Statistiques Activité page a La moyenne vaut Le mode est ou l'étendue est b Premier tableau par linéarité de la moyenne on trouve x

Description

Niveau: Secondaire, Lycée, Première
Statistiques Activité 1 page 38 a) La moyenne vaut : 18815 ≈ 12,53.Le mode est 13 ou 16 ; l'étendue est 9. b) Premier tableau : par linéarité de la moyenne, on trouve : x ≈ 13,53. Second tableau : x ≈ 2?12,53≈ 25,06 I Les indicateurs statistiques 1) Effectif Définition : L'effectif de la valeur d'un caractère est le nombre d'individus ayant cette valeur de caractère. 2) Fréquence Définition : La fréquence f d'une valeur d'un caractère est la proportion d'individus ayant cette valeur de caractère : f = nN , où n est l'effectif de la valeur du caractère et N l'effectif total. 3) Étendue Définition : L'étendue d'une série statistique est la différence entre les valeurs extrêmes du caractère. 4) Mode Définition : Le mode d'une série statistique est la valeur du caractère ayant l'effectif le plus grand. 5) Moyenne (pondérée) Définition : Soit une série statistiquedont les valeurs du caractère sont x1,x2, · · · ,xk et n1,n2, · · · ,ck effectifs associés. La moyenne de la série statistique, notée x¯, a pour valeur : x¯ = n1x1+n2x2+·· ·+nk xk n1+n2+·· ·+nk Conséquence : Lorsqu'on présente la série statistique en ne donnant que la liste des valeurs, alors lamoyenne est x1+x2+·· ·+xk k Page 1

• ·· ·


• séries statistiques


• précipitations supérieures au maximumde


• linéarité de la moyenne


• moyenne au contrôle d'histoire-géographie


• np x2p

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• Langue: Français

Extrait

Statistiques
Activité1page38
188
a) Lamoyennevaut: ≈12,53.
15
Lemodeest13ou16;l’étendueest9.
b) Premiertableau:parlinéaritédelamoyenne,ontrouve:x≈13,53.
Secondtableau:x≈2×12,53≈25,06
I Lesindicateursstatistiques
1) Effectif
Définition:
L’effectifdelavaleurd’uncaractèreestlenombred’individusayantcettevaleurdecaractère.
2) Fréquence
Définition:
Lafréquencefd’unevaleurd’uncaractèreestlaproportiond’individusayantcettevaleurdecaractère:
n
f = ,oùnestl’effectifdelavaleurducaractèreetN l’effectiftotal.
N
3) Étendue
Définition:
L’étendued’unesériestatistiqueestladifférenceentrelesvaleursextrêmesducaractère.
4) Mode
Définition:
Lemoded’unesériestatistiqueestlavaleurducaractèreayantl’effectifleplusgrand.
5) Moyenne(pondérée)
Définition:
Soitunesériestatistiquedontlesvaleursducaractèresontx ,x ,???,x etn ,n ,???,c effectifsassociés.1 2 k 1 2 k
Lamoyennedelasériestatistique,notéex¯,apourvaleur:
n x +n x +???+n x1 1 2 2 k k
x¯=
n +n +???+n1 2 k
Conséquence:Lorsqu’onprésentelasériestatistiqueennedonnantquelalistedesvaleurs,alorslamoyenne
est
x +x +???+x1 2 k
k
Page1Théorème:Sionappelle f lafréquencedelavaleurx ,alors:i i
Lali-
x¯= f x +f x +...+f x .1 1 2 2 k k
néaritédelamoyenne:
Théorème:
Soitkunnombreréel.Soitx ,x ,???,x lesvaleursducaractèred’unesériestatistiqueetx¯leurmoyenne.1 2 n
Alors:
•lamoyennedelasériekx ,kx ,???,kx estkx¯;1 2 n
•lamoyennedelasériex +k,x +k,???,x +k,???,x +k estx¯+k.1 2 i n
Exemples:
•Silamoyenneaucontrôledebiologiedansuneclasseestde8sur20etqueleprofesseurdécided’augmenter
touteslesnotesde10%,alorslanouvellemoyenneestde8,8.
•Silamoyenneaucontrôled’histoire-géographieestde8,7sur20etqueleprofesseurdécided’ajouter1pointà
touslesélèves,alorslanouvellemoyenneestde9,7.
6) Médiane
Définition:
Lamédianed’unesériestatistiqueestlenombretelque:
50 % au moins des individus ont une valeur du caractère inférieure ou égale à ce nombre et 50 % au
moinsdesindividusontunevaleursupérieureouégaleàcenombre.
Médianed’uncaractèrequantitatifdiscret
Onconsidèreunesériestatistiquedontlesvaleursducaractèresontrangéesparordrecroissant,chacunedeces
valeursfigurantunnombredefoiségalàsoneffectif.
•Silenombrededonnéesestimpair,doncdelaforme2n+1,lamédianeestletermedumilieu,c’est-à-direle
rangdetermen+1.
•Silenombrededonnéesestpair,doncdelaforme2n,lamédianeestlademi-sommedestermesderangsn et
n+1.
7) Quartiles
Définition:
Le premier quartiled’une série statistique,notéQ est la première valeur de la série, rangée par ordre1
croissant,telque25%desvaleursdelasériesoientinférieuresouégalesàQ .1
Letroisièmequartiled’unesériestatistique,notéQ estlapremièrevaleurdelasérie,rangéeparordre3
croissant,telque75%desvaleursdelasériesoientinférieuresouégalesàQ .3
n
Remarque:Q estlavaleurx delasériedontl’indicei estlepremierentiersupérieurouégalà (sin1 i
4
estl’effectifdelasérie).
3n
Q estlavaleurx delasériedontl’indicei estlepremierentiersupérieurouégalà (sin estl’effectif3 i
4
delasérie).
Page2II Diagrammeenboîte(oudiagrammedeTukeyouboîteàmoustaches)
LesdeuxquartilesQ ,Q ,lamédianeM d’unesériestatistique,associésauxvaleursextrêmes(minimumet1 3
maximum)permettentd’appréhendercertainescaractéristiquesdelarépartitiondesvaleurs.
Exemple:
Voici la série des températures (en degré Celcius) relevées sous abri à différents moments de la journée. Elles
sontclasséesparordrecroissant.
3;3,8;4,5;4,8;5;5,5;5,7;5,8;6,2;7;7,3;8,2;9;9,2;9,5;9,7
Lesvaleursextrêmessont3et9,7.
Lamédianevaut6(moyenneentre5,8et6,2).
LepremierquartileestQ =4,8;letroisièmequartileestQ =8,2.Lediagrammeenboîteestalors:1 3
Q Q1 3MMin Max
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
Lesdiagrammesenboîteserventàfairedescomparaisonsdedeuxsériesstatistiques.
Exemple:
LessériessuivantesdonnentlesprécipitationsmoyennesmensuellesenmillimètresàNiceetàParis:
J F M A M J J A S O N D
Nice 67 83 71 70 39 37 21 38 83 109 158 92
Paris 53 48 40 45 53 57 54 61 54 50 58 51
Poureffectuerlacomparaison,onvarangerchaquesérieparordrecroissant:
Nice:21;37;38;39;67;70;71;83;83;92;109;158
Paris40;45;48;50;51;53;53;54;54;57;58;61
PourNice,ona:Min=21;Max=158;Q =38;M =70,5etQ =831 1 3
PourParis,ona:Min=40;Max=61;Q =48;M =53etQ =541 1 3
Diagrammesenboîtes:
Paris
Nice
0 10 20 30 40 50 60 70 80 90 100 110 120 130 140 150
Les précipitations sont plus régulières tout au long de l’année à Paris (série moins dispersée). LA totalité des
valeursdelasériedesprécipitationsàParisest compriseentrelepremierquartileet lamédianedelasériedes
précipitationsàNice.
PourlavilledeNice,plusdelamoitiédesmoisontdesprécipitationssupérieuresaumaximumdeParis.
Page3III Variance;Écarttype
1) Variance
Considéronsdeuxgroupesd’élèves,l’undedixélèvesetl’autredehuitélèves;leursnotesdemathématiques
àuncontrôlesont:
Premièresérie:
notex 1 2 3 17 20i
effectifn 3 1 1 1 4i
Deuxièmesérie:
notex 8 10 11 12i
effectifn 1 2 4 1i
n x +???+n x 1051 1 5 5
Lamoyennedelapremièresérieest: = =10,5.
n +???+n 101 5
84
Lamoyennedeladeuxièmesérieest: =10,5.
8
Lesdeuxmoyennessontégales;pourtant,larépartitiondesnotesn’estpasdutoutlamême.
Ilfautdonctrouverunmoyendemesurerladispersiondesnombresautourdelamoyenne.
Unpremiermoyenestl’étendue,maiscen’estpastrèsfiable.
Nousallonsvoirundeuxièmemoyen,quiestl’écarttype.
Définition:
Soitunesériestatistiquedonnéeparletableau:
Valeurducaractère x x ??? x Total1 2 p
Effectif n n ??? n N1 2 p
n x +n x +???+n x1 1 2 2 P p
Lamoyennedecettesérieest:x= .
N
LavarianceestlenombreVdéfinipar:
2 2 2n (x −x) +n (x −x) +???+n (x −x)1 1 2 2 p p
V=
N
Vestdonclamoyennedescarrésdesécartsentrechaquevaleurx etlamoyenne.i
Autreformulationdelavariance:
2 2 2Pourchaqueindicei,ona:(x −x) =x −2x x+x .i ii
2Enremplaçantdanslecalculdelavariancechaque(x −x) parcequel’onvientdetrouver,onobtient:ih ³ ´i¡ ¢ ¡ ¢1 2 2 2 2 2 2V = n x −2x x+x +n x −2x x+x +???+n x −2x x+x1 1 2 2 p p1 2 pNh i1 2 2 2 2 2 2= n x +n x +???+n x −2n x x−2n x x−???−n x x+n x +n x +???+n x1 2 p 1 1 2 2 p p 1 2 p1 2 pN h i¡ ¢1 2 2 2 2= n x +n x +???+n x −2x(n x +n x +???+n x )+x n +n +???+n1 2 p 1 1 2 2 p p 1 2 p1 2 pN h i1 2 2 2 2= n x +n x +???+n x −2x×Nx+x N1 2 p1 2 p
N h i1 2 2 2 2= n x +n x +???+n x −Nx1 2 p1 2 pN
2 2 2n x +n x +???+n x1 2 p p1 2 2= −x .
N
donc:
2 2 2n x +n x +???+n x1 2 p p1 2 2V= −x
N
Page4Exemple:pourladeuxièmesériedenotes:
notex 8 10 11 12i
2x 64 100 121 144i
effectifn 1 2 4 1i
(1×64)+(2×100)+(4×121)+(1×144) 8922 2V = −10,5 = −10,5 =111,5−110,25=1,25.
8 8
2) Écarttype
Lavarianceesthomogèneauxcarrésdesvaleursdelasérie.Pouravoirunegrandeurhomogèneauxvaleursp
delasérie,ondéfinitl’écarttypedelasériepar:σ= V.
L’écarttypeestlaracinecarréedelavariance.
1905 2Exemple:pourlapremièresériedenotes,ona:V = −10,5 =80,25.
10p p
L’écarttypedelapremièresérieestσ= V = 80,25≈8,96.p
Celuideladeuxièmesérieestσ= 1,25≈1,118.
L’écart type de la première série est plus grand que celui de la deuxième série : les notes sont plus dispersées
danslepremiercasquedanslesecond.
oExercicesn 7;8et9page60
Page5IV Histogrammes
Rappel : unhistogrammeest unereprésentationgraphiquesousla formede rectangles,dontl’aire est pro-
portionnelleauxeffectifs.
Ilyadeuxcaspossibles:
• Si le pas est constant (largeur des rectangles identiques), les aires des rectangles sont proportionnelles aux
hauteursdesrectangles.
Exemple:BrevetPolynésiejuin2007
45
36
30
21
12
6
20à24ans 24à28ans 28à32ans 32à36ans 36à40ans 40à44ans
(a) Compléterletableauci-dessous
Âge 20?âge<24 24?âge<28 28?âge<32 32?âge<36 36?âge<40 40?âge<44 Total
Centredelaclasse 22
Effectifs
Fréquencesen %
(b) Quelestlepourcentagedesemployésquiontstrictementmoinsde36ans?
(c) Calculerl’âgemoyend’unemployédecetteentreprise.
• Silepasn’estpasconstant,leshauteursdesrectanglesnesontplusproportionnellesauxairesdeceux-ci.C’est
lecasquantlesdonnéessontrépartiesparclasses,avecdeslargeursd’intervallesdifférentes.
Exemple:
Considéronslarépartiiondesnotesde10