1re COM Probabilités

Description

Niveau: Secondaire, Lycée, Première
1re COM : Probabilités Table desmatières I Vocabulaire . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1 I.1 Expérience aléatoire . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1 I.2 Univers et éventualités . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1 I.3 Intersection, réunion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1 I.4 Événement contraire . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2 II Cardinal d'un ensemble . . . .

• loi de probabilité sur ?


• propriété


• élève au hasard


• pièce de monnaie


• somme des probabilités des événements élémentaires


• probabilité


• appelés événements


• définition soit?

Sujets

• Première
• Mathématiques
• Propriété
• Pièce de monnaie
• Probabilité

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Extrait

re 1 COM: Probabilités Table des matières IVocabulaire. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .1 I.1 Expériencealéatoire. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .1 I.2 Universet éventualités1. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . I.3 Intersection,réunion1. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . I.4 Événementcontraire2. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . II Cardinald’un ensemble2. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . III Probabilités2. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . IV Propriétés3. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

I Vocabulaire I.1 Expériencealéatoire

Définition On appelle expérience aléatoire une expérience liée au hasard, dont on connaît les résultats, mais dont on ne sait pas à l’avance lequel de ces résultats va survenir.

Exemple : on lance une pièce de monnaie. On sait que l’on va obtenir Pile ou Face. Si l’on lance un dé, on va obtenir un entier entre 1 et 6.

I.et éventualités2 Univers

Définition Lors d’une expérience aléatoire, on appelle univers, notéΩ, l’ensemble des résultats possibles, que l’on appelle éventualités. Remarques •Les sousensembles deΩsont appelés événements. •Les événements formés par un seul élément sont des événements élémentaires. •Ωest l’événement certain. •L’ensemble vide,;, est l’événement impossible. Exemples On lance un dé et on note le résultat de la face supérieure. Ω=6}4 ;5 ;{1 ; 2 ;3 ;

« Obtenirun résultat pair » est un événement, constitué de trois éventualités.

« Obtenir un entier inférieur ou égal à 2 » est un événement élémentaire car il n’est constitué que de 2.

« Obtenirun multiple de 10 » est l’événement impossible.

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I.3 Intersection,réunion

Définition Soient deux événements A et B. •On note A∩B l’intersection de A et de B, constituée des éventualités appartenant à A et à B. •On note A∪B la réunion de A et de B, constituée des éventualités appartenant à A ou à B.

I.contraire4 Événement

Définition On appelle événement contraire de A, noté A, l’ensemble des éventualités deΩqui ne sont pas dans A. A et B sont incompatibles lorsque A∩B= ;?

II Cardinald’un ensemble

Définition On appelle cardinal d’un ensemble le nombre d’éléments de celuici.

re Exemple : le cardinal de l’ensemble 1COM est 35

Définition Soient deux ensemblesAetB. On appelleA∪B(A union B) l’ensemble des éléments appartenant à Aouà B (ou aux deux). On appelleA∩B(A union B) l’ensemble des éléments appartenant à Aetà B.

Propriété Card(A∪B)=Card(A)+Card(B)−Card(A∩B)

En effet, si on additionne le nombre d’éléments de A à celui de B, on compte deux fois ceux qui appartiennent aux deux ensembles, c’estàdire à leur intersection.

III Probabilités Lors d’une expérience aléatoire, on cherche à mesurer le nombre de chance d’arrivées de chaque éventua lité.

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Définition SoitΩ={a 1 ;a 2 ;∙ ∙ ∙a n } l’univers associé à une expérience aléatoire. On définit une loi de probabilité surΩen choisissant des nombresp 1 ,p 2 , .. .p n tous compris entre 0 et 1, tels quep 1 +p 2 + ∙ ∙ ∙ +p n =1. p i est la probabilité de l’événement élémentairea i . La probabilité d’un événement est la somme des probabilités des événements élémentaires qui le com posent. 1 Exemple : Pour un dé non truqué, on choisitcomme probabilité de chaque face. 6 1 1 11 La probabilité d’avoir un résultat pair est+ + =. 6 6 62 Définition On dit qu’on a équiprobabilité si tous les événements élémentaires ont la même probabilité.

Propriété Card(A) Si l’on est dans une situation d’équiprobabilité, la probabilité d’un événement A est :p(A)= Card(Ω) Exemple : une classe de 35 élèves comprend 20 filles. On choisit un élève au hasard et on note F l’événement « l’élève choisi est une fille ». 20 4 p(F)= =. 35 7

IV Propriétés

Propriétés •Pour tout événement A : 0Ép(A)É1 •p(Ω)=1 ;p(;)=0 •Pour deux événements A et B :p(A∪B)=p(A)+p(B)−p(A∩B) •Si A et sont incompatibles :p(A∪B)=p(A)+p(B). •p(A)=1−p(A)

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