Pêche aux modules 1999-2000

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Pêche aux Modules 1999 – 2000 IG1
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LA PECHE AUX MOdULES
IG1 AVEC presque
TOUS LES CORRIGES
Edition 1999-2000
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Sommaire
UV Mathématiques
MA11 p 4
PS11 p 31
AD11 p 34
UV Gestion
EC11 p 42
GF11 p 45
DR11 p 48
UV Electronique
QCM p 50
SF11 p 53
UV Réseau
FA11 p 69
IT11 p 58
TI11 p 65
UV Signal
TS11 (premier contrôle)
TS11 (deuxième contrôle)
UV Informatique
IF11
IF12
AM11
© Adeline
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UV Mathématiques
Module : Mathématiques appliquées (MA11)
Durée : 1h30
Documents autorisés : Fascicules de cours
Sujet
Question 1
1. Soit a et b deux nombres réels, tels que a>1 et b>2. Calculer les intégrales suivantes en utilisant
le théorème des résidus :
2π Cos x( )
I = dx
∫a+Cos(x)
0
2π dx
J =
∫b+Cos(x)+Sin(x)
0
∗2. Soit α ∈][0,1 et n∈N . Calculer les intégrales
∞
−αI = x F (x)dx , k=1,2k k
∫
0
1 1
Où F (x) = et F (x) =1 22 n(x+1)(x +1) (x+1)
en utilisant le théorème des résidus et montrer que :
π α +( 1)
Sin( )
π 4I =1
απ απ2 2 Cos( )Cos( )
4 2
π
I = pour n=12 Sin πα( )
n−2
π 1
I = (α +k) pour n≥22 ∏
(n−1)!Sin(πα) k=0
Question 2
1. Soit E l’espace vectoriel des fonctions réelles de carré intégrable, muni du produit scalaire
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∞
f g = f x g x dx, ( ) ( )
∫
0
f x pour x( −1) > 1

On considère l’opérateur U défini par Uf x =( )( )

sinon0

2. Montrer que U est une isométrie.
3. Quel est l’adjoint U* de U ? Calculer l’opérateur U*U.
4. Soit V = UU*. Montrer que V est auto-adjoint et calculer V², puis V . Conclusion ?n
5. Calculer Vf = UU*f pour f ∈ E
Corrigé
Question 1
2π 2ππ2
Cos(x) a
1.I = dx = dx− dx
∫ ∫∫a+Cos(x) a+Cos(x)0 0 0
2π
Comme dx = 2π
∫
0
2π dx 2π
Et on voit p.62 du Tome 1 de Mathématiques appliquées que =
∫ 2a+Cos(x) a −10
a
On a donc I = 2π (1− )
2a −1
2π dx
J =
∫b+Cos(x)+Sin(x)
0
erC'est une intégrale de 1 type (p.61 du poly)
dzixDonc on pose z =e et on obtient J = −2i
∫ 2
−i z + bz+i+(1 ) 2 1
γ
2Les deux solutions de (1−i)z + 2bz +i+1 sont :
1 12 2z = (−b+ b − 2) et z = (−b− b − 2)1 21−i 1−i
Or z ∈γ et z ∉γ , on a donc1 2
1 2π
J = −2i2πiRes(f (z),z ) = 4π =1
2(1−i)(z −z )1 2 b − 2
∞
−αx
2. I = dx1
∫ 2(x+1)(x +1)0
C'est une intégrale de type 7 (poly p.85)
On a donc f (z)dz = 2iπ Resf
∑
∫
Γ
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−αx2iπαDonc e I iπ Res(1− ) = 2 ( )1 ∑ 2(x+1)(x +1)
f a 3 pôles simples
−iαπe
x = − → Res f − =1 ( , 1)
2
iαπ
− 2e
x =i → Res f i =( , )
2(i−1)
−3iαπ
2e
x = −i → Res f −i =( , )
− 2(i+1)
On obtient donc
−iαπ −3iαπ
2 2e e
−2iπα −iαπe I iπ e(1− ) = ( + − )1
i−1 i+1
donc
iπ απ απ
I = (1+Sin( )−Cos( ))1 iαπiαπ − 2 2e −e
ce qui après tout plein de simplifications donne
π (α +1)
Sin( )
π 4I =1
απ απ2 2 Cos( )Cos( )
4 2
∞
−αx
I = dx2
∫ nx+( 1)0
èmeC'est aussi une intégrale du 7 type, donc on refait pareil
f a 1 pôle d'ordre n
n−1 n n−21 d ((z+1) f (z) −1
−α−n+1
 x = −1 → Res(f ,−1) = = (α +k)(−1)
∏
 n−1 (n−1)! dz (n−1)! k=0
 z=−1
donc
2n−2iπ 1 n 1
α− +I = (−α −k)(−1)2 ∏
−2iπα(n−1)! e(1− ) k=0
(α−n+1)iπ 2n−2iπ e
I = (−α −k)2 ∏
−2iπα(n−1)! e(1− ) 0k=
(−n+1)iπ 2n−
π e
I = (−α −k)2 ∏(n−1)! Sinαπ k=0
n−2
π 1
I = (α +k) pour n ≥ 22 ∏(n−1)!Sinαπ k 0
=
π
I = pour n=12 Sin(πα)
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Question 2
2. Il faut montrer que Uf = f
Soit f ∈E
f (x − 1) pour x > 1

(Uf )( x ) =

0 sinon

∞∞
2 2 2f = f (x)dx = f (x−1)dx
∫∫
01
2 2
donc ∀f ∈E f = Uf
donc ∀f ∈E f = Uf
∞∞∞
∗3. Uf ,g = (Uf )(x)g(x)dx = f (x−1)g(x)dx = f (x)g(x+1)dx = f ,U g
∫∫∫
010
∗avec U défini de la manière suivante
∗
∀x ≥ 0, (U f )(x) = f (x+1)
∗
U (f (x−1)) si x ≥ 1
∗U (Uf )(x) =

∗U (0) si 0 ≤ x ≤ 1

∗Si x ≥ 1 U (f (x−1)) = f (x)
f = 1Si
[]− 1 ; 1
2rna r ≤a + A− aDonc ( Re( ))
∑ n 0 0R−r
∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗4. Comme (AB) = B A on a V = (UU ) = (U ) U =UU
donc V est autoadjoint
f x si x ≥
 ( ) 1
Vf (x) =

si ≤ x ≤0 0 1

f x si x≥
 ( ) 1
VVf (x)=

si ≤ x≤0 0 1

2donc V =V
ndonc V =V
Ainsi V étant continue (car U est une isométrie, donc U = 1), on a
V est une projection orthogonale sur V(E)
∗ 5. UU f = f (x) si x ≥ 0
d'où f x = sur[]( ) 0 0,1
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Ainsi l'ensemble des solutions est : {}f ∈E tq f (x)= 0, x∈[]0,1
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Module : Mathématiques appliquées (MA11)
Durée : 3h
Documents autorisés : Fascicules de cours
Sujet
Question 1 (/6)
+Soient R∈R , U = D(0,R) le disque de rayon R centré à l’origine,
∗
∞
nf (z) = a z
∑ n
n=0
holomorphe dans U, P=Re(f) et Q=Im(f).
∗1. Pour n N et r ]0,R[, établir :
∈
2π 2π1 iit −int it −inta = P re e dt = Q re e dt( ) ( )n n ∫ n ∫
πr πr0 0
2. Dans cette question, on suppose f R . Prouver que pour r ]0,R[ et z D(0,R), on a(0)∈ ∈ ∈
2π
−it1 r + zeitf z P re dt( ) = ( )
∫ −it2π r −ze0
3. Dans cette question, on suppose que 2a =1, R 1, P(z) 0 si |z|<1. Montrer que
≥ ≥0
∗
∀n∈N a ≤ 1n
Question bonus
4. Soient A∈R et r∈[0,R[. On suppose que P(z)≤ A, ∀z∈U . Prouver que
2rna r ≤ a + (A− Re(a ))
∑ n 0 0R−r
(On se ramènera au cas de la question 3. en utilisant α+βf(Rz)
Question 2 (/6)
1. Soit l’application f = 1
[]−1;1
ˆ1.a. Calculer sa transformée de Fourier, f . En déduire la valeur de l’intégrale
2
∞
Sin(t)
 I = dt
 2
∫ t
 
−∞
11.b. Déterminer une application g∈L telle que
2
Sin(t)
 gˆ(t) =
 
t
 
Déduire la valeur des intégrales :
3 4
∞ ∞Sin(t) Sin(t)
   I = dt et I = dt
   3 4
∫ ∫t t
   
−∞ −∞
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2. Soit un réel a>0 et l’application g R → R définie par g x = −ax: ( ) exp( )a a
2.a. Calculer sa transformée de Fourier, gˆa
2.b. En déduire la valeur de l’intégrale
∞ itxe
J x dt où x R( ) = , ∈a
∫ 2 2a +t
−∞
2.c. Déterminer les transformées de Fourier des applications et ϕ définies sur R par :h
1
h x et ϕ g g , où b>0( ) = = ∗a b25− 6x+ 9x
En déduire l’expression de ϕ x dans le cas où a ≠ b( )
∞ Sin(t)
−at3. Evaluer l’intégrale K = e dt , où a>0
∫ t
0
Question 3 (/4)
Soient p et q deux entiers positifs.
1. Montrer que l’on a
0 si p > q

( )p q q!x δ = si p ≤ qp (q−p)
 (−1) δ
 (q− p)!

2. En déduire la formule
q
(q) p p (p) (q−p)fδ = (−1) C f δ
∑ q
0p=
Où f est une fonction analytique à l’origine
3. Calculer
(Sin(x))δ ' et (Cos(x))δ '
Question 4 (/4)
Soit f la fonction définie sur []−π π par f x = Sh ax, ( ) ( )
Où a est un réel donné
1. Développer f en série de Fourier.
2. En déduire la somme de la série :
∞ 1
∑ 2 2a + (2n+1)n=0
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