Baccalauréat S

Description

Niveau: Secondaire, Lycée
[ Baccalauréat S 2007\ L'intégrale de septembre 2006 à juin 2007 Pour un accès direct cliquez sur les liensbleus France et Réunion septembre 2006 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3 Polynésie spécialité septembre 2006 . . . . . . . . . . . . . . . . .10 Amérique du Sud novembre 2006 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13 Nouvelle-Calédonie novembre 2006 . . . . . . . . . . . . . . . . . 17 Nouvelle-Calédonie mars 2007 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 Pondichéry avril 2007 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 Liban mai 2007 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .27 Amérique du Nord mai 2007 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 Antilles-Guyane juin 2007 .

• probabilité


• z2 ?1


• falaise au bord de la mer


• point d'affixe


• arbre de probabilités décrivant la situation


• enseignement de spécialité

Sujets

• Probabilité

Informations

• Publié par: apmep
• Nombre de lectures: 57
• Langue: Français

Extrait

[BaccalauréatS2007\
L’intégraledeseptembre2006à
juin2007
Pourunaccèsdirectcliquezsurlesliensbleus
FranceetRéunionseptembre2006 ...................3
Polynésiespécialitéseptembre2006 .................10
AmériqueduSudnovembre2006 ................... 13
Nouvelle-Calédonienovembre2006 .................17
Nouvelle-Calédoniemars2007 ......................21
Pondichéryavril2007 ................................24
Libanmai2007 .......................................27
AmériqueduNordmai2007 .........................31
Antilles-Guyanejuin2007 ........................... 36
Asiejuin2007 ........................................40
Centresétrangersjuin2007 ..........................44
Francejuin2007 .....................................49
LaRéunionjuin2007 ................................54
Polynésiejuin2007 .................................. 59BaccalauréatS:l’intégrale2007 A.P.M.E.P.
2[BaccalauréatSMétropoleseptembre2006\
EXERCICE 1 5points
Communàtouslescandidats
Lascènesepasseenhautd’unefalaiseauborddelamer.Pourtrouveruneplage
etallersebaigner,lestouristesnepeuventchoisirqu’entredeuxplages,l’uneàl’Estet
l’autreàl’Ouest.
A- Un touriste se retrouve deux jours consécutifs en haut de la falaise. Le pre-
mier jour, il choisit au hasard l’une des deux directions. Le second jour, on admet
que la probabilité qu’il choisisse une direction opposée à celle prise la veille vaut
0,8.
Pour i ?1 ou i ?2, on note E l’évènement : «Le touriste se dirige vers l’Est lei
i-èmejour» etO l’évènement :«Letouristesedirigeversl’Ouestlei-èmejour».i
1. Dresserunarbredeprobabilitésdécrivantlasituation.
2. Déterminerlesprobabilitéssuivantes:p(E );p (O );p(E \E ).1 E 2 1 21
3. Calculer la probabilité que ce touriste se rende sur la même plage les deux
joursconsécutifs.
B-Onsupposemaintenantquentouristes(n>3)seretrouventunjourenhaut
delafalaise.Cesntouristesveulenttoussebaigneretchacund’euxchoisitauhasard
etindépendammentdesautresl’unedesdeuxdirections.
On note X la variable aléatoire donnant le nombre de ces touristes qui choi-
sissentlaplageàl’Est.
1. Déterminer laprobabilitéque k touristes (06k6n) partenten directionde
l’Est.
2. On suppose ici que les deux plages considérées sont désertes au départ. On
ditqu’untouristeestheureuxs’ilseretrouveseulsuruneplage.
a. Peut-ilyavoirdeuxtouristesheureux?
b. Démontrer que la probabilité (notée p) qu’il y ait un touriste heureux
n
parmicesn touristesvaut:p? .
n?12
c. Applicationnumérique:
Lorsque le groupe comprend 10 personnes, exprimer la probabilité, ar-
rondieaucentième,qu’ilyaituntouristeheureuxparmiles10.BaccalauréatS:l’intégrale2007 A.P.M.E.P.
EXERCICE 2 5points
Candidatsn’ayantpassuivil’enseignementdespécialité
? ?!? !?
Dans le plan complexe muni du repère orthonormal O, u , v , on considère
0 0 0 0 0lespoints M et M d’affixesrespectives z et z .Onpose z?x?iy et z ?x ?iy ,où
0 0x, x , y, y sontdesnombresréels.
Onrappellequez désigneleconjuguédez etquejzjdésignelemoduledez.
???!??! 01. Montrer que les vecteurs OM et OM sont orthogonaux si et seulement si
0Re(z z)?0.
0 02. MontrerquelespointsO,M etM sontalignéssietseulementsilm(z z)?0.
Applications
23. N est le point d’affixe z ?1. Quel est l’ensemble des points M tels que les
??! ??!
vecteursOM etON soientorthogonaux?
1
4. Onsuppose z nonnul.P estlepointd’affixe ?1.
2z
Onrecherchel’ensemble despoints M d’affixeztels que lespoints O, N etP
soientalignés.
? ? ? ?? ? 2? ?1 122 ? ?a. Montrerque ?1 z ?1 ??z ?1 .? ?2 2z z
b. Enutilisantl’équivalencedémontréeaudébutdel’exercice,concluresur
l’ensemblerecherché.
Métropole 4 septembre2006BaccalauréatS:l’intégrale2007 A.P.M.E.P.
EXERCICE 2 5points
Candidatsayantsuivil’enseignementdespécialité
1. Onconsidèrel’équation
(E) : 17x?24y?9,
où(x, y)estuncoupled’entiersrelatifs.
a. Vérifierquelecouple(9; 6)estsolutiondel’équation(E).
b. Résoudrel’équation(E).
2. Dansunefêteforaine,Jeans’installedansununmanègecirculairereprésenté
parleschémadel’annexe2.Ilpeuts’installersurl’undeshuitpointsindiqués
surlecercle.
Le manège comporte un jeu qui consiste à attraper un pompon qui, se dé-
placesuruncâbleformantuncarrédanslequelestinscritlecercle.Lemanège
tourne dans le sens des aiguilles d’une montre, à vitesse constante. Il fait un
touràvitesseconstante.Ilfaituntouren24secondes.Lepomponsedéplace
danslemêmesensàvitesseconstante.Ilfaituntouren17secondes.
Pour gagner,Jeandoitattraper lepompon, etilnepeut lefairequ’auxpoints
decontactquisontnotésA,B,CetDsurledessin.
Àl’instant t?0,JeanpartdupointHenmêmetempsquelepomponpartdu
pointA.
a. Onsupposequ’àuncertaininstantt JeanattrapelepomponenA.Jeana
déjàpupasseruncertainnombredefoisenAsansytrouverlepompon.
Àl’instant t,onnote y lenombredetourseffectués depuissonpremier
passage en A et x lenombre detours effectués par le pompon. Montrer
que(x, y)estsolutiondel’équation(E)delaquestion1.
b. Jeanapayépour2minutes;aura-t-illetempsd’attraperlepompon?
c. Montrer,qu’enfait,iln’estpossibled’attraperlepomponqu’aupointA.
d. JeanpartmaintenantdupointE.Aura-t-illetempsd’attraperlepompon
enAavantlesdeuxminutes?
Métropole 5 septembre2006BaccalauréatS:l’intégrale2007 A.P.M.E.P.
EXERCICE 3 6points
Communàtouslescandidats
Danstoutl’exercice,?désigneunnombreréeldel’intervalle]0; 1].
? ?
1
1. Onseproposed’étudierlesfonctionsdérivablessur ?1; vérifiantl’équa-
2
0 2tiondifférentielle(E ): y ?y ??y etlacondition y(0)?1.? ? ?
1
Onsupposequ’ilexisteunesolutiony de(E )strictementpositivesur ?1;0 ?
2? ?
1 1
etonposesur ?1; :z?
2 y0
Écrireuneéquationdifférentiellesimplesatisfaiteparlafonctionz.
2. Questiondecours
PRÉ-REQUIS
0 ??xLessolutionsdel’équationdifférentielley ???y sontlesfonctionsx7!Ce
oùC estuneconstanteréelle.
a. Démontrerl’existenceetl’unicitédelasolution z del’équationdifféren-
0tielle(E’ ):z ??(?z?1)tellequez(0)?1.?
b. Donnerl’expressiondecettefonctionquel’onnoteraz .0
Onveutmaintenantmontrerquelafonctionz nes’annulepassurl’intervalle0? ?
1
?1; .
2
?
3. a. Démontrerqueln(1??)? .
??1
x
Onpourraétudiersur]0;1]lafonctionfdéfinieparf(x)?ln(1?x)? .
x?1
1 1
b. Endéduireque ln(1??)? .
? 2
? ?
1
4. Endéduirequelafonctionz nes’annulepassur ?1; .0
2 ? ?
1
Démontreralorsque(E )admetunesolutionstrictementpositivesur ?1;?
2
quel’onprécisera.
Métropole 6 septembre2006BaccalauréatS:l’intégrale2007 A.P.M.E.P.
EXERCICE 4 6points
Communàtouslescandidats
Onconsidèredansl’espaceuncubede3cmdecôté,notéABCDEFGHetrepré-
sentésurl’annexe.
SoitIlebarycentredespointspondérés(E;2)et(F;1),Jceluide(F;1)et(B;2)
etenfinKceluide(G;2)et(C;1).
On veut déterminer l’ensemble des points M équidistants de I, J et K. On note?
cetensemble.
1. Placerlespointsl,JetKsurlafiguredel’annexequiserarendueaveclacopie.
2. Soit? le point de? situé dans le plan (IJK). Que représente ce point pour le
triangleIJK?
Pour la suite de l’exercice,on se place maintenant dans le repèreorthonormal? ?
1?! 1?! 1?!
suivant: A; AD ; AB ; AE .
3 3 3
3. Donnerlescoordonnéesdespointsl,JetK.
4. SoitP(2;0;0)etQ(1;3;3)deuxpointsquel’onplacerasurlafigure.Démon-
trerqueladroite(PQ)estorthogonaleauplan(IJK).
5. SoitM unpointdel’espacedecoordonnées(x ; y ; z).
a. DémontrerqueM appartientà?si,etseulementsi,letriplet(x ; y ; z)est
solutiond’unsystèmededeuxéquationslinéairesquel’onécrira.Quelle
estlanaturede??
b. VérifierquePetQappartiennentà?.Tracer?surlafigure.
6. a. Déterminerunvecteurnormalauplan(IJK)etendéduireuneéquation
cartésiennedeceplan.
b. Détermineralorslescoordonnéesexactesde?.
Métropole 7 septembre2006BaccalauréatS:l’intégrale2007 A.P.M.E.P.
ANNEXE1
ÀRENDREAGRAFÉEÀLACOPIE
Figuredel’exercice4
F
E
G
H
B
A
C
D
Métropole 8 septembre2006BaccalauréatS:l’intégrale2007 A.P.M.E.P.
ANNEXE2
Schémadel’exercice2
A
E F
D B
H G
C
Métropole 9 septembre2006Durée:4heures
[BaccalauréatSPolynésieseptembre2006\
EXERCICE 1 4points
? ?!? !?
1. Leplancomplexeestrapportéàunrepèreorthonormaldirect O, u , v .
Onposea?3, b?5?2ietc?5?2i.OndésigneparA,BetClespointsd’affixes
respectives a, b etc.
SoitM unpointd’affixez duplan,distinctdespointsAetB.
a. MontrerqueABCestuntrianglerectangleisocèle.
b. Donneruneinterprétationg