Baccalauréat C Côte d'Ivoire juin

Description

Niveau: Secondaire, Lycée
[ Baccalauréat C Côte d'Ivoire juin 1978 \ EXERCICE 1 3 POINTS 1. Résoudre dansN2l'équation x2+ y2 = 25. 2. Soit (C ) la courbe d'équation x2+ y2?6x?4y ?12 = 0. Trouver tous les points de (C ) dont les coordonnées sont des éléments deZ et placer ces points dans un repère orthonormé, EXERCICE 2 4 POINTS Dans un plan affine euclidien P rapporté à un repère orthonormé ( O, ??ı , ??? ) , on considère l'application f qui à tout point M d'affixe z associe le point M1 d'affixe z1 tel que z1 = iz+a+ ib, où z désigne le complexe conjugué de z, i le nombre complexe de module 1 et d'ar- gument pi2 , a et b deux réels quelconques donnés.On appelle A le point de coordonnées a et b. 1. Montrer que f est un antidéplacement de P . 2. Comment faut-il choisir le point A pour que f soit une symétrie orthogonale. Préciser quelle est cette symétrie. 3. On choisit A de telle sorte que f ne soit pas une symétrie orthogonale, a. Quelle est la nature de f ? Préciser les éléments qui définissent f . b. On pose f 1 = f et pour tout entier naturel n > 2, f n = f n?1 ? f .

• structure de groupe commutatif


• q? ?x ?


• complexe conjugué de z


• ?r


• courbe représentative


• ar- gument pi2

Sujets

• Graphe d'une fonction

Informations

• Publié par: apmep
• Publié le: 01 juin 1978
• Nombre de lectures: 63
• Langue: Français

Extrait

[Baccalauréat C Côte d’Ivoire juin 1978\

E X E R C IC E 1 2 1.Résoudre dansNl’équation

2 2 x+y=25. 2.Soit (C) la courbe d’équation

2 2 x+y−6x−4y−12=0.

3 P O IN TS

Trouver tous les points de (C) dont les coordonnées sont des éléments deZet placer ces points dans un repère orthonormé,

E X E R C IC E 2 4 P O IN TS ³ ´ −→−→ Dans un plan affine euclidienPO,rapporté à un repère orthonorméı,, on considère l’applicationfqui à tout pointMd’affixezassocie le pointM 1 d’affixez 1 tel que

z 1 =iz+a+ib, oùzdésigne le complexe conjugué dez, i le nombre complexe de module 1 et d’ar π gument ,aetbdeux réels quelconques donnés. 2 On appelle A le point de coordonnéesaetb.

1.Montrer quefest un antidéplacement deP. 2.Comment fautil choisir le point A pour quefsoit une symétrie orthogonale. Préciser quelle est cette symétrie. 3.On choisit A de telle sorte quefne soit pas une symétrie orthogonale, a.Quelle est la nature def? Préciser les éléments qui définissentf. 1n n−1 b.On posef=fet pour tout entier natureln > 2,f=f◦f. 2p Montrer que, pour tout entier naturelpnon nul,fest une translation 2p+1 dont on donnera le vecteur. Quelle est la nature def?

P R O B L È M E 13 P O IN TS N. B.Le problème se compose de quatre parties La solution de la partie C ne fait appel à aucun des résultats établis dans les parties A et B. La partie D peut être traitée en admettant les résultats de la partie C. Dans tout ce problème, on désignera parSl’ensemble ]−1 ;+∞[. Partie A On définit surSune loiΔde la façon suivante :

∀x∈S,∀y∈S xΔy=x+y+x y. Démontrer que la loiΔest une loi de composition interne dans S et qu’elle confère à cet ensemble une structure de groupe commutatif. Partie B

Le baccalauréat de 1978

Soith 1 l’application définie par 1 − 2 ∀x∈S,h 1 (x)=(x+1)−1 1. a.Montrer queh 1 prend ses valeurs dansS. b.Établir que

A. P. M. E. P.

∀x∈S,∀y∈S,h 1 (x)Δh 1 (y)=h 1 (xΔy). 2. a.Étudier les variations deh 1 et en déduire queh 1 est une bijection deS surS. ′ b.Calculerh(0). 1 c.Construire la courbe (Γ) représentative deh 1 dans un repère orthonormé ³ ´ −→−→ O,ı,. ⋆ 3.Soit l’applicationtdeSversRdéfinie par : +

∀x∈S,t(x)=x+1. ¡ ¢ ⋆ a.Montrer quetest un isomorphisme du groupe (S,Δ) sur le groupeR,∙. + b.Soitf 1 l’application définie par :

−1 f 1 =t◦h 1 ◦t.

Déduire de ce qui précède quef 1 est un isomorphisme du groupe dans luimême. ′ c.Calculerf 1 (x), puisf(1). 1 d.Construire la courbe représentative (C) def 1 dans le même repère que précédemment et vérifier que (C) se déduit de (Γ) par une translation que l’on précisera. Partie C SoitFl’ensemble des applicationsfdeR + dansR + vérifiant les deux conditions suivantes : P fest dérivable au point 1 . ⋆ ⋆ Q ∀x∈R,∀y∈R,f(x y)=f(x)f(y). + + 1.Vérifier que l’applicationf 1 définie au B est un élément deF. Soitfun élément quelconque deF. a.Etablir quef(1)=1. ⋆ quex+k∈. b.Soitx 0 un réel strictement positif etkun réel tel 0 R + · µ¶ ¸ k Montrer quef ( x 0 +k ) −f ( x 0 ) =f ( x 0 ) f1+ −f(1) . x−0 ⋆ c.Déduire de ce qui précède quefest dérivable en tout point deRet que + l’on a :

′ ′ f(x)f(1) ⋆ R ∀x∈R,= + f(x)x ′ oùfdésigne la fonction dérivée def. ′ d.Que se passetil pourfsi l’on choisitf(1) nul ? ′ Montrer quefest strictement monotone si l’on choisitf(1)6=0.

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Le baccalauréat de 1978

⋆ e.En considérant une primitive surRde la fonction + ′ ′ f(x)f(1) x7−→− f(x)x montrer que,αdésignant un réel, on a :

A. P. M. E. P.

⋆α ∀x∈R,f(x)=x. + ⋆ ⋆α 2.Montrer queFest l’ensemble des applications deRdansRdu typex7−→x + + oùαdécritR. Partie D On désigne parHl’ensemble des applicationshdeSdansSvérifiant les deux conditions suivantes : ′ P hest dérivable au point zéro. ′ Q ∀x∈S,∀y∈S,h(xΔy)=h(x)Δh(y) 1.Vérifier que l’applicationh, définie au B est un élément deH. −1 2.tétant l’application définie au B, montrer que, sih∈H, alorst◦h◦t∈H. 3.Montrer queHest l’ensemble des applications deSdansSdu type α x→−7(x+1)−1 oùαdécritR. [α]α 4.Pour tout réelαet tout élémentqdeS, on noteal’élément (a+1)−1 deS. Établir que : [α] [α] [α] a. ∀x∈S∀y∈S∀α∈RxΔy=(xΔy) . [α] [β] [α+β] b.∀x∈S∀α∈R∀β∈RxΔy=(x) . ¡ ¢ [β] [α] [αβ] c. ∀x∈S∀α∈R∀β∈Rx=(x) .

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