cette équation c’est-à-dire l’ensemble descouples(u ; v)d’entiersrelatifsquilavérifient. d. Déterminer, parmi les couples (u ; v) précédents, celui pour lequel le nombreu estl’entiernaturellepluspetitpossible. 2. a. Décomposer78et14enfacteurspremiers. Endéduire,dansN,l’ensemble desdiviseursde78etl’ensemble desdi- viseursde14. Antilles-Guyane 4 septembre2003BaccalauréatS année2004 P b. Soit unesolutionrationnelledel’équation(1)d’inconnue x : Q 3 278x +ux +vx−14=0 où u et v sontdesentiersrelatifs. MontrerquesiP etQ sontdesentiersrelatifspremiersentreeux,alorsP divise14etQ divise78. c. Endéduirelenombrederationnels, nonentiers, pouvantêtresolutions de l’équation (1) et écrire, parmi ces rationnels, l’ensemble de ceux qui sontpositifs. PROBLÈME 10points xPartieA-Étudepréliminaired’unefonction f définiesurRpar (x)=(2−x)e −1 1. Déterminerleslimitesdelafonctionϕen−∞et+∞. 2. MontrerquelafonctionϕestcontinueetdérivablesurRetétudierlesignede sadérivée. Endéduirelesvariationsdelafonctionϕetpréciserlesvaleursdeϕ(−2), ϕ(0), ϕ(1)etϕ(2). 3. Prouverquelafonctionϕs’annuleuniquementendeuxvaleursquel’onnom- meraαetβ.Onprendraα<β.Étudieralorslesignedelafonctionϕsurl’en- sembledesréelsetrécapitulercetteétudedansuntableau. −24. À l’aide de la calculatrice, fournir un encadrement d’amplitude 10 des va- leursαetβ. 1α5. Montrerquee = . 2−α xe −1 PartieB-Étuded’unefonction f définiepar f(x)= etcalculintégral xe −x x1. Montrerquee −x nes’annulepassurR.Endéduireque f estdéfiniesurR. 2. Déterminerleslimitesdelafonction f en−∞et+∞. ′3. Calculerladérivée f delafonction f puis,àl’aidedesrésultatsdelapartieA, construireletableaudesvariationsde f. 1 4. Montrer que f(α)= , le nombreα étant la plus petite des deux valeurs α−1 pourlesquelleslafonctionϕdelapartieAs’annule. 5. Déterminer une primitive de la fonction f surR. Donner une valeur exacte puisunevaleurdécimaleapprochéeà0,01prèsdel’intégrale: Z1 xe −1 dx. xe −x0 PartieC-Étudededeuxsuites 1. Préciserl’ensemblededéfinitionD delafonctiong définiesurcetensemblegµ ¶ 1 parg(x)=ln oùlndésignelafonctionlogarithmenépérien. 2−x Prouverquelafonctiong estcroissantesursonensemblededéfinitionetque l’imageparg del’intervalleI=[−2; 0]estinclusedanscetintervalle. 2. a. Soitlasuite u définiepourtoutentiernatureln par:( )n ½ u = −20 u = g(u )n+1 n Antilles-Guyane 5 septembre2003BaccalauréatS année2004 Montrer que u appartient à l’intervalle I = [−2 ; 0]. Prouver par récur-1 rence,àl’aidedesvariationsdelafonctiong,quelasuite(u )atoussesn termesdansl’intervalleIetestcroissante. b. Onconsidèrelasuite(v )définiepourtoutentiernatureln par:n ½ v = 00 v = g(v )n+1 n Calculerletermev etmontrerque−26u 6v 6v 60.1 1 1 0 Établir parrécurrence,àl’aide delacroissancedelafonction g sur l’in- tervalle [−2 ; 0], que pour tout entier naturel n strictement positif, on a: −26u 6v 6v 60.n n n−1 Préciserlesensdevariationdelasuite(v ).n 3. a. Soitm lafonctiondéfiniesur[0;+∞[par: m(x)=x−ln(1+x). Montrerquemestcroissanteetcalculerm(0).Endéduireque,pourtout x positif,onaln(1+x)6x. µ ¶ v −un nb. Vérifierque,pourtoutentiern, v −u =ln 1+ .n+1 n+1 2−vn v −un n Endéduirequev −u 6 .n+1 n+1 2−vn Sachantque,pourtoutentiern,lestermesdelasuite(v )appartiennentn 1 àl’intervalle[−2; 0],donnerunencadrementde etétablirque: 2−vn 1 v −u 6 (v −u ).n+1 n+1 n n 2 Prouveralorsque,pourtoutentiernatureln, 1 v −u 6 (v −u ).n n 0 0n2 Que peut-on en déduire pour la suite de terme général v −u et pourn n lessuites u et v ?( ) ( )n n −44. Donner, à l’aide de la calculatrice, un encadrement d’amplitude 10 de u10 etv .10 Antilles-Guyane 6 septembre2003[BaccalauréatFrancesérieSseptembre2003\ EXERCICE 1 5points Communàtouslescandidats ³ ´→− →− Leplancomplexeestrapporteàunrepèreorthonormaldirect O, ı ,  .p OnconsidèrelespointsAet­d’affixesrespectives:a=−1+ 3+ietω=−1+2i. 2π Onappelle r larotationdecentre­et d’angle et h l’homothétie decentre­et 3 1 derapport− . 2 1. PlacersurunefigurelespointsAet­,l’imageBdupointAparr,l’imageCdu pointBparr etl’imageDdupointAparh. 2. Onnoteb, c etd lesaffixesrespectivesdespointsB,CetD. Le tableau ci-dessous contient une suite de 18 affirmations, dont chacune débute dans la première colonne et s’achève sur la même ligne colonne 2, colonne 3 ou colonne4. Lecandidatdoitseprononcersurchacunedecesaffirmations.Pourcelaildoitrem- plirletableaudelafeuilleannexe,enfaisantfigurerdanschacunedescaseslamen- tionVRAIouFAUX(entouteslettres). p 1. |a−ω| 2 4 3−i 5π 47π π 2. arg(a−ω) − 6 6 6 ³ ´ ³ ´ 2π→− −→ →− −→ 3. v ,­C = arg[(ω−i)] − v , C­ 3 1 4. ω= (a+b+c) a+b+c b−2i 3 p p p b−d 3 3 3 5. = i − i i a−d 2 3 3 l’imagede ­par l’imagede ­par l’imagede ­parla 6. LepointDest latranslation l’homothétie decentre larotationdecentre 1−→ 3 π devecteur A­ Aetderapport Betd’angle− 2 2 6 EXERCICE 2 5points Candidatsn’ayantpassuivil’enseignementdespécialité Uncommercepossèdeunrayon«