Couplage oscillateur

Description

Document relatif au chapitre de physique de prépa portant sur les oscillateurs couplés

Informations

• Publié par: lmp
• Nombre de lectures: 573
• Langue: Français

Extrait

Retour au menu

Systèmes couplés

Le plus simple des systèmes couplés est formé m1 m2 par deux masses m 1 et m 2 pouvant glisser sans k1 k1 k2 frottement sur un plan horizontal et par deux ressorts de raideur k 1 . Les deux masses sont également reliées par un ressort de raideur k 2 . On négligera les masses des ressorts. Les xa x1 x2 abscisses des positions d’équilibre des masses sont x A  etx B . Les déplacements des masses xb sont x 1 et x 2 . Le mouvement des deux masses est décrit par le système d’équations linéaires suivant : d²x kk 1 12 = x ( xx ) 1 12 dt² mm 1 1 d²x kk 2 12 = x ( xx ) 2 21 dt² mm 2 2 Dans le cas général, la résolution analytique de ce système est complexe. Envisageons le système simplifié dans lequel les masses et les raideurs des ressorts sont identiques et posons = k/m. On a donc : d²x 1 +  ( 2xx ) =0 1 2 dt² d²x 2  ( 2x 2 x 1 ) =0 + dt² Par analogie avec l’oscillateur harmonique, on suppose que les solutions sont de la forme : j  t j  t x=et xA e=A e 1 12 2 L’introduction de ces solutions dans le système précédent donne : ! $!$ ²+2A 1 # &#& =0 "  + %" 2 % ² 2A 4 22 La solution est unique si le déterminant de la matrice est nul:4+ 3Cette= 0. 2 2 équation admet les solutions : =3et = 1 2 La première conduit à(A 1 + A 2 ) = 0soit A 1 =A 2  etla seconde à A 1 = A 2 . Si le système j  t j  t = = oscille avec la pulsation 1 , on a la solution antisymétrique : x 1 Ae etx 2 Ae . j  t j  t Pour la seconde fréquence, on obtient la solution symétrique : x=Ae etx=Ae 1 2 Le système ne pourra osciller avec une fréquence unique que pour des conditions initiales très particulières (les trouver). Dans le cas général, la solution est une combinaison linéaire de solutions harmoniques de pulsations 1 et 2 : x 1 (t) = + Acos( 1 t + 1 ) + Acos( 2 t + 2 ) x 2 (t) =Acos( 1 t + 1 ) + Acos( 2 t + 2 ) B ATTEMENTS : Supposons que les deux oscillateurs soient faiblement couplés et que leurs fréquences propres soient voisines. Les conditions initiales sont choisies pour annuler 1 et 2 . En posant = ½| 1  2 | et <> = ½( 1 + 2 ), il vient : x 1 (t) = 2Acos( t).cos(<>t) L’amplitude des vibrations de chaque masse est modulée avec le temps à la fréquence . La fréquence des vibrations est voisine de 1 et de 2 . Ce phénomène est appelé « battement ». L’intégration numérique des équations nous permet de déterminer la solution du problème dans le cas général. Retour à l’applet