[BaccalauréatES2006\
L’intégraledeseptembre2005
àjuin2006
Pourunaccèsdirectcliquezsurlesliensbleus
Antilles-Guyaneseptembre2005 ..................... 3
Franceseptembre2005 ............................... 8
AmériqueduSudnovembre2005 ................... 13
Nouvelle-Calédonienovembre2004 .................18
Pondichéry31mars2003 ............................23
AmériqueduNord31mai2006 ......................28
Liban31mai2006 ....................................33
Antilles-Guyanejuin2006 ........................... 38
Asiejuin2006 ........................................44
Centresétrangersjuin2006 ..........................50
Francejuin2006 ......................................55
LaRéunionjuin2006 .................................61
Polynésiejuin2006 ...................................702[BaccalauréatESAntilles-Guyaneseptembre2005\
EXERCICE 1 5points
Sur lafigureci-dessous, onatracélacourbereprésentativeC d’unefonction f dé-· ·
3
rivablesur − ;+∞ .
2 µ ¶
3 3
• LespointsJ − ;− ,K(−1; 0),A(1;e)etB(2;2)sontdespointsdeC ;
2 2
• LatangenteàC enAestparallèleàl’axedesabscisses.
• LatangenteàC enBpasseparT(4;0).
• Ladroited’équation y=1estasymptoteàC en+∞.· ·
3
• La fonction f est strictement croissante sur − ; 1 et strictement décrois-
2
santesur[1;+∞[.
A
B
C
→−
K T
→−O ı
J µ ¶
3
1. a. Donner les valeurs de f − , f(−1), f(1), f(2) ainsi que la limite de f
2
en+∞.
′ ′b. Donner,enjustifiantvosréponses.,lesnombres f (1)et f (2).
2. Soitg lafonctiondéfinieparg(x)=ln[f(x)]etΓsareprésentationgraphique.
a. Déterminer l’intervalle I de définition de g. Calculer les limites de g en
−1eten+∞.
EndéduirelesasymptotesàlacourbeΓenprécisantuneéquationpour
chacuned’elles.
′ ′b. Exprimer g (x) à l’aide de f(x) et f (x). En déduire le tableau de varia-
tionsdeg.
′c. Déterminer g(2) et g (2), puis une équation de la tangente àΓ au point
′B d’abscisse2.
EXERCICE 2 5points
Dans cet exercice, A et B étant des évènements, A désigne l’évènement contraire de
l’évènementA,P(A)laprobabilitédeAetP (A)laprobabilitédeAsachantqueBestB
réalisé.
Uneentreprisefabriquedesappareilsengrandnombre.Uneétudestatistiqueaper-
misdeconstaterque10%desappareilsfabriquéssontdéfectueux.
L’entreprisedécidedemettreenplaceuntestdecontrôledecesappareilsavantleurBaccalauréatES septembre2005àjuin2006
miseenvente.Cecontrôledétecteetélimine 80%desappareilsdéfectueux,maisil
élimine également à tort 10% des appareils non défectueux. Les appareils non éli-
minéssontalorsmisenvente.
On prend au hasard un appareil fabriqué et on note D l’évènement «l’appareil est
défectueux»etVl’évènement «l’appareilestmisenvente».
1. Construireunarbrepondérérendantcomptedecettesituation.³ ´
2. a. CalculerP(V∩D)etP V∩D .
En déduire que la probabilité qu’un appareil fabriqué soit mis en vente
aprèscontrôleest0,83.
b. Calculer la probabilité qu’un appareil mis en vente après contrôle soit
défectueux.
c. VérifierqueP (D)≈0.24×P(D).V
Rédiger une phrase comparant les probabilités pour un acheteur d’ac-
quérir un appareil défectueux suivant que l’entreprise applique ou non
letestdecontrôle.
3. Uneentreprisedécided’appliquer lecontrôle,toutencontinuantàfabriquer
le même nombred’appareils. Elle fabriquaitetvendaitune quantité q d’ap-0
pareilsauprixp .0
Lespourcentagesdemandésserontarrondisàl’unité.
a. Quelle est, en fonction de q la nouvelle quantité q d’appareils mis en0 1
venteaprèscontrôle?
b. Dequelpourcentagelaquantitévenduea-t-ellediminué?
c. Queldoitêtrelenouveauprixp (enfonctiondep pourquel’entreprise1 0
maintiennesonchiffred’affaires?
Quelestalorslepourcentaged’augmentationduprixdevente?
EXERCICE 3 10points
Un médicament est injecté par voie intraveineuse. Dans les heures qui suivent, la
substanceestéliminéeparlesreins.Laquantitéq présentedanslesang(q enmil-i i
ligrammes) àl’instant t (t ,enheures) aétémesurée pardesprisesdesang toutesi i
lesdeuxheures.
t (heures) 0 2 4 6 8i
q (mg) 9,9 7,5 5,5 3,9 3i
PARTIEA
Modélisationparunefonctionaffine¡ ¢
Lenuagedepointsassociéàlasérie t ; q estreprésentédanslerepèreorthogonali i
ci-dessous.
1. Déterminer, à l’aide de la calculatrice, une équation de la droite D d’ajuste-
mentaffinedeq ent parlaméthodedesmoindrescarrés(coefficientsarron-
−2disà10 );tracerladroiteDsurlafigure1.
2. En supposant que cemodèle reste valablependant 12 heures, quelle estima-
tion obtient-on de la quantité demédicament présente dansle sang au bout
de12heures?Qu’enpensez-vous?
PARTIEBRecherched’unmodélemieuxadapté
1. Représenter dans le repère semi-logarithmique ci-dessous le nuage de point¡ ¢
associéàlasérie t ; q .i i
Quel type d’ajustement l’allure de cette représentation permet-elle d’envisa-
ger?
2. Onposey =lnq .Recopieretcompléterletableauci-dessous(valeursarron-i i
diesaucentième).
Antilles-Guyane 4 septembre2005b
b
b
b
b
BaccalauréatES septembre2005àjuin2006
11q (mg)
10
10
9
8
7
6
5
5
4
3
2
1
0
0
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13t (heures)0 5 10
FIG. 1–
t (heures) 0 2 4 6 8i
y (mg)i
3. Déterminer à l’aide dela calculatrice une équation dela droited’ajustement
affinede y en t par la méthode desmoindres carrés(coefficients arrondisau
centième).
4. Montrerquel’expressiondeq enfonctiondet obtenueàpartirdecetajuste-
−btmentestdelaformeq=ae oùa estarrondiàl’unitéetb aucentième.
5. Étudierlesensdevariationdelafonction f définiesur[0;15]par:
−0,15tf(t)=10e .
TracersacourbereprésentativeCsurlafigure1.
6. Onsupposequecenouveaumodèlerestevalablependant12heures.Calculer
−1à 10 près la quantité de médicament présente dans le sang au bout de 12
heures.Placerlepointcorrespondantsurlegraphique.
PARTIEC
f(t+1)−f (t)
1. Calculer . Interpréter le résultat par une phrase concernant le
f(t)
pourcentagedevariationdelaquantitédemédicamentprésentedanslesang.
2. Lemédicamentresteefficacetantquelaquantité présentedanslesangreste
supérieureà2mg.
Déterminergraphiquement,à1heureprèspardéfaut,laduréed’efficacitéde
l’injection.
3. Calculer,àundixièmedemilligramme près,laquantitémoyennedemédica-
mentprésentedanslesangpendantles10heuresquisuiventl’injection.
Antilles-Guyane 5 septembre2005BaccalauréatES septembre2005àjuin2006
q (mg)
9
8
7
6
5
4
3
2
1
0 5 10 t (heures)
FIG. 2–
EXERCICE 4 5points
Enseignementdespécialité
Sur unmarchéoùseulunproduitAétaitprésent, unnouveau produitBestmisen
venteàpartirdel’année2003.Uneenquêteamontréque:
• la probabilité qu’un client de A, une année donnée, reste fidèle à A l’année
suivanteest0,67;
• la probabilité qu’un client de B, une année donnée, choisisse A l’année sui-
vanteest0,27.
Onsuppose quela clientèle totale pour les deuxproduits nechangepas.Onprend
unclientauhasardl’année(2002+n).
Notations:
– OnappelleAl’état«acheterleproduitA»;
– OnappelleBl’état«acheterleproduitB»;
– Onnotea laprobabilitéquececlientachèteApendantl’année(2002+n).n
– Onnoteb laprobabilitéquececlientachèteBpendantl’année(2002+n).n
– Onadonca =1etb =0.0 0
1. Traduirelesdonnéesdel’énoncéparungrapheprobabilistedesommetsAet
B.
LamatriceMdecegrapheprobabiliste,enconsidérantlessommetsdugraphe
dansl’ordreApuisB,estdonc:
µ ¶
0,67 0,33
M=
0,27 0,73
2. OnappelleP =(a b )lamatricedécrivantl’étatprobabilistedelaclientèlen n n
l’année(2002+n)
Antilles-Guyane 6 septembre2005BaccalauréatES septembre2005àjuin2006
a. Donnerlarelationmatricielleliantl’étatP àl’étatP .CalculerP ettra-1 0 1
duirecerésultatparunephrase.
b. Calculerettraduiredemêmel’étatP .2
3. a. ExprimerP enfonctiondeP .Endéduiteque,pourtoutentiern,onn+1 n
a:
a =0,67a +0,27b puis a =0,4a +0,27.n+1 n n n+1 n
b. On définit la suite (u ) par u = a −0,45 pour tout entier n. Montrern n n
que (u ) est une suite géométrique dont on déterminera la raison et len
premierterme.
c. Exprimeru puisa etb enfonctionden.n n n
4. a. Quellessontleslimitesrespectivesa etbdessuites(a )et(b ).Exprimern n
cesrésultatsentermesderépartitionsurlemarchédesproduitsAetB.
b. OnposeP=(a b).
VérifierqueP=P×M.
Quereprésentel’étatP?Dépend-ildel’étatinitialP ?0
Antilles-Guyane 7 septembre2005Durée:4heures
[BaccalauréatESFranceseptembre2005\
EXERCICE 1 3points
Communàtouslescandidats
Uneenquêtemenéepourlecompted’uneentrepriseapermisd’établirlenombre
d’acheteurs d’un produit X selon le montant de son prix de vente. Les résultats de
l’enquêtesontrésumésdansletableauci-dessousdanslequel:
•x désigneleprixdeventeunitaire(eneuros)duproduitX;i
• y lenombred’acheteursenmilliers.i
x 1 1,50 2 3 4i
y 3,75 2,8 2 1 0,5i ¡ ¢
1. Représenter survotrecopielenuagedepointsassociéàlasérie x ; y dansi i³ ´→− →−
un repère orthogonal O, ı , du plan (unités graphiques : 4 cm pour 1
euroenabscisseet2cmpour1000acheteursenordonnée).¡ ¢
2. Onrechercheunajustementaffinedelasérie x ; y .i i
a. Donner l’équation de la droite d’ajustement de y en x obtenue par la
méthodedesmoindrescarrés.
Les calculs serontfaits àlacalculatrice etles valeurscherchéesserontar-
rondiesaucentième;onnedemandeaucunejustification.
b. Tracercettedroitedanslemêmerepèrequeprécédemment.
c. Utiliser cet ajustement pour estimer le nombre d’acheteurs potentiels
pourunproduitvendu2,50euros.
EXERCICE 2 5points
Candidatsn’ayantpassuivil’enseignementdespécialité
Parmilesstandsdejeuxd’unefêtedevillage,lesorganisateursontinstalléunema-
chine qui lance automatiquement une bille d’acier lorsque le joueur actionne un
bouton.
Cette bille roule sur un plan comportant une cible circulaire évidée en son centre.
Lorsquelabilleatteintlacible,soitelleestavalée,soitellerestesurlacible.
Lorsquelabillen’atteintpaslacibleellerevientàsonpointdedépart.
Danslasuitedel’exercice,onnotera:
• Cl’évènement «lacibleestatteinte»;
• Bl’évènement «labilleestavalée».
Uneétudepréliminaireadémontréque:
-laprobabilitéd’atteindrelaciblelorsd’unlancerestégaleà0,3;
-lorsquelacibleaétéatteinte,laprobabilitéquelabillesoitavaléeestégaleà0,2.
1. Traduirelasituationaléatoireci-dessusparunarbredeprobabilité.
2. Onactionnelebouton.
a. CalculerlaprobabilitéP quelabillesoitavalée.1
b. CalculerlaprobabilitéP qu’ellerestesurlacible.2BaccalauréatES septembre2005àjuin2006
Une partie se déroule selon la règle ci-dessous. Pour jouer, on paie 0,50 euro
etonactionneleboutonquilancelabille:
• silabilleestavalée,o