Mathématiques 2003 S.T.I (Génie Optique) Baccalauréat technologique

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Examen du Secondaire Baccalauréat technologique. Sujet de Mathématiques 2003. Retrouvez le corrigé Mathématiques 2003 sur Bankexam.fr.

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• Publié le: 05 juin 2007
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Extrait

Baccalauréat STI Génie électronique

France juin 2003

E XERCICE 14 points 1. a.Dans l’ensemble des nombres complexesC, résoudre l’équation d’in connuez 2 z−8z+32=0. b.Écrire les solutions de cette équation sous forme exponentielle. π i 2.Soit le nombre complexe 4e. Donner sa forme algébrique. 3   −→−→ 3.O,Dans le plan complexe rapporté à un repère orthonormalu,vd’unité graphique 1 cm, on donne les points A, B et C d’affixes respectives :

z A =4+4iz B =4−4iz C =2+2i 3.   −→−→ a.O,Placer les points A, B et C dans le repèreu,v. b.Montrer que le triangle ABC est rectangle.

E XERCICE 25 points On considère un circuit électrique fermé comprenant un condensateur dont la capacité, exprimée en farads, a pour valeur C, une bobine dont l’inductance, expri mée en henrys, a pour valeur L et un interrupteur. Le tempstest exprimé en secondes. À l’instantt=0, on suppose le condensateur chargé, on ferme l’interrupteur et le condensateur se décharge dans le circuit. On appelleq(t) la valeur de la charge, exprimée en coulombs, du condensateur à l’ins tantt. On définit ainsi une fonctionq, deux fois dérivable sur l’intervalle [0 ;+ ∞[, dont la  dérivée première est notéeq. On admet que la fonctionqest solution de l’équation différentielle

1  (E) :y+y=0 LC  oùyest définie et deux fois dérivable sur [0 ;+ ∞[ et de dérivée secondey. −3−2 Dans tout l’exercice on prend C =1,25×L = 0,510 et×10 . 1. a.Montrer queqest alors solution de l’équation différentielle 5 (E) :y+1,6×10y=0. b.Résoudre l’équation différentielle (E). c.Déterminer la solution particulièreqde (E) vérifiant :

−3 q(0)=6×10 etq(0)=0. 2.On sait que la valeuri(t) de l’intensité, exprimée en ampères, du courant qui  parcourt le circuit à l’instanttvérifiei(t)= −q(t) . On définit ainsi une fonc tionisur l’intervalle [0 ;+ ∞[.

a.Vérifier que, pour touttappartenant à l’intervalle [0 ;+ ∞[

i(t)=2,4 sin(400t).

Baccalauréat STI Génie électronique, électrotechnique, optique

 π 400 400 b.Calculer :cos(800t) dt. π 0 c.On désigne par I e la valeur, exprimée en ampères, de l’intensité efficace dans le circuit. Son carré est donné par la formule :

P ROBLÈME

 π 400 400 2 2 I=i(t) dt. e π 0

1 2 2 Calculer I(on pourra utiliser la formule sina=(1−cos 2a), puis don e 2 −3 ner une valeur approchée de I e à 10près, sachant que I e est un nombre positif.

11 points

Partie A   −→−→ On donne, dans le plan muni d’un repère orthogonalO,ı,, d’unités gra phiques 3 cm sur l’axe des abscisses et 1 cm sur l’axe des ordonnées, la représenta tion graphique (C) d’une fonctiongdéfinie, dérivable et strictement croissante sur l’intervalle ]1 ;+ ∞[ ainsi que deux droites (T ) et (D). La droite (T) passe par les points de coordonnées respectives (2; 0) et (0;−3). La droite (D) a pour équation y=1. 3 (T) 2

1 −→ −→  ı 0 0 1 1

2

3

4

5

6

2

(D)

(C) 3 4

1. a.Déterminer graphiquementg(2). b.Sachant que la droite (T) est tangente à la courbe (C) au point d’abscisse  2, déterminer graphiquementg(2). c.On admet que la droite (D) est asymptote à la courbe (C). Déterminer graphiquement la limite deg(x) quandxtend vers+∞. d.Sachant que la courbe (C) coupe l’axe des abscisses en un seul point, étudier graphiquement le signe de la fonctiongsur l’intervalle ]1 ;+ ∞[.

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2.On définit les fonctionsg 1 ,g 2 etg 3 sur l’intervalle ]1 ;+ ∞[ par :

1 2 g 1 (x)=1−;g 2 (x)=1−;g 3 (x)=ln(x−1). 2 x−1x−x L’une d’elles est la fonctiongque l’on se propose d’identifier en utilisant les résultats de la première question.

a.Calculerg 1 (2),g 2 (2) etg 3 (2). Ces résultats permettentils d’éliminer une des trois fonctions? b.Calculer limg 1 (x) ;limg 2 (x) etlimg 3 (x). x→+∞x→+∞x→+∞ Quelle fonction peuton alors éliminer?   c.On notegetgles fonctions dérivées respectives deg 1 etg 2 . 1 2   Calculerg(2) etg(2) puis conclure. 1 2

Partie B Soitfla fonction définie sur l’intervalle ]1 ;+ ∞[ par

f(x)=x+1+2 lnx−2 ln(x−1). On note (C f ) la courbe représentative de la fonctionfdans le plan muni d’un   −→−→ repère orthogonalO,ı,d’unités graphiques 3 cm sur l’axe des abscisses et 1 cm sur l’axe des ordonnées. 1. a.Quelle propriété de la fonction logarithme népérien permet de prouver que, pour tout réelxappartenant à l’intervalle ]1 ;+ ∞[,   x f(x)=x+1+?2 ln x−1 b.Déterminer la limite defen 1. Que peuton en déduire pour la courbe (C f ) ? 2. a.Déterminer la limite defen+∞. b.Justifier que la droite (D) d’équationy=x+1 est asymptote oblique à la courbe (C f ). x c.Montrer que pour toutxde l’intervalle ]1 ;+ ∞[,>1. x−1   x Quel est alors le signe de lnpourxappartenant à ]1 ;+ ∞[ ? x−1 d.En déduire la position de la courbe (C f ) par rapport à la droite (D).  3. a.Déterminer la fonction dérivéefde la fonctionfet vérifier que, pour  toutxappartenant à l’intervalle ]1 ;+∞[,f(x)=g(x) oùgest la fonction trouvée dans lapartie A. b.À l’aide des résultats graphiques obtenus dans lapartie A, dresser le ta bleau de variations de la fonctionf.

Partie C 1.Montrer que, sur l’intervalle ]1 ;+ ∞[, la fonctionHdéfinie par

H(x)=xlnx−(x−1) ln(x−1)

est une primitive de la fonctionhdéfinie parh(x)=lnx−ln(x−1) sur cet intervalle.

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2. a.Sur la feuille annexe jointe, à rendre avec la copie, on a représenté la courbe (C f ). Sur cette figure, représenter la droite (D) et hachurer la partie du plan comprise entre la droite (D), la courbe (C f ) et les droites d’équationsx=2 etx=3. b.On désigne parAla valeur de l’aire, exprimée en unités d’aire, de la par tie du plan hachurée précédemment. Donner la valeur exacte deApuis −2 une valeur décimale approchée à 10près par excès.

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Annexe : représentation de la courbe (C f ) À rendre avec la copie

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