Baccalauréat C Dakar septembre

Description

Niveau: Secondaire, Lycée
[ Baccalauréat C Dakar \septembre 1983 EXERCICE 1 Le tableau suivant donne les coûts de production d'une entreprise en fonction du nombre d'unités produites. Nombre d'unités produites Xi Coût global de production Yi 1000 14000000 2000 20000000 3000 23000000 4000 30000000 5000 37000000 6000 41000000 7000 47000000 8000 51000000 9000 54000000 10000 60000000 11000 63000000 1. Construire le nuage de points correspondant. 2. Déterminer les équations des droites de régression. EXERCICE 2 Dans un plan orienté, rapporté au repère orthonormé direct /Oij, on considère les points A et B de coordonnées respectives (6 ; 0), (3 ; p3) ainsi que la rotation R1 de centre A, d'angle pi4 et la rotation R2 de centre B, d'angle 2pi 3 .Un point M quelconque du plan a pour coordonnées (x ; y). Donner en fonction de x et y les coordonnées de R1(M) et celles de R2(M). 1. Montrer que l'application composée R1?R2 est une rotation dont on détermi- nera le centre? et l'angle. 2. Soit s la symétrie orthogonale par rapport à la droite passant par A et B. Mon- trer qu'il existe deux symétries orthogonales s1 et s2 par rapport à des droites D1 et D2 telles que R1 = s1 ? s et R2 = s ? s2. En déduire que R1 ?R2 = s1 ? s2.

• produit scalaire des vecteurs vitesse


• point mobile


• vecteur accélération


• nuage de points correspondant


• courbe représen- tative de l'application numérique


• coordonnées

Sujets

• Accélération
• Coordonnées

Informations

• Publié par: apmep
• Publié le: 01 septembre 1983
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• Langue: Français

Extrait

[Baccalauréat C Dakar\ septembre 1983

E X E R C IC E 1 Le tableau suivant donne les coûts de production d’une entreprise en fonction du nombre d’unités produites.

Nombre d’unités produitesX i 1 000 2 000 3 000 4 000 5 000 6 000 7 000 8 000 9 000 10 000 11 000

Coût global de productionY i 14 000 000 20 000 000 23 000 000 30 000 000 37 000 000 41 000 000 47 000 000 51 000 000 54 000 000 60 000 000 63 000 000

1.Construire le nuage de points correspondant. 2.Déterminer les équations des droites de régression.

E X E R C IC E 2 Dans un plan orienté, rapporté au repère orthonormé direct /Oij, on considère les p points A et B de coordonnées respectives (6; 0), (3 ;3) ainsi que la rotationR 1 de π2π centre A, d’angleet la rotationR 2 .de centre B, d’angle 4 3 Un pointMquelconque du plan a pour coordonnées (x;y). Donner en fonction de xetyles coordonnées deR 1 (M) et celles deR 2 (M).

1.Montrer que l’application composéeR 1 ◦R 2 est une rotation dont on détermi nera le centreωet l’angle. 2.Soitsla symétrie orthogonale par rapport à la droite passant par A et B. Mon trer qu’il existe deux symétries orthogonaless 1 ets 2 par rapport à des droites D 1 et D 2 telles queR 1 =s 1 ◦setR 2 =s◦s 2 . En déduire queR 1 ◦R 2 =s 1 ◦s 2 . Montrer que D 1 et D 2 sont sécantes enω. N.B. : Le candidat peut, s’il le désire, utiliser des nombres complexes pour trai ter la question 1.

P R O B L È M E

Partie A ³ ´ −→−→ SoitPun plan rapporté à un repère orthonorméO,ı,et C la courbe représen tative de l’application numérique : ( hi π 0 ;→R + f: 2 p x−→7tgx

Le baccalauréat de 1984

A. P. M. E. P.

1.Étudier l’applicationf. tgx festelle dérivable en 0 ? (On rappelle que lim=1). x Montrer que i h 2 π1+[f(x)] ′ ∀x∈,0 ;f(x)=. 2 2f(x) Tracer la courbe C. 2.Montrer quefadmet une application réciproquegdéfinie surR + . ⋆ Montrer quegest continue surR + , dérivable surRavec + 2x ⋆′ ∀x∈R,g(x)= + 4 1+x Déterminerg(0) etg(1). Tracer la courbeΓ 1 représentantg. Partie B On considère la fonction numériqueGde la variable réellexdéfinie surRpar Z x t G(x)=2 dt. 4 0 1+t 1.Montrer queGest dérivable surRavec  2x 2x ′ ∀x∈R,G(x)= 4 1+x PréciserG(0). Quelle est la restriction deGàR + ? Z 1 t En déduire la valeur de l’intégraledt. 4 0 1+t 2.Étudier la parité deG. Tracer la courbe représentativeΓde la fonctionG. n X ⋆ k 3. a.Soitq∈R−{1} etn∈N. Exprimer la sommeqen fonction deqet k=0 n. n X ¡ ¢ k 4 Pour toutt∈R, calculer−tet montrer que k=0 n 4n+5 X t t k4k+1n+1 =(−1)t+(−1) , 4 4 1+t1+t k=0 en déduire que Z 1 t dt=S n +R n 4 0 1+t avec Z n k1 4n+5 X (−1)t n+1 S n =etR n =(−1)+dt k+ 2 4 4 0 1+t k=0 4n+5 t1 4n+5 b.Montrer que∀t∈R + , 6 tet que | R n | 6 ; en déduire 4 1+t4n+6 π que=limS n . n→+∞ 8 Partie C

Dakar

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septembre 1983

Le baccalauréat de 1984

A. P. M. E. P.

h h π1 1.Montrer que, pourx∈0 ;, cosx= p en déduire que, pour tout 2 2 1+tg (x) t∈R + , 2 1t cos(g(t))=et sin(g(t))= p. 2 2 1+t1+t 2.On considère le mouvement d’un point mobileMdePdont les coordonnées à l’instantt(t∈R + ) sont ½ x(t)=cos(g(t)) y(t)=sin(g(t)) Déterminer la trajectoire T deMet tracer T. Préciser le sens du mouvement deMsur sa trajectoire. −−→ 3.Exprimer les coordonnées du vecteur vitessev(tdu vecteur accélération) et −−→ ′ ′′ γ(tl’instant) àten fonction deg(t),g(t) etg(t). 4.Montrer que le produit scalaire des vecteurs vitesse et accélération est : −→−→−− ′ ′′ ∀t∈R + ,v(t)∙γ(t)=g(t)∙g(t). Sur quels intervalles le mouvement estil accéléré (respectivement retardé) ?

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