Baccalauréat S

Description

Niveau: Secondaire, Lycée
[ Baccalauréat S 2008\ L'intégrale de septembre 2007 à juin 2008 Pour un accès direct cliquez sur les liensbleus Antilles–Guyane septembre 2007 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3 France et Réunion septembre 2007 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8 Polynésie obligatoire septembre 2007 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13 Amérique du Sud novembre 2007 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 Nouvelle-Calédonie novembre 2007 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 Nouvelle-Calédoniemars 2008 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 Pondichéry avril 2008 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .30 Liban mai 2008 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

• accès direct


• barycentre du système de points


• égale au gain algébrique du joueur


• barycentre


• boule dans l'urne


• affixes respectives des vecteurs ???om


• triangle isocèle


• points commun

Sujets

• Accès direct
• Barycentre
• Triangle

Informations

• Publié par: apmep
• Nombre de lectures: 24
• Langue: Français

Extrait

[BaccalauréatS2008\
L’intégraledeseptembre2007à
juin2008
Pourunaccèsdirectcliquezsurlesliensbleus
Antilles–Guyaneseptembre2007 ........................3
FranceetRéunionseptembre2007 ......................8
Polynésieobligatoireseptembre2007 ..................13
AmériqueduSudnovembre2007 ......................18
Nouvelle-Calédonienovembre2007 ................... 21
Nouvelle-Calédoniemars2008 .........................26
Pondichéryavril2008 ...................................30
Libanmai2008 .........................................35
AmériqueduNordmai2008 ............................40
Antilles-Guyanejuin2008 ..............................44
Asiejuin2008 ...........................................49
Centresétrangersjuin2008 .............................55
Francejuin2008 ........................................59
LaRéunionjuin2008 ...................................63
Polynésiejuin2008 .....................................67BaccalauréatS:l’intégrale2008 A.P.M.E.P.
2[BaccalauréatSAntilles-Guyane\
septembre2007
EXERCICE 1 6points
Communàtouslescandidats
Lestroispartiesdecetexercicesontindépendantes.
Uneurnecontient15boulesidentiquesindiscernablesautoucherdecouleurnoire,
blanche,ourouge.
Onsaitdeplusqu’ilyaaumoinsdeuxboulesdechaquecouleurdansl’urne.
Ontireauhasardsimultanément 2boulesdansl’urneetonnoteleurcouleur.
Soitl’évènement G:«obtenirdeuxboulesdemêmecouleur».
PartieA
Onsupposequel’urnecontient3boulesnoireset7boulesbanches.
Calculerlaprobabilitédel’évènement G.
PartieB
On note n, b et r le nombre de boules respectivement noires, blanches et rouges
figurantdansl’urne.
1. Onnote g(n, b, r)laprobabilitéenfonctionden, b etr del’évènement G.
1
Démontrerqueg(n, b, r)? [n(n?1)?b(b?1)?r(r?1)].
210
2. Le but de cette question est de déterminer n, b et r afin que la probabilité
g(n, b, r)soitminimale.
? ?!? !? !?
L’espaceestmunid’unrepère O, ı , | , k orthonormal.
Soient les points N,BetRdecoordonnéesrespectives (15; 0; 0),(0;15; 0)et
(0;0; 15)etsoit M lepoint decoordonnées(n, b, r).Onpourraserapporter
àlafigureci-dessous.
a. Justifierqu’uneéquationcartésienneduplan(NBR)estx?y?z?15?0.
b. EndéduirequelepointM estunpointduplan(NBR).
? ?1 2c. Démontrerqueg(n, b, r)? OM ?15 .
210
d. SoitHleprojetéorthogonaldupointOsurleplan(NBR).Déterminerles
coordonnéesdupointH.
e. Endéduiretesvaleurs den, b etr afinque laprobabilité g(n, b, r)soit
2
minimale.Justifierquecetteprobabilitéminimaleestégaleà .
7
PartieC
On suppose que les nombres de boules de chaque couleur ont été choisis par l’or-
2
ganisateurd’unjeu,detellesortequelaprobabilitédel’évènement Gsoit .
7
Un joueur mise x euros, avec x entier naturel non nul, puis tire simultanément au
hasarddeuxboulesdel’urne.Danstouslescas,ilperdsamisededépart.
S’il obtient deux boules de la même couleur, il reçoit k fois le montant de sa mise,
aveck nombredécimalstrictementsupérieurà1.Sinon,ilnereçoitrien.
Onnote X lavariablealéatoireégaleaugainalgébriquedujoueur.
1. Calculerl’espéranceE(X)delavariableX enfonctiondex etdek.
2. Déterminerlavaleurdek pourlaquellelejeuestéquitable.BaccalauréatS:l’intégrale2008 A.P.M.E.P.
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R
!?!?
k |
!? O Byı
N
x
EXERCICE 2 5points
Pourlescandidatsn’ayantpassuivil’enseignementdespécialité
PartieA
?
?(1?i) ? 1?3i
1. Déterminerlenombrecomplexe?telque 2i? ? ?4?3i
22. Pourtoutnombrecomplexe z,onpose f(z)?z ?(1?3i)z?(?4?3i).
Montrerque f(z)s’écritsouslaforme(z??)(z?i?).
Endéduirelessolutionssousformealgébriquedel’équation f(z)?0.
PartieB
? ?!? !?
Leplancomplexeestrapportéàunrepèreorthonormé O, u , v ,unitégraphique:
5cm.
1. OnconsidèrelespointsAetBd’affixesrespectives a?2?ietb??1?2i.
PlacerAetBdanslerepèreetcompléterlafigureaufuretàmesure.
Montrerqueb?i?,endéduirequeletriangleOABestuntriangleisocèlerec-? ? ??! ?!
tangletelque OA, OB ? .
2
1
2. OnconsidèrelepointCd’affixec??1? i.Déterminerl’affixedupointDtel
2 ? ??! ??! ?
queletriangleOCDsoituntriangleisocèlerectangletelque OC, OD ? .
2
Onpourraconjecturerl’affixedeDàl’aidedelafigurepourtraiterlaquestion
suivante.
3. Soit M le milieu de [CB]. On appelle z??! et z?! les affixes respectives des
OM DA
??!z??! ??! 1OM
vecteursOM etDA.Prouverque: ? i.
z??! 2
DA
? ??! ??!
4. Donnerunemesureenradiansdel’angle DA, OM .
1
5. ProuverqueOM? DA.
2
6. OnappelleJ,KetLlesmilieuxrespectifsdessegments[CD],[DA]et[AB].
On admet que le quadrilatère JKLM est un parallélogramme. Démontrerque
c’estuncarré.
Antilles-Guyane 4 septembre2007BaccalauréatS:l’intégrale2008 A.P.M.E.P.
EXERCICE 2 5points
Pourlescandidatsayantsuivil’enseignementdespécialité
? ? ??! ??!
ABCestuntriangleéquilatéraltelque AB, AC ? ?2k?, k2Z.
3
Soitt unnombreréelfixeetsoientlespointsM, N etP,deuxàdeuxdistincts,définis
par
??! ?! ??! ?! ?! ?!
AM ?tAB, BN ?tBC etCP ?tCA.
Le but de l’exercice est de démontrer l’existence d’une unique similitude directe?
quitransformelespointsA,BetCenrespectivement M, N etP,etd’enpréciserles
élémentscaractéristiques. ? ?!? !?
Onmunitlepland’unrepèreorthonormal O, u , v direct.
Onnotea, b, c, m, n etp,lesaffixesrespectivesdespointsA,B,C,M, N etP.
1. Onrappellequetoutesimilitudeconservelebarycentre.
a. Exprimerm, n etp enfonctiondea, b, c ett.
b. EndéduirequelesdeuxtrianglesABCetMNP ontmêmecentredegra-
vité.
OunoteraGcecentredegravité.
c. Onsupposeque?existe.Déterminerl’imagedeGpar?.
2?
2. Onconsidèrelarotationr decentreGetd’angle .
3
a. Vérifierque M estlebarycentredusystèmedepoints{A(1?t); B(t)},et
endéduirequer(M)?N.
Onadmetdemêmequer(N)?P etr(P)?M.
? ?GM ??! ???!
b. Soit? ,lasimilitudedirectedecentreGderapport etd’angle GA, GM .1
GA
Montrerqu’elle transformelespoints A,BetCenrespectivement M, N
etP.
c. Concluresurl’existenceetl’unicitéde?.
EXERCICE 3 5points
Communàtouslescandidats
Questiondecours
SoitIunintervalledeR.
0 0Soient u et v deux fonctions continues, dérivables sur I telles que u et v soient
continuessurI.
Rappeler et démontrer la formule d’intégration par parties sur un intervalle [a ; b]
deI.
PartieA
Soit f unefonctiondéfinieetdérivablesurl’intervalle[0;1].
0Onnote f lafonctiondérivéede f.
0Onsupposeque f estcontinuesurl’intervalle[0;1].
1. Utiliserlaquestiondecourspourmontrerque:
Z Z1 1
0f(x)dx? f(1)? xf (x)dx.
0 0
Z Z1 1
02. Endéduireque (f(x)?f(1))dx?? xf (x)dx.
0 0
Antilles-Guyane 5 septembre2007BaccalauréatS:l’intégrale2008 A.P.M.E.P.
PartieB
Ondésigneparlnlafonctionlogarithmenepérien.
Soit f lafonctiondéfiniesurl’intervalle]?2; 2[par
? ?
2?x
f(x)?ln .
2?x
SoitC la courbe représentative de f sur l’intervalle ]?2 ; 2[ dans un repèreortho-
norméd’unitégraphique2cm.
1. Déterminerleslimitesde f auxbornesdesonensemblededéfinition.
402. a. Montrerquepourtoutréelx del’intervalle]?2; 2[ona f (x)? .
24?x
b. Endéduirelesvariationsde f surl’intervalle]?2; 2[.
PartieC
LacourbeC esttracéesurlafeuilleannexe.
HachurersurcettefeuillelapartieP duplanconstituéedespointsM(x ; y)telsque
06x61 et f(x)6y6ln3.
2EnutilisantlapartieA,calculerencm l’airedeP.
4
3
2
1
!?
|
0
!?
?2 ?1 0 1 2 3ı
?1
?2
EXERCICE 4 4points
Antilles-Guyane 6 septembre2007BaccalauréatS:l’intégrale2008 A.P.M.E.P.
Communàtouslescandidats
Soitv?(v ) unesuite.n n>0
?vnOnconsidèrelasuiteu définiepourtoutentiernatureln paru ?e ?1.n
PartieA
Pour chacune des questions, quatre propositions sont proposées dont une seule est
exacte.
Pourchacunedesquestionsdonner,sansjustification,labonneréponsesurvotreco-
pie.
Unebonneréponsedonne0,75point,unemauvaiseréponseenlève0,25pointetl’ab-
sencederéponseestcomptée0point.
Touttotalnégatifestramenéàzéro.
1. a estunréelstrictementpositifetlndésignelafonctionlogarithmenépérien.
Siv ?lna alors:0
1 1 ?aa. u ? ?1 b. u ? c. u ??a?1 d. u ?e ?10 0 0 0
a 1?a
2. Siv eststrictementcroissante,alors:
a. u eststrictementdécroissanteetmajoréepar2
b. u eststrictementcroissanteetminoréepar1
c. u eststrictementcroissanteetmajoréepar2
d. u eststrictementdécroissanteetminoréepar1
3. Siv divergevers?1,alors:
a. u convergevers2
b. u divergevers?1
c. u convergevers1
d. u convergeversunréel`telque`?1
4. Siv estmajoréepar2,alors:
?2a. u estmajoréepar1?e
?2b. u estminoréepar1?e
2c. u estmajoréepar1?e
2d.