Correction - Théorème 1 : Preuve

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Correction - Théorème 1 : Preuve

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• Publié par: isybokom
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Extrait

Chapitre 8

Exercice 1. ROC Démontrer le théorème suivant :

wickymath.fr.nf

◦ Correction de l’interrogation n18

Théorème 1: Soit (u n ) une suite arithmétique de raisonr, alorsu n =u 0 +nr

Suites

Preuve (u n ) étant une suite arithmétique, on a :u 1 =u 0 +r, puisu 2 =u 1 +r(=u 0 + 2r), et ainsi de proche en proche on a :

u 1 =u 0 +r u 2 =u 1 +r . . . . . . u n−1 =u n−2 +r u n =u n−1 +r

En additionnant membre à membre cesnégalités, on obtient :

u 1 +u 2 +∙ ∙ ∙+u n =u 0 +u 1 +∙ ∙ ∙+u n−1 +nr⇐⇒u n =u 0 +nr

Exercice 2.On considère la suite (u n ) définie par la relation de récurrence suivante : ( n u 0 4 = 2 n+ (−1) etv n = 2 u n+1 =u n +n−n+ 1 n 2 2 1.u 1 =u 0 + 0−0 + 1 = 3,u 2 =u 1 + 1−1 + 1 = 4 50 4×50 + (−1) 201 v 50 = = 50 50 2 2 2. Commeu n+1 −u n =n−n+ 1,on étudie le signe den−noù+ 1nest un entier naturel 2 2 Δ =b−4ac= 1−4<0, par conséquentn−n+ 1>0,∀n∈Net doncu n+1 −u n >0 pour tout n∈N, ce qui prouve que la suite (u n ) est croissante surN 3. Ona, pour toutn∈N: 4n−1 4n+ 1 < v n < n n 4n−1 4n−1 4n Or lim= lim= lim= lim4 = 4, par conséquent d’après le théorème n nn n→+∞n→+∞n→+∞n→+∞ des gendarmes : limv n = 4 n→+∞ La suite (v n ) converge donc vers 4

Exercice 3.? (Justifier). Si oui donner la raison.Les suites suivantes sontelles arithmétiques

D.Zancanaro, Lycée J.Durand, 1S/ 20092010

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