cours d'arithmétique - cours de 3ème

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• Publié par: ojurarop
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• Langue: Français

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ème Mathématiques en classe de 3au collège Haxo – S.Percot - année scolaire 2010-2011

CHAPITRE 01 : Arithmétique.

L'arithmétique est une branche des mathématiques qui comprend la partie de la théorie des nombres. On l'appelle plus généralement la «science des nombres». Autrefois, l'arithmétique se limitait à l'étude des propriétés desentiers naturels, desentiers relatifs, et des nombres rationnels (sous forme de fractions), et aux propriétés des opérations sur ces nombres.

I : Les ensembles des nombres

Les entiers naturels :ℕ 0 ; 1 ; 2 ;………

Les entiers relatifs :ℤ …; - 3 ; - 2 ; - 1 ; 0 ; 1 ; 2 ;…

Les décimaux : ID Ces nombres ont une écriture décimale qui a un nombre fini de chiffres après la virgule.

Les rationnels :ℚ Ces nombres s’écrivent sous la forme d’un quotient de deux entiers. (Les irrationnels ce sont les nombres qui ne sont pas des rationnels. Ex:)

Les réels :ℝ Ce sont tous les nombres connus au collège.

II : Multiples et diviseurs

1) Définition L’entier naturel a estmultiplede l’entier naturel b signifie qu’il existe un entier k tel que a = b´k On dit aussi : «b est undiviseurde a » ou «a estdivisible parb»

2) Remarques a) Tout nombre est multiple de 1 car 23 = 1´1 est un diviseur de tout nombre.23 donc b) Tout nombre est multiple de lui-même : 27 = 27´1 donc tout nombre est divisible par lui-même. c) Tout nombre divise zéro. Attention, on ne peut jamais diviser par zéro!!!

3) Définition Un nombre qui est divisible uniquement par 1 et par lui-même est appeléun nombre premier. 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31 …attention : 1 n’est pas premier.

4) Critères de divisibilité Un nombre est divisible par 2 s’il est pair. Un nombre est divisible par 5 s’il se termine par0 ou 5. Un nombre est divisible par 3 si la somme de ses chiffres est un multiple de 3. Un nombre est divisible par 9 si la somme de ses chiffres est un multiple de 9.

5)iuetourlasutileprporétéiP a et b sont deux entiers non nuls, avec a > b. Si un entier n divise a et b, alors n divise la somme a + b et la différence a – b.

Preuve: n divise a et b : il existe p et q tels que a = p x n et b = q x n, avec p > q.  a + b = ×n ×n  donca + b = pq×n égalité prouve que n divise a+ b.. Cette