Correction: Métropole 21 juin 2017

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Correction: Métropole 21 juin 2017 Exercice 1 Partie A −x 1. hdéfinie sur[0 ;+ ∞[parh(x)=xe x x1 e On ah(x)= =lim =. Or+∞. Par quotient,limh(x)= 0 x x x→+∞xx→+∞ e e x −x−x−x 2. hcomme produit de 2 fonctions dérivables est dérivable eth '(x)=e−xe=(1−x)e On en déduit le tableau de variations. x0 1 +∞ h '(x)+ 0 – 1 h(x) e 0 0 −x−x−x−x 3. a.On a:e−h '(x)=e−(1−x)e=e(1−1+x)=h(x)pour toutx −x−x b. x ea pour primitivex −e −x c.Commeh(x)=e−h '(x), une primitive H dehest la différence des primitives dex et deh ' −x−x SoitH(x)=−e−h(x)=(−x−1)e Partie B 1. a.On a clairementf(x)>g(x)pour toutxet la différencef(x)−g(x)est égale à MN −x d’où MN=xe=h(x) 1 Orhenadmet son maximumx=1 d’aprèsla partie A. e b.Voir annexe 2. a.Voir annexe λ λλ −λ−0 ∫ ∫∫ −( )=(− −)−(−) b.On aAλ=f(x)dx−g(x)dx=h(x)dx=H(λ)H 0ee 1λ 1 0 00 λ+1 oitA sλ=1− λ e λ+1 λ 1λ 1 c.On a= +. Pour des raisons déjà évoquées,lim=0 etlim=0. λ λλλ λ e eee e λ→+∞λ→+∞ Par somme,lim A=1 λ λ→+∞ L’aire délimitée par les deux courbesCetCest égale à 1. f g 3. a.On fait “tourner” l’algorithme et on obtient λ=3 2+1 3+1 En effet1− 0.8 2 3 e e b.Cet algorithme donne le premier entier λ pour lequelAdépasse une valeurSdonnée. λ Exercice 2 2 1.SoitPle plan d’équation cartésienne :2x−z−3=0et A(1;a;a) −x e 2 2 ∉ Si on fait:2xA−zA−3=2−a−3=−1−a ≠0ceci pour touta. Donc AP 2 2. a.

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• Publié le: 21 juin 2017
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Extrait

Correction: Métropole 21 juin 2017

Exercice 1
Partie A
−x
1. hdéfinie sur[0 ;+ ∞[parh(x)=xe
x
x1 e
On ah(x)= =lim =. Or+∞. Par quotient,limh(x)= 0
x x
x→+∞xx→+∞
e e
x

−x−x−x
2. hcomme produit de 2 fonctions dérivables est dérivable eth '(x)=e−xe=(1−x)e
On en déduit le tableau de variations.
x0 1 +∞
h '(x)+ 0 –
1
h(x)
e
0 0

−x−x−x−x
3. a.On a:e−h '(x)=e−(1−x)e=e(1−1+x)=h(x)pour toutx
−x−x
b. x ea pour primitivex −e
−x
c.Commeh(x)=e−h '(x), une primitive H dehest la différence des primitives dex
et deh '
−x−x
SoitH(x)=−e−h(x)=(−x−1)e

Partie B
1. a.On a clairementf(x)>g(x)pour toutxet la différencef(x)−g(x)est égale à MN
−x
d’où MN=xe=h(x)
1
Orhenadmet son maximumx=1 d’aprèsla partie A.
e
b.Voir annexe

2. a.Voir annexe
λ λλ
−λ−0
∫ ∫∫
−( )=(− −)−(−)
b.On aAλ=f(x)dx−g(x)dx=h(x)dx=H(λ)H 0ee 1λ 1
0 00
λ+1
oitA
sλ=1−
λ
e
λ+1 λ 1λ 1
c.On a= +. Pour des raisons déjà évoquées,lim=0 etlim=0.
λ λλλ λ
e eee e
λ→+∞λ→+∞
Par somme,lim A=1
λ
λ→+∞
L’aire délimitée par les deux courbesCetCest égale à 1.
f g

3. a.On fait “tourner” l’algorithme et on obtient λ=3
2+1 3+1
En effet1− <0.8 et 1− >0.8
2 3
e e
b.Cet algorithme donne le premier entier λ pour lequelAdépasse une valeurSdonnée.
λ

Exercice 2
2
1.SoitPle plan d’équation cartésienne :2x−z−3=0et A(1;a;a)

−x
e

2 2
∉
Si on fait:2xA−zA−3=2−a−3=−1−a ≠0ceci pour touta. Donc AP
2
2. a.Le planPa pour vecteur normal:⃗n 0qui est un vecteur directeur deD
( )
−1
x=1+2t
Donc D apour équation paramétrique:y=a t∈ℝ
{
2
z=a−t

2 222 2 2
y−y) +(z−z4t+(−t) =5t
b. AM=√(x−x) +(M AM A)=√√
M A

3.HOn cherche les coordonnées du point=P∩D
2
2a+1
Dans l’équation de P, le pointH(x;y;z): 2(1+2t)−(a−t)−3=0 soitt= >0
H H H
5
2
Or AM minimaleéquivaut à AM² minimale soit5tminimal.
2 2
Ceci équivaut à(a+1)minimale. On minimise cette quantité poura=0 .

Exercice 3
Partie A
π π
1.etLe point P est situé entre 40 et 60 km de l’origine et l’angle est entre
4 2
Proposition C
2.
π
−i
3
a. z=Le point appartient au secteur70 eG 4
2
2
| |
b.z=−45√3+. On a45 iz=√(45√3) +45=90
5 π
i
√3 16
doncz=90− +i=90 e
( )
2 2
Le point appartient donc au secteur D5

Partie B
1. P(M<0)=P(M<μ−10 σ)=0La probabilité est nulle bien entendu d’avoir une distance
négative!
2. P(M∈]40; 60[)=P(μ−2σ<M<μ+2 σ)≈ 0.954
π ππ π
3.On aP(P∈B 3)=P(40<M<60)∩<T<= P(40<M<60)×P<T<(par
(
(4 2))(4 2)
indépendance des variables aléatoires.
Donc P(P∩B3) ≈0.954×0.819≈0.781

Exercice 4
Partie A

1

.

2. P(I)=P(M∩I)+P(S∩I)+P(I∩I)= 0.85×0.10+0.05×0.35+0.10×1 =0.2025
2 12 12 12
P(M∩I ₂)
10.05×0.35
3.On chercheP(M)= = ≈0.864
I21
P(I)0.2025
2

Partie B
1.On a, en semainen, P(Ω)=1etΩ=S∪M∪I, les 3 événements étant incompatibles
n nn
Donc P(S)+P(M)+P(I)=à1 équivautu+v+w=1 pourtoutn
n nn nn n
2. a.Dans la cellule C3, on a la valeur et le calcul dev=0.65v+0.05u
1 00
Dans C3, on rentre donc: =0.65 C 2+0.05 B 2
b.Par simple lecture du tableau, la valeur maximale de la colonne C est à la sixième ligne soit N=4

)× ()
3. a.On au=P(S)= P(S+P S= 0.85u
n+1n+1Snn1n n
(un) est donc géométrique de raison 0.85 et de 1er termeu=1
0
n
doncu=0.85
n
1n n
b.SoitPl’égalité:v= (0.85−0.65)pour tout entiern
nn
4
10 0
On initialise le raisonnement:v=on a bien0 et(0.85−0.65)=est vraie0 donc P
0 0
4
1n n
(0.8
On suppose pour un certainn Pvraie,vn=5−0.65)
n
4
1n nn
=0.65v+0.05u=0.65(0.85−0.6
Orvn+1n n5) +0.05×0.85
(4)
n0.65 1n+1n0.85 1n+11n+1n+1
+ −− )− (
soitv+=0.650.85 0.050.85 0.650.65 == 0.85
n1
(4)4(4)4 4
On amontré l’hérédité, et donc d’après l’axiome de récurrence,P estvraie pour toutn
n

4. limu=0car la raison de (un)est égale à 0.85
n
n→+∞
D’après l’égalitéP, (vn) est une somme de 2 suites géométriques de raisons respectives 0.85 et
n
0.65 (de limite nulle chacune)
Par somme ,limv=0
n
n→+∞
De plusw=1−u−v; par somme des limiteslimw=1
n nn n
n→+∞
A long terme, la totalité des personnes de cette population est immunisée contre cette maladie.

Exercice 4 (spécialité)
Partie A
2 222 2
1.(x;y)définit un TRPI ssix+(x+1) =y soity=2x+2x+1
2
2. y=√2x+2x+1est une fonction croissante dexcomme composée de 2 fonctions croissantes
et en testant les premières valeurs dexentières, on constate que le couple (3;5) donne le TRPI
ayant les plus petits côtés non-nuls.
xy
1√5
2√13
3 5
3.

2 22
a.Sinpair:n=2k,k ∈ ℕalorsn=4k=2×2ket doncn² est pair
Par contraposée, si n² impair alors n est impair.
2 22
b.Si(x;y)définit un TRPI alorsy=2x+2x+1=2(x+x)+1
2
On en déduit queyest impair et donc d’après la question précédente queyest impair.
4. Soitkun diviseur commun àxety
222 2
Alorskdivise égalementxetyetkdivisey−2x−2x=1
Donckvaut 1 (ou -1) ce qui signifie quexetysont premiers entre eux.
Ou par le théorème de Bezout, on a: 1=y×y+x(2x+1)(ce qui implique quexetysont
premiers entre eux)

Partie B
x '3 2x1x '=3x+2y+1
1.= +soitOn a
( )( )( )(
y '4 3y2){y '=4x+3y+2
2. a.
2 22 22 2
y '−2x '(x '+1)=(4x+3y+2) −2(3x+2y+1)(3x+2y+2)=16x+24xy+16x+9y+12y+4−2(9x+12xy+9x+4y+6y+2)
2 22 2
soity '−2x '(x '+1)=−2x−2x+y=y−2x(x+1)
2 22 2
b.Si(x;y)définit un TRPI , alorsy=2x+2x+1 soity−2x−2x=qui implique que1 ce
2 22
y '−2x '(x '+1)=1 soity '=2x '+2x '+1 donc(x ';y ')définit un TRPI

3.SoitPla proposition(x;y)définit un TRPI
nn n
(x;y)=(3 ; 5)vraieP estdéfinit bien un TRPI d’après la question 2. don
0 00
SupposonsPvraie pour un certainn
n
x+x
n1n
(x;y)
Comme =A+B alors le couplen+1n+définit bien aussi un TRPI d’apès la
(
1
1(y)
yn+)
n
question B.2.b.
Donc Pn+est vraie et donc d’après l’axiome de récurrencePest vraie pour toutn
1n
4.A la calculatrice,
n3 40 1 2
x
n119 69640593 20
yn169 9855 295741
Le couple(4059 ; 5741)convient.

Annexe