CHAMPS DE SCALAIRES ET DE VECTEURS

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Description

• cours - matière potentielle : du temps

CHAMPS DE SCALAIRES ET DE VECTEURS 1. LES SYSTÈMES DE COORDONNÉES 1.1 Coordonnées cartésiennes y x z M m O x y z dy dz dx xe ye ze M ′ Dans le repère orthonormé direct ),,,( zyx eeeO rrr , le vecteur position s'écrit : == → OMrr zyx ezeyex rrr ++ , où x (abscisse), y (ordonnée) et z (cote) sont les coordonnées cartésiennes du point M. Déplacement élémentaire du point passant de M à M′ infiniment voisin : • si x varie de dx, le point matériel se déplace de dx selon le vecteur xe r ; • si y varie de

• dz selon le vecteur ze
• double produit vectoriel
• →
• ϕe ϕe
• baba baba
• θd θdr θd
• dddd dpdp zyxvv
• ϕθdsinr θd
• vecteur position
• vecteurs position
• champs
• champ

Sujets

• Déplacement
• Vecteur
• Produit
• Opérateur
• Physique

Informations

• Publié par: nuthang
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• Langue: Français

Extrait

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CHAMPS DE SCALAIRES ET DE VECTEURS
1. LES SYSTÈMES DE COORDONNÉES
1.1 Coordonnées cartésiennes
z
dzz M
M
dx
ez dy
ey y
O y
x
m
ex
x
r r r
Dans le repère orthonormé direct (O,e ,e ,e ), le vecteur position s’écrit : x y z
r r r r
r = OM = xe + ye + ze , où x (abscisse), y (ordonnée) et z (cote) sont les coordonnées x y z
cartésiennes du point M.

Déplacement élémentaire du point passant de M à M infiniment voisin :
r
• si x varie de dx, le point matériel se déplace de dx selon le vecteur e ; x
r
• si y varie de dy, le point matériel se déplace de dy selon le vecteur e : y
r
• si z varie de dz, le point matériel se déplace de dz selon le vecteur e . z
Sous l’effet d’une variation infinitésimale dx, dy, dz de ses coordonnées x, y, z, le vecteur position
r r r r
dr = dxe + dye + dzevarie de x y z

Le parallélépipède représenté sur la figure ci-dessus permet de calculer l’élément différentiel de
3d V = dxdydzvolume en coordonnées cartésiennes : . Le volume d’un domaine compact (D) de
3l’espace est donc : V = d V = dxdydz ∫∫∫ ∫∫∫
P (D) P (D)
3On balaie l’espace entier en prenant (x,y,z) R




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1.2 Coordonnées cylindriques
rd
z M
d
dz
z
M dr
ez
O y
d e
r m er
x
r r r
On projette les différents vecteurs dans une base mobile orthonormée directe (e ,e ,e ) attachée r z
au point M, définie de la manière suivante :
r Om
Si m est le projeté orthogonal de M sur le plan xOy, e (vecteur radial) = avec r = Om . r
r
r r r r
est l’angle orienté (e ,e ) dans le plan xOy, e (vecteur orthoradial) se déduit alors de e d’une x r r
r
rotation de + autour de Oz. e complète le trièdre direct. z
2
r r r
r (rayon polaire), (angle polaire) et z (cote) sont les coordonnées dans la base (e ,e ,e ) du point r z
M.
r r r
Le vecteur position s’écrit donc r = OM = re + ze (attention : r n’est pas ici la norme du vecteur r z
position).

Déplacement élémentaire du point passant de M à M infiniment voisin :
r
• si r varie de dr, le point matériel se déplace de dr selon le vecteur e ; r
r
• si varie de d , le point matériel se déplace de rd selon le vecteur e ;
r
• si z varie de dz, le point matériel se déplace de dz selon le vecteur e . z
remarque : d étant infiniment petit, l’arc de cercle de longueur rd se confond en fait avec un
segment rectiligne.
Sous l’effet d’une variation infinitésimale dr, d , dz de ses coordonnées r, , z, le vecteur position
r r r r
dr = dre + rdθe + dzevarie de r z

Le parallélépipède représenté sur la figure ci-dessus permet de calculer l’élément différentiel de
3d V = rdrd dzvolume en coordonnées cylindriques : . Le volume d’un domaine compact (D) de
3l’espace est donc : V = d V = r dr dθdz ∫∫∫ ∫∫∫
P (D) P (D)
On balaie l’espace entier en prenant r [0,+¥ [ , [0,2 ], z R
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1.3 Coordonnées sphériques
z
z
er
H ere
M
r eMHr
e
O y e
m
O m
x

r r r
On projette les différents vecteurs dans une base mobile orthonormée directe (e ,e ,e ) attachée r
r rOM
au point M, définie de la manière suivante : e (vecteur radial) = avec r = OM = r . est r
r
r r r r r
l’angle orienté (e ,e ) dans le plan (O,e ,e ), e (vecteur orthoradial) est alors un vecteur du plan z r z r
r r r r
vectoriel (e ,e ) se déduisant de e d’une rotation de + . e complète le trièdre direct. C’est un z r r
2r r r
vecteur du plan vectoriel (e ,e ) car il est orthogonal à e . x y z
r r r
r (rayon), (colatitude) et (azimut) sont les coordonnées dans la base (e ,e ,e ) du point M. r z
r r r
Pour visualiser les directions de e et e , on peut tracer la sphère de centre O et de rayon r. e est
r
alors porté par un méridien et e par un parallèle. Ces références au repérage d’un point à la
surface de la Terre sont précisément à l’origine du nom colatitude porté par l’angle (la latitude est
r
l’angle ( Om ,e ), on a donc = + , comme on peut le voir sur la figure représentant le plan r
2
méridien.
r r
Le vecteur position s’écrit donc r = OM = re (r est bien ici la norme du vecteur position). r
z
r sin d
eDéplacement élémentaire du point passant de M à dr r
M infiniment voisin :
Md• si r varie de dr, le point matériel se déplace Mr er sinde dr selon le vecteur e ; r
r d• si varie de d , le point matériel se déplace r
ede rd selon le vecteur e ; O y
e
m
rd
x
m
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r
• si varie de d , le point matériel se déplace de rsin d selon le vecteur e .
Sous l’effet d’une variation infinitésimale dr, d , d de ses coordonnées r, , , le vecteur position
r r r r
dr = dre + r dθe + r sinθd evarie de r

Le parallélépipède représenté sur la figure ci-dessus permet de calculer l’élément différentiel de
3 2
d V = r sin drd dvolume en coordonnées sphériques : . Le volume d’un domaine compact (D)
3 2
de l’espace est donc : V = d V = r sin dr dθd ∫∫∫ ∫∫∫
P (D) P (D)
3
d V étant positif, on balaie l’espace entier en prenant r [0,+¥ [ , [0, ], [0,2 ]
2. DÉFINITIONS DES CHAMPS ET OPÉRATIONS
2.1 Définitions
Un champ de scalaires (par exemple un champ de températures) est défini en un point M et à un
instant donné t par :
V V
4 4
R R R R, soit, en coordonnées cartésiennes :
(M,t)a V(M,t) (x,y,z,t)a V(x,y,z,t)
Un champ de vecteurs (par exemple un champ de forces) est défini par :
r r
A A
4 3 4 3R R R R, soit, en coordonnées cartésiennes :
r r
(M,t)a A(M,t) (x,y,z,t)a A(x,y,z,t)
Ces champs peuvent n’être définis que dans un domaine restreint de l’espace.

Un champ est uniforme s’il est indépendant du point M, ce que l’on peut noter selon le type de
r
rV A
champs = 0 ou = 0 . Par exemple en coordonnées cartésiennes, on a pour un champ
M M
A x 
x r r r r
r  AV V V A A A A y
uniforme = = = 0 ou = = = 0 avec =  
x y z x y z x x 
 A z
 
x 
On peut représenter en quelques points un champ vectoriel uniforme à deux instants différents :
t t1 2
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Un champ est stationnaire (ou permanent) s’il garde la même valeur en un point M donné au cours
 A x 
t r r
r  AV A A y
du temps, soit =