Cours d'analyse 1 Licence 1er semestre

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Cours d'analyse 1 Licence 1er semestre

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Cours Licence

d’analyse 1 1er semestre

Guy Laffaille Christian Pauly

janvier

2006

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Tabledesmatie`res

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Lesnombresr´eelsetcomplexes 1.1 Nombres rationnels . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.2Nombresre´els...................................... 1.3Densite´desrationnelsetirrationnels......................... 1.4 Nombres complexes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.5 Exercices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

Logique et langage des ensembles 2.1Propositionsetop´erateurslogiques.......................... 2.2 Quantificateurs . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.3Techniquesded´emonstration............................. 2.3.1R´ecurrence................................... 2.3.2Contrapos´ee................................... 2.3.3D´emonstrationparl’absurde.......................... 2.4 Langage des ensembles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.5 Exercices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

Suitesr´eellesetcomplexes 3.1 Limite d’une suite ´ ll ree e . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.2Propri´et´esdelalimite................................. 3.3 Suites adjacentes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.4 Comparaison de suites . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.5 Suites complexes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.6 Exercices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

Fonctionsd’unevariablere´elle 4.1 Limite et continuite . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ´ 4.2Proprie´te´sdelalimited’unefonction......................... 4.3Proprie´te´sdesfonctionscontinues........................... 4.4Fonctionsd´erivables.................................. 4.5Proprie´t´esdesfonctionsde´rivables........................... 4.6Applicationauxsuitesr´eelles............................. 4.7 Exercices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

D´eveloppementslimite´s 5.1 Comparaison de fonctions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5.2 Formules de Taylor . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5.3Calculdede´veloppementslimite´s........................... 5.4 Exercices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

3

5 5 7 11 11 13

15 15 16 17 17 17 18 18 19

21 21 23 28 29 33 34

39 39 41 42 44 47 48 50

55 55 55 59 61

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TABLEDESMATI ` ERES

6 Fonctions classiques 63 6.1 Fonctions bijectives . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 63 6.2 Logarithme et exponentielle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 63 6.3D´eveloppementslimit´es.................................65 6.4Fonctionstrigonom´etriques...............................66

7Corrig´edesexercices

Remerciements.

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Mercia`ThierryMignon,VladimirVerchinin,JulienMunier,DenisTrotabasetDanielMaerten pour les exercices de TD.

Merci`aMicheleBolognesipourlar´edactiondequelquescorrige´sd’exercices.

Mercia`IvanBabenkopourlapreuvedel’irrationnalit´edunombred’Euler.

Chapitre 1

Lesnombresre´elsetcomplexes

1.1 Nombres rationnels Onde´signeparNl’ensemble des entiers naturels

N={0,1,2,3, . . .}.

Comme chaque entier naturelnadmet un successeurn+ 1, on se convainc sans peine queNest un ensemble infini. On noteN ∗ l’ensembleN\ {0},esc’e’lemesna`-trid-tiersnatbledesenrulensno nuls. ´ Etantdonne´deuxentiersnaturelsxetyrlesefiniitd´onsaersonbm x x+y, x−y, x∙yet,siy6= 0. y Onremarquequel’additionetlamultiplicationsontdesope´rationsquiontleurr´esultatdansN. Parcontrelere´sultatd’unesoustractionoud’unedivisionn’estpastoujoursunentiernaturel. Oncre´eainsidenouveauxnombres

Z={. . . ,−3,−2,−1,0,1,2,3, . . .},

l’ensemble des entiers relatifs — on noteraZ ∗ =Z\ {0}— et Q= n b a |a∈Zetb∈Z ∗ o , l’ensemble des nombres rationnels dans lequel on identifie la fraction b a avec a b∙ ∙n n pour touta∈Z etb, n∈Z ∗ . On a bien entendu les inclusions suivantes

N⊂Z⊂Q

etlesquatreop´erations´el´ementaires+,−,∙et/ts’´etenpeuvensnmelberd`elae’Qdes nombres rationnels.

LesGrecsclassiquesontcrulongtempsquetouteslesquantite´ss’exprimaientpardesnombres rationnels.Ilssesontaper¸cuquecen’estpastoujourslecas.Eneffetonpeutconstruiredes nombresquinesontpasrationnels.Consid´eronsparexempleuntriangleABCrectangle enA

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6CHAPIRTE1.LESONMBRESR ´ EELSETCOMPELEXS

Si on noteala longueur du segmentBC,bcelle deCAetccelle deAB,alorse`emedelhte´ro Pythagore dit qu’on a la relation 2 a 2 =b 2 +c . Ainsionobtientquelalongueurdeladiagonaled’uncarre´decˆote´b=cse1=ge´t`elaaa= √ 2. Proposition 1.1.1Le nombre √ 2n’est pas un nombre rationnel. De´monstration.fsnollasuoNe.usdr’lbapnrataoinstr´emounedaire 1 Supposons que √ 2 est rationnel. Il existe alors deux entiers positifsa, btels que √ 2 =a/b. Si aetbsont pairs, on peut simplifier la fractiona/bpar 2. En simplifiant par 2 autant que possible, onarriveaucaso`uaumoinsundesdeuxentiersaoubestimpair. En´elevantaucarr´el’´egalite´ √ 2 =a/btehcnentleassaomind´en,rnotaueeva`rair 2b 2 =a 2 . Donca 2 est pair. Siarce´eriinaop,mrtiutesepa= 2a 0  alors+ 1,a 2 = 4a 02 + 4a 0 + 1 qui est impair.Onend´eduitdoncqueaestpairriect´eunpcoon,dera= 2a 0 , ce qui donne 2b 2 = 4a 02 et en simplifiant par 2, on obtient b 2 = 2a 02 . C’estlamˆeme´equationqueci-dessusaveca 0 al`decelaapbetbala`edecalpa. Le meme ˆ raisonnement montre alors quebest aussipair. On a donc une contradiction et √ 2 ne peut pas ˆetrerationnel.

Voici d’autres exemples de nombres irrationnels. 1. Le nombreπ= 3,1415. . .´efindmelaicomno´ficcrec’drenelercceun`eamdide.1ert 2. Le nombre d’Eulere= 2,718. . .l,basadelee’pxnotienleel´e,dicfinemmommosfinieein 2 1 1 1 1 ∙ ∙ ∙ e+ !3 + !2 + !1 +1=∙ ∙ ∙+ k! + 3.Lesracinescarre´s √ nsin-d`aeqirc’e,t-escnus´rrae’niaptssaediu’nsepterquentistune la formen=k 2 aveck∈N.

Proposition 1.1.2Le nombre d’Euleren’est pas un nombre rationnel. 1 voir section 2.3.3 2 infienoitPd´arn! = 1∙2∙3∙ ∙ ∙n

´ 1.2. NOMBRES REELS7 D´emonstration.Comme pour √ tsarmenoen´driuensfaallonous2snosoppuS.deurbs’arlpaonti donc queeest rationnel. Il existe alors deux entiersa, b∈N ∗ tels que a1 1 1 1 e= b ++ ! 1 3 =++ !!21 ∙ ∙ ∙+ n + ! ∙ ∙ ∙ Multiplions parbolsr!A.itnenoboegaltl’´it´e a b!−  b! +b  2 ! + b ! ! 3 + b ! + ! ∙ ∙ ∙+ b b ! !  b 1 1 1 1 ∙ = b + (+1b+ 1)(b+)2 + (b+ 1)(b+ 2)(b  + + 3) ∙ ∙ ( + b+ 1)(b+ 2)∙ ∙ ∙(b+n + ) ∙ ∙ ∙ Ilestclairquetouslestermesdelasommea`gauchesontdesnombresentiers,donclasomme, qu’on noteras, est aussi un entier. En utilisant la minoration (b+ 1)(b+ 2)∙ ∙ ∙(b+n)>(b+ 1) n on obtient un l’encadrement suivant des 1 1 1 1 . 0  b < s < +1 + (b+ 1) 2 ( + b+ 1) 3 +∙ ∙ ∙ ( + b+ 1) n +∙ ∙ ∙ ´ Cettederni`eresommeinfinievaut b 1 1+ ∙ 1− 1 b+1 1 = b 1 lse`rofaelumnnoddpr’aeeirasomantlunesmed’ ge´ome´trique(voir(1.1)).Ainsionobtientl’encadrement 1 0< s <  b ≤1, ce qui contreditsentier. Lapreuvedel’irrationalite´deπrsneN.uouosrcecernspavoyolessape´dteeddrcalentmegear exemple au livre “Autour du nombreπ” de Pierre Eymard et Jean-Pierre Lafon. Parcontrel’irrationalite´de √ nemeflamˆnquea¸codeeecllesedertnom √ 2 (exercice). 1.2Nombresre´els La proposition 1.1.1 dit que √ ecrireceutpass’d-rinepe’cse-ta`emmol,neontiraastpes’n2 ´ quotient de deux entiers. Cependant nous savons que le nombre √ tu’s2epnu’desircr´emeorsfou de´veloppementd´ecimalinfini √ 2 = 1,41421356. . . Danscecoursnousprenonscetterepre´sentationde´cimalecommed´efinitiond’unnombrere´el. D´efinition1.2.1(nombrere´el)nnUeselnetubrom´eernoedhcffiocllceitres{c 0 , . . . , c m }et {d 1 , d 2 , . . .}compris entre0et9. Les chiffresc i sont en nombre fini et les chiffresd j eeupntvetrˆe ennombreinfini.Onfaitcorrespondre`acettecollectionlenombredonn´eparlede´veloppement d´ecimal x=c m c m−1 . . . c 1 c 0 , d 1 d 2 d 3 . . . d n . . . . Exemples.