Algèbre I - Cours d'alg`ebre linéaire MIAS1, premier semestre

Description

Algèbre I - Cours d'alg`ebre linéaire MIAS1, premier semestre

Sujets

• cours

Informations

• Publié par: eqaloxoq
• Nombre de lectures: 108
• Langue: Français

Extrait

Cours

d’algebre

MIAS1, premier

lineaire

semestre

RaphaelDanchin

Annee

2003-2004

Tabledesmatieres

Structures usuelles 5 1 Les nombres complexes 9 1.1 Construction des nombres complexes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9 1.1.1 Motivations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9 1.1.2Denitiond’uneloidansR 2 . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . .  9 1.1.3Denitiond’uneloidansR 2  10. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.1.4 Notations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10 1.2ProprietesdeC 11. . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.2.1Proprietesalgebriques.............................11 1.2.2Representationpolaire.............................12 1.2.3Formulesdetrigonometrie...........................15 1.2.4 Racinesn....71edemi-.e......leu’int................ 1.3Resolutiond’equationsduseconddegre.......................18 1.3.1Racinecarreed’unnombrecomplexe.....................18 1.3.2Resolutiond’equationsduseconddegredanslecasgeneral........20 2 Systemes lineaires 21 2.1Quelquesexempleselementaires............................21 2.2Denitions........................................22 2.3 Matrice associee a un systeme lineaire . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 2.4Resolutiondessystemesechelonnes..........................25 2.4.1Systemestriangulairesadiagonalenonnulle.................25 2.4.2Systemesechelonnes..............................26 2.5 Methode du pivot de Gauss . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 2.6Structuredel’ensembledessolutionsd’unsystemelineaire.............29 2.6.1 Un exemple . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 2.6.2Casdessystemeshomogenes.........................30 2.6.3Casgeneral...................................31 3 Familles de vecteurs 33 3.1 Vecteurs deK n . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .  33. . . . . . . . . . 3.2 Familles de vecteurs . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34 3.2.1Combinaisonslineaires.............................34 3.2.2Famillesgeneratrices..............................35 3.2.3Familleslibresetfamillesliees........................36 3.2.4 Bases . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38 3.3 Rang et dimension . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39 3.3.1 Dimension d’un sous-espace vectoriel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39 3.3.2 Rang d’une famille de vecteurs . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42 3



3.3.3 Rang d’une matrice . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.3.4 Calcul pratique du rang d’une famille de vecteurs . . . . . . . . . . . . . .

4Determinants 4.1Denitiondudeterminant............................... 4.2Proprieteselementairesdudeterminant....................... 4.3CalculdudeterminantparpivotdeGauss...................... 4.4DeveloppementdeLaplace............................... 4.5Ledeterminantetlerang............................... 4.6Resolutiond’unsystemelineaireparlamethodedeCramer............

5Polynoˆmes 5.1L’ensembledespolynˆomesauneindeterminee.................... 5.1.1Denitions................................... 5.1.2OperationssurK[X] . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5.1.3ProprietesalgebriquesdeK[X] .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5.2Divisiondespolynˆomes................................ 5.3 PGCD et PPCM . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5.3.1 PGCD . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5.3.2 L’algorithme d’Euclide . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5.3.3 PPCM . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5.3.4Polynˆomesirreductibles............................ 5.4 Fonctions polynomes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ˆ 5.4.1Denitiondesfonctionspolynomes...................... ˆ 5.4.2 Racines . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5.4.3Polynoˆmesderives............................... 5.5Polˆcides................................... ynomes s n 5.5.1Letheoremefondamentaldel’algebre.................... 5.5.2PolynˆomesirreductiblesdeC[X] . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5.5.3PolynoˆmesirreductiblesdeR[X] .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

Bibliographie

42 43

45 45 47 50 51 55 57

59 59 59 60 61 62 64 64 66 67 69 70 70 71 72 73 73 74 74

77

Structures usuelles

AucoursdevosdeuxanneesdeMIAS,vousallezdecouvrirdiversdomainesdesmathema- tiquesqui,dumoinsenapparence,n’ontpastoujoursdeliensevidentsentreeux.Certainesdes loisquiregissentlesobjetsconsideres,pourtant,ontuncaractereuniversel.Ainsi,desnotions comme celles de lois internes, groupes, anneaux, corps, espaces vectoriels vont apparaˆtre a maintesreprises.Leurcaractere“unicateur”expliquel’importancequ’onleuraccorde.Lejeu consistantalesidentierestalafois“rassurant”etpratiquepuisquel’onpeutdeslorsmanipuler des objets mathematiques sans trop se soucier de leur nature profonde... Danscettesectionpreliminaire,nouspresentonsbrievementquelques-unesdesnotionsqui reviendrontfrequemmentdanscecoursd’algebredupremiersemestre. Lois internes Denition 0.0.1SoitEun ensemble non vide. Une loi interneTsurEest une application de EEversEqui a tout couple(a, b)deEEmentelesaicosnuecdeEnotea T b. Remarque :tevieurreaiefrdorpparnuttnemehcoPnietnrseescdisloeuctverartefudehporitaˆ bien connues (on en verra des exemples par la suite), on noteTune loi interne “abstraite”. Le symboleTest traditionnellement appele “truc”. Pouravoirunintereˆtpratique,uneloiinternedoitavoirdesproprietessupplementaires.Les plus courantes sont les suivantes : Associativite :On dit que la loi interneTestassociativesi ∀(a, b, c)∈EEE,(a T b)T c=a T( cb T). Commutativite:On dit que la loi interneTestcommutativesi ∀(a, b)∈EE, a T b=b T a.  Elementneutre:On dit quee∈EeestelmenentuertdeTsi ∀a∈E, a T e=e T a=a. Remarque :e’Lese,stxile’iqursol,ertuentnemelites,nEeuq.eutineete 0 sont neutres pourTalors on ae= ee T 0 =e 0 . Inverse :Supposons queTmentneuttunelerieaetnemeldiOn.el’uetqadeEa pour inverse(ousymetrique)l’elementbdeEsi a T b= ab T=e. Proposition 0.0.2Si la loiTictavieeatnuelmenentuertesetassoealors l’inverse, s’il existe, est unique.

   

5

Preuve :Soita∈Eadmettant pour inversesbetb 0 . On a donc e= ba T=a T b 0 .



Donc b T(a T b) =b T(a T b 0 ). Parassociativite,onadonc 0 (b T a)T b= (b T a)T b . Mais ab T=edonc la relation ci-dessus donne bienb=b 0 . Exemples : 1. L’addition dansNretniiolicossaentceeivattitamuomatopeve,lmerueeutrentneseenut 0. DansN, seul 0 a un inverse pour la loi +. En revanche dansZt,uotelementna un inverse : c’est   n. 2. La multiplication dansNouZociatassesitevumatc,moiteveelntmeapetroutuen.1er LorsqueEpossededeuxlois internesTet la, on peut denir notion dedistributivite. Denition 0.0.3On dit queest distributive par rapport aTsi ∀(a, b, c)∈EEE, a(b T c) = (ab)T(ac). Exemple :DansN,Z,QouR, la multiplication est distributive par rapport a l’addition.

Groupes et sous-groupes Denition 0.0.4SoitGun ensemble non vide muni d’une loi interneT. On dit que(G, T)estun groupesiTociativeestasselenuedessop,sietreutnentme tout element deGest inversible. Si de plus la loiTest commutative alors(G, T)estappele groupe commutatifou encoregroupe abelien. Denition 0.0.5Soit(G, T)un groupe etHun sous-ensemble non vide deG. Si(H, T)est lui-mˆemeungroupe,onditque(H, T)estun sous-groupede(G, T). Remarque :Montrer que (H, T) est un sous-groupe de (G, Tqr)euentrevirieavee∈H, que Hest stable parT(i.e pour tout (a, b)∈H 2 alorsa T b∈Htleeemtned)etquetouHa son inverse dansH. Exemple :(Z,est un groupe et l’ensemble des entiers relatifs pairs 2+) Zmuni de la loi + est un sous-groupe de (Z,+). En revanche, (N,+) n’est pas un groupe (pourquoi ?)

Anneaux Denition 0.0.6SoitAun ensemble non vide muni de deux lois internesTet. On dit que (A, T ,)est unanneaus:sseliconditionssuivanetssnovteiree i) (A,T) est un groupe commutatif, ii) La lointmeeel,reutneestassocaiitevtedaemutn iii) La loiest distributive par rapport aT. Si de plus la loiest commutative, on dit que(A, T ,)est un anneau commutatif. Exemple :(Z,+,) est un anneau commutatif.

Corps



Denition 0.0.7Soit(K, T ,)un anneau. On dit que(K, T ,)est uncorpssi tout deKcnitledtle’emenentreuturpololaidsiTa un inverse pour la loi. Si de plus la loiest commutative, on dit que(A, T ,)est un corps commutatif.

Exemple :(Z,+, multiplication). En



) n’est revanche

pas un (Q,+,

corps (car ) et (R,+,



seuls 1 ) sont

et 1 ont des corps.

un

inverse

dans

Z



element

pour

la