Baccalauréat STI

Description

Niveau: Secondaire, Lycée
[ Baccalauréat STI 2002\ L'intégrale de septembre 2001 à juin 2002 Pour un accès direct cliquez sur les liensbleus Métropole Génie électronique septembre 2001 . . . . . . .3 Métropole Génie civil septembre 2001 . . . . . . . . . . . . . . . .6 Métropole Génie des matériaux septembre 2001 . . . . . 8 Nouvelle–Calédonie Génie mécanique nov. 2001 . . . 10 Métropole F 11 F 11? juin 2002 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12 Métropole Arts apliqués juin 2002 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15 Métropole Génie électronique juin 2002 . . . . . . . . . . . . 18 Métropole Génie des matériaux juin 2002 . . . . . . . . . . . 20 Métropole Génie mécanique juin 2002 . . . . . . . . . . . . . . 23 Antilles Génie électronique juin 2002 . . . . . . . . . . . . . . . .25 Antilles Génie mécanique juin 2002 . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 La Réunion Génie mécanique juin 2002 . . . . .

• égale aunombrede


• métropole génie électronique


• cm sur l'axe des ordonnées


• égale au gain algébriquedu joueur


• baccalauréat sti


• génie électronique

Sujets

• Électronique

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Extrait

[Baccalauréat STI 2002\

L’intégrale de septembre 2001 à juin 2002 Pour un accès direct cliquez sur les liens bleus

Métropole Génie électronique septembre 2001. . . . . . 3. Métropole Génie civil septembre 2001. . . . . . . . . . . . . . . 6. Métropole Génie des matériaux septembre 2001. . . . . 8 Nouvelle–Calédonie Génie mécanique nov. 2001. . . 10 Métropole F 11 F 11 ′ juin 2002. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12 Métropole Arts apliqués juin 2002. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15 Métropole Génie électronique juin 2002 18. . . . . . . . . . . . Métropole Génie des matériaux juin 2002. . . . . 20. . . . . . Métropole Génie mécanique juin 2002. . . . . . . . . 23. . . . . Antilles Génie électronique juin 2002. . . . . . . . . . . . . . . . 25 Antilles Génie mécanique juin 2002. . . . . . . . . . . . . . . 28. . La Réunion Génie mécanique juin 2002. . . . . . . . . . . . . 31 La Réunion Génie électronique juin 2002 34. . . . . . . . . . .

2

L’in

t

égrale

2002

[Baccalauréat STI Métropole septembre 2001\ Génie électronique, électrotechnique, optique

Durée : 4 heures

Coefficient : 4

E EXCRICE 1 5 points On lance trois fois de suite une pièce de monnaie et l’on note, dans l’ordre les résultats obtenus ; par exemple PFF correspond à « Pile - Face - Face ». Les résultats sont équiprobables. 1. a.à l’aide d’un arbre, écrire tous les résultats possibles et i ndiquer pour chacun de ces résultats le nombre de fois où on a obtenu « Face » . b.SoitXla variable aléatoire égale au nombre de fois où on a obtenu « Face » sur les trois lancers. Donner, sous forme d’un tableau, la loi de probabi- lité deX. 2.Une personne mise 10 euros pour participer à un jeu qui consiste à lancer trois fois de suite la pièce de monnaie. • en.Face », le joueur ne reçoit riS’il a obtenu moins de deux fois « •exactement 2 fois « Face », le joueur reçoit 10 euros.S’il a obtenu •S’il a obtenu exactement trois fois « Face », le joueur reçoit 30 euros. On désigne parYla variable aléatoire égale au gain algébrique du joueur (c’est- à-dire la différence entre la somme reçue et sa mise). a.Déterminer les valeurs que peut prendreY. b.Donner la loi de probabilité deY. c.Calculer l’espérance mathématique deY. 3. que E(On veut modifier la mise pour que le jeu soit équitable, c’est- à-direY) soit égal à 0. Déterminer cette nouvelle mise en justifiant votre réponse.

E XERCICE 2 5 points l’intégrale Z 0 π 2 sin(2x) d Le but de l’exercice est le calcul dex. 12 sinx Pour cela, on introduit les fonctionsfetgdéfinies sur l’intervale h  2 0 ; π i par : f(x) sin(2x) 1 cos 2is x nx 12 sinx etg(x) π Z 0 π 2 f(x) dxet Z 2 ainsi que les intégrales : IJg(x) dx. 0 1. a.Montrer quef(x)g(x)cosx. b.En déduire que I + J = 1. 2. a.Calculer la dérivée de la fonctionudéfinie sur l’intervalle h 0 ; π 2 i par : u(x)12 sinx.

hiqugrapnt,oejoi )2gtx( ruel 2 x S . seréepsresivatntlécartanebruocse idèrelesfonctionnOocsnr:pa x)f( x e x ee − tefsfiédgseinRrus uocsedevte f Csebrsdui,pC g lecualeciaeruren itAeP . radede:étunctilafo idutfaletcnofnoi’o.LetbjladertpaeieBts’dtédueilraposi- tionrelati sscibssadexe’arl xa’lrusmc 5,0tese s). D nnéeordoedes o,énitAeparanals sfcec-onetC f deC g rnusrèpenoitnadsnal(uniteorthogoeu2:mcusgéarhpqi leal;[0. M ∞[ roét edsnrusfni’lvretduirelesvariatio [∞e,− x− e > x .0 nEéd tourpoue;[0x∈ut .fed ′ feé qrertnoM onctrlafériviond ∞− 3 .fene ucelC.la miladetiudédleri nfe En ∞.milidetecllureal té.é .2aC tepropri ement cet uqirtémoégretérpernttisereaisponcnitseofnodttesgqueftrer.Mon onf 1 20rembteep 4 slepo

P BOÈLRME

x

4

3

2

-4 -3 -2

18 y 16 14 12 10 8 6 4 2 0 -1 0 1 -2

Baccalauréat STI Génie électronique, électrotechnique, optique L’intégrale 2002 b.En déduire une primitive de la fonctiongsur l’intervalle h 0 π i . ; 2 c.Calculer J. 3.utilisant les questions précédentes, déterminer la valeur exacte de I.En

10 points

10

Baccalauréat STI Génie électronique, électrotechnique, optique

4.Donner le tableau de variations def. 5. a.Démontrer quef(ln 2). 2 5 1 b.En déduiref µ nl 2 ¶ . 6.Résoudre dansRtionqéau’lf(x)3.

L’intégrale 2002

Partie B : Calcul d’une aire Soithla fonction définie sur [0 ;∞[ par : h(x)e x −e −x −2x. 1. a.Calculer la fonction dérivéeh ′ deh. 2 b.Montrer queh ′ (x) (e x e − x ) 1 . établir le tableau de variations de la fonctionh(on ne demande pas la limite en∞). c.En déduire queh(x) > 0, pour toutx∈[0 ;∞[. 2.On considère la fonctionrdéfinie sur l’intervalle [0 ;∞[ par r(x)f(x)−g(x). a.Montrer quehest la fonction dérivée der. En déduire les variations de r. b.Calculerr(0) et montrer quer(x) > 0, pour toutx∈[0 ;∞[. c.Déterminer la position relative des courbesC f etC g pourx∈[0 ;∞[. 3. a.Déterminer une primitive de la fonctionrsurR. b.Calculer I Z 2 0 r(x) dx. c.En déduire l’aireAdu domaine limité par les deux courbesC f etC g et les droites d’équationsx2 etx −(On donnera sa valeur exacte en2. unités d’aire, puis son approximation décimale à 10 −2 près par défaut).

Métropole 5 spetembre2001

[STI Métropole septembre 2001\

Génie mécanique, civil, énergétique

E ICREXEC  points1 6 1.Résoudre l’équation différentielle (E)y ′′  4 1 y0 dans laquelle l’inconnuey est une fonction de la variable réellex, définie et deux fois dérivable surR. 2.Déterminer la solution particulièrefde (E) vérifiant :f(0)1 etf ′ ¡ 2 π ¢ 0. 3.Vérifier que, pour tout réelx,f(x)2 cos µ 2 1 x− π 4 ¶ . 4.étudier les variations defsur l’intervalle h − 2 π 2 ; π i . → 5.On munit le plan d’un repère orthonormal ³ O,ı −→ , − ´ (unité graphique : 4 cm). Tracer la courbe représentant la fonctionfsur l’intervalle h − π 2 ; 2 π i (sur pa- pier millimétré). π 6.SoitFl’ensemble des pointsM(x;y) du plan tels que− 2 π 6 x 6 2 et 0 6 y 6 f(x). Calculer, en cm 3 , le volumeVsolide de révolution engendré par la rotationdu de autour de l’axe (Ox). π V64π Z 2 π (On rappelle qu’en cm 3 : [f(x)] 2 dx). − 2

E ECICREX 2 4 points Une urne U 1 contient 5 boules numérotées 1, 2, 3, 4 et 5. Une urne U 2 contient trois boules numérotées 2, 3 et 4. Un jeu consiste à tirer une boule au hasard dans chaque urne. Dans chaque urne, chaque boule a la même probabilité d’être tirée. Si la boule tirée dans l’urne U 1 porte les numéros 1 ou 5, le joueur ne gagne rien. Si les deux numéros tirés sont identiques, le joueur reçoit 50 euros. Dans tous les autres cas, le joueur gagne 20 euros. 1.Compléter le tableau ci-dessous indiquant, en fonction du tirage, le gain du joueur. 2.On note X la variable aléatoire qui à chaque tirage des deux bo associe le ules gain du joueur. a.Déterminer la loi de probabilité de X. b.Calculer l’espérance de X. c.Avant de jouer, chaque participant doit payer 15 euros. Le jo ueur a-t-il alors intérêt à participer à ce jeu ? d.au joueur dans le cas où les deux nu-Quelle somme faudrait-il attribuer méros seraient identiques, pour que le jeu soit équitable (gain de 0 euro et 20 euros ne changeant pas) ?

Baccalauréat STI Génie mécanique, civil, énergétique

❍ U ❍ ❍ U ❍ 2 2 3 4 1 1 2 20 3 4 5 0

P MELÈOBR 10 points Soitfla fonction définie surRpar f(x)xe −x x etC lsa courbe représentative dans un repère or ³ O, −→  −→ ´ d’unité : 1 cm. thonormaı, Partie A : étude d’une fonction auxiliaire Soitgla fonction définie surRpar g(x)(1−x)e −x 1. 1.Calculerg ′ (x), puis étudier le signe deg(x). 2.Calculerg(2). Dresser le tableau de variations deg(les limites en∞en−∞ ne sont pas demandées). En déduire le signe deg(x). Partie B : étude defet représentation graphique 1.Déterminer limf(x) et x lim −∞ f(x). x→∞ → 2.Calculerf ′ (x). Vérifier quef ′ (x)g(x). Dresser le tableau de variations def. 3.Montrer que la droiteΔnioatqudé’yxest asymptote àCau voisinage de ∞. 4.étudier la position deCpar rapport àΔ. 5.Tracer dans le repère ³ O, − ı → , −→ ´ la droiteΔet la courbeC(sur papier millimé- tré). Partie C : étude d’une aire 1.SoitHla fonction définie surRpar H(x)(−1−x)e −x . CalculerH ′ (x). 2.Soitαstrictement positif. Soit (E) la partie du plan limitée parun réel C,Δet les droites d’équationsx0 etxα. Calculer, en cm 2 , l’aireA(α) de (E). 3.Calculer la limite deA(α) quandαtend vers∞.

Métropoel 7 spetembre0210

[STI Métropole septembre 2001\

Génie mécanique B, C, D, E - Génie des matériaux

E ERCICEX 1

5 points

1.Soitfla fonction définie surRpar : f(x)cos 3x−2 sin 3x. a.reetéDnimrf ′ (x),f ′ étant la fonction dérivée de la fonctionf. b.inrmteDéref ′′ (x),f ′′ étant la fonction dérivée de la fonctionf ′ . c.Trouver une relation simple entref ′′ (x) etf(x). 2. a.Résoudre dansRl’équation différentielle :y ′′ 9y0. b.Déterminer la solution particulièregde cette équation qui vérifie : π g(0) − 2 t 2 eg ′ ³ 3 ´  3 . 2 2 3. a.Vérifier que pour toutxréel,g(x)cos µ 3x− 5 4 π ¶ . b.Résoudre dans [0 ; 2π[ l’équationg(x)0. c.obtenues forment une suite arithmétique deMontrer que les solutions π raison . 3

E ICEEXCR  points2 4 π On not r ument . e i le nombre complexe de module 1 et d’a g  2 ’un repère orthonormal ³ O, →−→− ´ Le plan complexe est muni du,v(unité graphique : 2 cm). 1.On désigne parCl’ensemble des nombres complexes. 2 a.levéDreppo ¡ 42 2 ¢ . b.Résoudre dansC, l’équation :z 2 −4z−2 ¡ 2 p 21 ¢ 0. 2.Résoudre dansCl’équation :z 2 −4z70. 3.On désigne par A, B, C, D les points du plan complexe d’affixes respectives : z A  −2,z B 42,z C 2−i 3,z D 2i 3. a.le repère donné (sur papier millimétré).Placer les points A, B, C, D dans b.Montrer que les segments [AB] et [CD] ont le même milieu. c.le quadrilatère ABCD est un losange.Montrer que 4.Déterminerz E etz F affixes respectives de points E et F tels que AEBF soit un carré. Justifier votre réponse.

Baccalauréat STI Génie mécanique B, C, D, E - Génie des matériaux

P ROBLMÈE 11 points Partie A : étude des variations d’une fonction Soitfla fonction définie sur l’intervalle I]−ln 4 ;∞[ (où ln désigne le logarithme népérien) par : e x 8 f(x) 4e x − 1 , l ³ O, − ı → , −→ ´ etCsa courbe représentative dans le plan muni d’un repère orthonorma d’unité graphique : 2 cm. 1. a.Déterminer la limite defen−ln 4. Que peut-on en déduire pour la courbe C? 18e −x  lad miner b.Vérifier que, pour toutxde I, on af(x) − puis éter 4−e x limite defen∞. En déduire l’existence d’une asymptote horizontale deCen c.Déterminer la position de la courbeCpar rapport à la droiteDd’équa- 1 tiony . 4 33 x 2. a.Montrer que pour toutxde I :f ′ (x) e4 ( x − ) 1 e 2 .  − b.Déterminer le signe def ′ (x) sur I. c.Dresser le tableau de variations def. 3.Déterminer une équation de la tangenteTà la courbeCau point d’abscisse 0. Partie B : tracé de la courbe representative de la fonctionfsur I 1.Reproduire et compléter le tableau suivant (les valeurs def(x) seront arron- dies à 10 −2 près). 2.Tracer la tangenteT, la droiteDet la courbeCdans le repère ³ O, − ı → , −  → ´ (sur papier millimétré). x0 0, 1 1,5 2 2,5 3 3,5 4 f(x) Partie C : Dans le plan rapporté au repère ³ O, − ı → , −  → ´ , on appelleAl’aire de la partie du plan limitée par la courbeC, l’axe des abscisses et les droites d’équationx0 etx4. 1. a.Vérifier que, toutxde l’intervalle [0 ; 4],f(x) peut s’écrire sous la forme : f 33e x (x) −8. 4e x −1 b.Déterminer une primitive sur [0 ; 4] de la fonctiongdéfinie par : e x g(x) 4e x . −1 c.En déduire une primitive defsur [0 ; 4]. 2.Calculer l’aireAen cm 2 . On donnera la valeur exacte deAune valeur approchée à 1 mmpuis 2 près.

Métropole 9 spetmerbe0210

[Baccalauréat STI Nouvelle–Calédonie\ Génie des matériaux, mécanique novembre 2001

4 points

E XERCICE 1 1.Résoudre l’équation différentielle suivante : (E)y ′′ 9y0. oùyest une fonction numérique de la variable réellexdeux fois dérivable sur R. 2.Déterminer la solution particulièrefde l’équation (E) qui vérifie : f(0)2 etf ′ ³ π 3 ´ 3 p 2. 3.Montrer que, pour tout réelx,f(x)2 cos µ 3x π 4 ? ¶ . 4. a.Résoudre sur l’intervalle [0 ; 2π[ l’équationf(x) −2. b.Représenter les solutions de cette équation sur le cercle trigonométrique.

E XERCICE  points2 5 Dans le plan complexe muni d’un repère orthonormal ³ O, − u → , − v → ´ d’unité gra- phique 2 cm, on considère les points A, B et C d’affixes respectivesz A ,z B etz C défi- nies par : z A 22i ;z B  −22i ;z C  −3i. où i désigne le nombre complexe de module 1 et d’argument π 2 . 1. a. -Déterminer le module et un argument de chacun des nombres com plexesz A ,z B etz C . b.Placer de façon précise les points A, B et C dans le repère ³ O,u −→ ,v −→ ´ . 2. a.Calculer | z A −z B | 2 , | z B −z C | 2 et | z A −z C | 2 , puis interpréter géométrique- ment les trois modules. b.En déduire la nature du triangle ABC. 3.On considère la rotation R de centre O et d’angle− π 3 . Pour tout pointMdu plan, on désigne parM ′ l’image deMpar la rotation R :M ′ R(M). Les affixes respectives deMetM ′ sont notéeszetz ′ . a.rExprimez ′ en fonction dez. b.Soit A ′ = R(A), Calculer sous forme exponentielle l’affixez A ′ du point A ′ . 4. a.Préciser le module et un argument dez A ′ . b.Déterminer la forme algébrique dez A ′ . c.Déduire des questionsa.etb.les valeurs exactes de cos ³ 1 π 2 ´ et sin ³ 1 π 2 ´ .

BaccalauréatSTIGéniedesmatériaux,mécGaénniqieuemécaniqueB,C,D,E-Géniedesmatériaux

P ROBLÈME

11 points

Partie A On considère la fonctiongdéfinie surRpar : g(x)(x−3)e −x −1. 1.étudier les variations deg. (On ne demande pas les limites en∞et en−∞. 2.Calculerg(4) et en déduire le signe degsurR. Partie B Soit la fonctionfdéfinie surRpar f(x)(2−x)e −x −x3. etCsa courbe représentative dans le plan muni d’un repère orthonormal ³ −→  −→ ´ d’unité graphique 2 cm. O,ı, 1.Calculer les limites de la fonctionfen∞et en−∞. 2. a.Calculer la dérivéef ′ de la fonctionf. b.Déduire à l’aide de lapartie Ales variations de la fonctionf. c.tableau des variations de la fonctionDresser le f. 3. a.Montrer que la droiteDndaqtui’oéy −x3 est asymptote à la courbe Cen∞. b.étudier, suivant les valeurs dex, la position deCpar rapport à la droite D. 4. a.Montrer que l’équationf(x)0 admet une solution uniqueα, apparte- nant à l’intervalle [2 ; 3]. b.Donner un encadrement deαd’amplitude 10 −1 . 5.Tracer la droiteDet la courbeCdans le plan muni du repère orthonormal ³ O,ı −→ , −→ ´ . 6.La fonctionhest définie surRparh(x)(2−x)e −x . Déterminer les réelsaetbpour que la fonctionHdéfinie parH(x)(a xb)e −x soit une primitive de la fonctionhsurR. 7.Soittun réel supérieur à 2. Déterminer, en fonction det, l’aireA(t) en cm 2 de la partie du plan comprise entre la courbeC, la droiteDet les droites d’équationx2 etxt. Déterminer limA(t). t→∞

Nouvelle–Caélodnei 11 novembre2001