Baccalauréat La Réunion série S juin

Description

Niveau: Secondaire, Lycée
[ Baccalauréat La Réunion série S juin 2003 \ EXERCICE 1 6 points Commun tous les candidats Cet exercice comporte 3 questions indépendantes. Une question comporte 4 affirmations repérées par les lettres a, b, c et d. Aucune justification n'est demandée pour cet exercice. Vous devez indiquer pour chacune d'elles si elle est vraie ou fausse. Vous inscrirez en toutes lettres « VRAI » ou « FAUX » dans la case correspondante du tableau donné en annexe à rendre avec la copie. 1. Une urne contient 75 boules blanches et 25 boules noires. L'expérience élé- mentaire consiste à tirer une boule. Les boules ont toutes la même probabilité d'être tirées. On effectue n tirages indépendants et avec remise, n désignant un entier supérieur à 10. Soit X la variable aléatoire prenant pour valeur le nombre de boules blanches tirées. a. X suit une loi binomiale de paramètres n et 1 4 . b. P(X = 0)= 1 22n c. P(X < 5)= 1?P(X > 5) d. E(X )= 0,75n 2. Une maladie atteint 1 % d'une population donnée. Un test de dépistage de cette maladie a les caractéristiques suivantes : • Chez les individus malades, 99 % des tests sont positifs et 1 % sont négatifs.

• égalités ???


• barycentre du système de points


• points candidats


• ??? bk


• orthocentre du triangle bdm


• bande entre les courbes c0


• affixe du poini mn


• durée d'attente en seconde de la caisse


• ak ·

Informations

• Publié par: apmep
• Publié le: 01 juin 2003
• Nombre de lectures: 17
• Langue: Français

Extrait

[Baccalauréat La Réunion série S juin 2003\

E X E R C IC E points1 6 Commun tousles candidats Cet exercice comporte 3 questions indépendantes. Une question comporte 4 affirmations repérées par les lettres a, b, c et d. Aucune justification n’est demandée pour cet exercice. Vous devez indiquer pour chacune d’elles si elle est vraie ou fausse. Vous inscrirez en toutes lettres « VRAI » ou « FAUX » dans la case correspondante du tableau donné en annexe à rendre avec la copie.

1.xpérience éléUne urne contient 75 boules blanches et 25 boules noires. L’e mentaire consiste à tirer une boule. Les boules ont toutes la même probabilité d’être tirées. On effectuentirages indépendants et avec remise,ndésignant un entier supérieur à 10. SoitXla variable aléatoire prenant pour valeur le nombre de boules blanches tirées. 1 a.Xsuit une loi binomiale de paramètresnet . 4 1 b.P(X=0)= 2n 2 c.P(X<5)=1−P(X>5) d.E(X)=0, 75n 2.Une maladie atteint 1 % d’une population donnée. Un test de dépistage de cette maladie a les caractéristiques suivantes : •Chez les individus malades, 99 % des tests sont positifs et 1 % sont négatifs. •Chez les individus non malades, 98 % des tests sont négatifs (les autres étant positifs). Un individu est choisi au hasard dans cette population et on lui applique le test. On note M l’évènement :l’individu est maladeet T l’évènement :le test pra tiqué est positif. a.P M (T) + P(T)=1, 01. M b.P M (T) = P(T)(T) + P M −2 c.P(T) = 2,97.10 d.our que l’inSachant que le test est positif, il y a deux chances sur trois p dividu testé ne soit pas malade. 3.La durée d’attente en seconde de la caisse d’un supermarché est une variable aléatoireYqui suit la loi exponentielle de paramètre 0,01. Alors : a.La densité de probabilité deYest la fonctionfdéfinie sur [0 ;+∞[ par : −0,01t f(t)=e −0,01t b.Pour tout réeltpositif, P(Y 6 t)=1−e c.0,01La probabilité d’attendre moins de 3 minutes à cette caisse est, à près, égale à 0,16. d.Il y a plus d’une chance sur deux que l’attente à cette caisse soit supé rieure à une minute.

E X E R C IC E 2 Candidats n’ayant pas suivi l’enseignement de spécialité On considère un cube ABCDEFGH d’arête 1. Le nombreadésigne un réel strictement positif. −−→ 1 −→ On considère le pointMde la demidroite [AE) défini par AM=AE . a

5 points

1.Déterminer le volume du tétraèdre ABDMen fonction dea. 2.SoitKle barycentre du système de points pondérés : ©¡ ¢ª 2 M;a1) ., (B; 1),(D ; −→→−−−→ a.Exprimer BKen fonction de BMet de BD . −→−→−−→−→−→−−→ b.Calculer BK∙AMet BK∙en déduire l’égalité BAD puisK∙MD=0. −−→−−→ c.Démontrer l’égalité DK∙MB=0. d.Démontrer queKest l’orthocentre du triangle BDM. −−→−→−→−−→ 3.Démontrer les égalités AK∙MB=0 et AK∙MD=0. Qu’en déduiton pour la droite (AK) ? p 2 a+2 4. a.Montrer que le triangle BDMest isocèle et que son aire est égale à 2a unité d’aire. b.Déterminer le réelatel que l’aire du triangle BMsoit égale à 1 unité d’aire. Déterminer la distance AKdans ce cas.

E

M

A

H

D

F

B

G

C

E X E R C IC E points2 5 Candidats ayant suivi l’enseignement de spécialité ³ ´ −→−→ Le plan est rapporté àun repère orthonormal directO,u,v. On prendra 1 cm, pour unité graphique. On considère l’applicationfdu plan dans luimême qui, à tout pointMd’affixez ′ ′ associe le pointMd’affixeztelle que : ³ ´³ ´ p ′ z= −3+iz−1+i 1+3 . 1.Montrer quefest une similitude directe dont le centreΩa pour affixe i. En déterminer le rapport et l’angle. 3 3 2.Soit M 0 le point d’affixez 0 = +i. 4 4 ³ ´ −→−−−→ CalculerΩM 0 et donner une mesure en radians de l’angleu;ΩM 0 . 3.On considère la suite de points (éfinie pour tout entier natur M n ) n > 0 el, dnpar M n+1 =f(M n ). On notez n l’affixe du poiniM n . a.Placer les pointsΩ, M 0 , M 1 , M 2 , M 3 et M 4 .

2

b.Monter par récurrence, pour tout entier natureln, l’égalité :

7nπ ni 6 z n −i= ( 2 ez 0 −i) . c.Pour tout entier natureln, calculerΩM n , puis déterminer le plus petit 2 entierntel queΩM n > 10 . 4. a.On considère l’équation (E) : 7x−12y=1 oùxetysont deux entiers relatifs. Après avoir vérifié que le couple (−5 ;−3) est solution, résoudre l’équation (E). b.SoitΔl’ensemble des pointsMdu plan d’affixeztelle que Im(z) = 1 et Re(z) > 0. Caractériser géométriquementΔet le représenter. Déterminer l’ensemble des entiers naturelsntels queM n appartienne à la demi −→ droite d’origineΩdirigée par le vecteuru. Préciser son plus petit élément.

P R O B L È M E 9 points Commun àtous les candidats. x e ′ On considère l’équation différentielle (E) :y−y=et on cherche l’ensemble des 2 x solutions de cette équation définies sur ]0 ;+∞[. x e 1. a.Démontrer que la fonctionudéfinie sur ]0 ;+∞[ paru(x)=est solu x tion de (E). b.Démontrer qu’une fonctionvdéfinie sur ]0 ;+∞[ est solution de (E) si et seulement si la fonctionv−u, définie sur ]0 ;+∞[, est solution de ′ l’équation différentielley−y=0. c.En déduire toutes les solutions définies sur ]0 ;+∞[ de l’équation (E). 2.Pour tout réelknégatif ou nul, on considère la fonctionf k définie sur ]0 ;+∞[ par :

k x+1 x f k (x)=e . x a.Déterminer les limites def k en 0 et en+∞. ′ b.Calculerf(x) pour tout réelxde l’intervalle ]0 ;+∞[ et déterminer le k ′ nombre de solutions sur ]0 ;+∞[ de l’équationf(x)=0. k 3.On noteC k la courbe représentative de la fonctionf k dans un repère ortho ³ ´ −→−→ normal O,ı,. On a tracé sur le graphique cijoint les courbesC −1 ,C −0,25 ,C −0,15 etC 0 . En utilisant la deuxième question, reconnaître chaque courbe (les réponses doivent être justifiées). Z a+1 x e 4.Pour tout réelastrictement positif, on poseA(a)=dx. a x a.Interpréter géométriquementA(a). x e b.On désigne parFune primitive de la fonctionx7→sur ]0 ;+∞[. x En remarquant queA(a)=F(a+1)−F(a) étudier le sens de variation de la fonction qui à tout réelaélément de ]0 ;+∞[ associe le réelA(a). c.ne unitéOn veut découper dans le plan une bande verticale de largeur u de telle sorte que l’aire située dans cette bande entre les courbesC 0 et (Ox) soit minimale. Comment doiton procéder ?

3

y

(3)

Annexe du problème

(1)

(2)

(4)

4

x