COURS MIAS 301 (Analyse)

Description

COURS MIAS 301 (Analyse)
Alain Yger
4 avril 2005Table des matieres
1 Series numeriques 1
1.1 Deux concepts : suites et series numeriques . . . . . . . . . . . . . . . 1
1.2 Comportement asymptotique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3
1.3 Series a termes positifs; criteres de comparaison . . . . . . . . . . . . 9
1.3.1 Comparaison avec les series geometriques . . . . . . . . . . . . 11
1.3.2 avec les series de Riemann . . . . . . . . . . . . 15
1.3.3 Confrontation serie/primitive . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17
1.4 Series a termes quelconques non alsolument convergentes . . . . . . . 19
1.4.1 Le critere des series alternees . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
1.4.2 L’integration par parties discrete . . . . . . . . . . . . . . . . 21
1.4.3 Les criteres d’Abel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
1.5 Operations sur les series numeriques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
2 Suites et series de fonctions 31
2.1 Suites, series de; convergence simple, uniforme . . . . . . . 31
2.1.1 Les concepts de suite et serie de fonctions . . . . . . . . . . . 31
2.1.2 Convergence simple; convergence uniforme . . . . . . . . . . . 32
2.1.3 Les criteres de Cauchy (simple et uniforme) . . . . . . . . . . 34
2.1.4 Convergence normale d’une serie de fonctions . . . . . . . . . 35
2.1.5 Regularite des fonctions et passage a la limite . . . . . . . . . 37
2.2 Suites de fonctions et integration . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42
2.2.1 Integration ...

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• cours
• mathématiques
• mathématique

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Extrait

COURS MIAS 301 (Analyse)

Alain Yger

4 avril 2005

Table

1

2

des

matieres

Seriesnumeriques 1.1Deuxconcepts:suitesetseriesnumeriques........ 1.2 Comportement asymptotique . . . . . . . . . . . . . . . 1.3Seriesatermespositifs;criteresdecomparaison..... 1.3.1Comparaisonaveclesseriesgeometriques..... 1.3.2ComparaisonaveclesseriesdeRiemann..... 1.3.3Confrontationserie/primitive........... 1.4Seriesatermesquelconquesnonalsolumentconvergentes 1.4.1 Le critere des series alternees . . . . . . . . . . . 1.4.2L’integrationparpartiesdiscrete......... 1.4.3 Les criteres d’Abel . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.5Operationssurlesseriesnumeriques............

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Suites et series de fonctions 2.1Suites,seriesdefonctions;convergencesimple,uniforme....... 2.1.1Lesconceptsdesuiteetseriedefonctions........... 2.1.2 Convergence simple ; convergence uniforme . . . . . . . . . . . 2.1.3LescriteresdeCauchy(simpleetuniforme).......... 2.1.4Convergencenormaled’uneseriedefonctions......... 2.1.5 Regularite des fonctions et passage a la limite . . . . . . . . . 2.2Suitesdefonctionsetintegration.................... 2.2.1Integrationdiscrete....................... 2.2.2Integrationcontinue....................... 2.3Seriesentieres............................... 2.3.1 Une premiere approche et plein d’exemples . . . . . . . . . . . 2.3.2 Rayon, disque, cercle de convergence . . . . . . . . . . . . . . 2.3.3Seriederivee,serieprimitive................... 2.3.4Regled’Abelpourlesseriesentieres............... 2.3.5FonctionsreellesanalytiquessurunintervalledeIR...... 2.3.6Fonctionsreellesanalytiquessurunintervalleetoperations usuelles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.3.7Lesfonctionsdeveloppablesenserieentiere“classiques”.... 2.4SeriesdeFourier............................. 2.4.1 Le spectre d’une fonctionT. . . . . . . . . . . . -periodique . 2.4.2SeriedeFourierd’unefonctionf. . . . . . . . .. . . . . . . 2.4.3Conservationdel’energieettheoremedePlancherel......

1 1 3 9 11 15 17 19 19 21 23 25

31 31 31 32 34 35 37 42 42 45 53 53 54 56 60 64

65 67 74 74 77 86

Chapitre

Series

1.1

1

numeriques

Deux

concepts:suitesetseriesnumeriques

Unesuite numeri ueendioatrlsuienlbmesne’sedeapneicplitnnuioaptsedre entiersIN(oueventuellementl’ensembledesentierssuperieursouegauxaunseuil n 0 ∈IN) et a valeurs dans C : par exemple les applications :

n∈IN n∈IN 

n∈IN\ {0,1}

→ →

→

z n (z∈C) n  z exp( zlogn) = 1 n(n 1)

denissentdessuitesnumeriques;onnoterademaniereabregeeunetellesuitesous la forme (u n ) nn 0 ,n 0 bmerelonuqlecadundeuileleseesitnemptnaceredgnsiu n n’estplusdeni.Onditqueu n estretelemneearluite.Siletermegdlesaenelar delasuiteesttoujoursunnombrereel,lasuiteestditea valeurs reelles.

C’est sans doute avec lenoenaorxadeZed les questions qu’ilqu’apparaˆt (avec engendre en analyse) le concept de ueserie numeri. Rappelons ce paradoxe celebre : un archer (se trouvant en un pointA)nclaneeu ceehadsnaliderctiond’unpoint Behce aLra’leuq,nclaercheed.AversBparcourt d’abord la moitie de la distance, quisepareAetBrelance depuis son point d’impact, mais la force de son; puis il la brasayantdiminuedemoitie,la echeneparcourtpluscettefoisquelamoitiede ladistanceseparantlemilieude[A, B] (ou elle etait arrivee au premier jet) deB; le processus continue ainsi, la conclusion (qui constitue le dit paradoxe) est que la echen’atteindradefaitjamaissonbut!Onpeutaussiformulerceparadoxeplus serieusementenenoncantuneassertionmathematiquequiestloind’eˆtresianodine quecela(elleadesconsequencesinteressantesconcernantparexemplelalocalisation danslechampcomplexedesracinesd’lˆomeacoecientscomplexesen un po yn fonction precisement de ses coecien ts) : siE={ 1 , ...,  n }est un sous-ensemble ni de C  tel que n X j = 0,  j=1

il existe toujours deux elements distinctsetdeEtels que||/|| ∈[1/2,2] ; pour voir cela, supposons que le cardinal deEvaillenet ordonnons les elements desE

1

dans l’ordre des modules decroissants :

| 1  ||  2 | ... | n |>0 ; silaconclusiondel’assertionsetrouvaitendefaut,onaurait: | 1 |>2| 2 |>4| 3 |>


>2 n | n |.

Or  1 =  2   3   l’inegalite triangulaire donne : | 1  ||  2 |+


+| n |<
11 + 2 4 +

 

n ;

+ 1  1 1  1 2 1 n | 1 |, 2 n ! | 1 | 1 2 =   2

ce qui donne | 1 |<  1  1 2 n  | 1 |, conclusion contradictoire avec| 1 |>0. L’axiomatique de IN inclut le fait que tout entiernadmet un successeurn ;+ 1 l’ideedeserie(onconnaitlesconceptsnafdeloidesseries,seriesd’evenements, etc...)remontebiensuˆral’antiquiteetconstituait(leparadoxedeZenonenestun exemple) une perception analytique de l’inni.

Denition 1.1Soit(u n ) nn 0 une suite numerique on appelle serie numeri ue de ; termeeneralula suite(S n ) nn 0 denie selon la regle inductive :

S n =S n 1 +u n ,

nn 0 + 1,

(1.1)

laconditioninitialeetant: S n 0 =u n 0 ; laseriedetermegeneralu n (que l’on notera aussi[u n ] nn 0 ) est donc la suite n [u n ] n X ; (1.2) n 0 :=
k=n 0 u k ! nn 0 on dit queS n := P n k=n 0 u k est lanerdro’laelumu-esemmeomrtalleiuo(eotelclat neretedrieasel)darlneeemgu n ,nn 0 .

Notons tout de suite que le processus de “capitalisation” desu k .1)regle(1slenoal joueunrˆoleessentiel:sil’onimagineparexemplelesentiersordonnessuivant l’ordre : 0,1,3,2,5,7,9,4,11,13,15,17,6,19,21,23,25,27,8,29, ... et que l’on “capitalise” suivant cet ordre la suite (u n ) n0 tedeegrmnealeru n = ( 1) n nedisnrapeiquelerateaiasuieiro,vn e e e S 0 =u 0 , S 1 =u 0 +u 1 , S 2 =u 0 +u 1 +u 3 e e S 3 =u 0 +u 1 +u 3 +u 2 , S 4 =u 0 +u 1 +u 3 +u 2 +u 5 , ... estunesuitedontletermegeneraln’estpasbornetandisquelaseriedetermegeneral u n earl,tseelleenu,tiusonedettlmeerengS n appartient a{0,1}(S 2k = 1, S 2k+1 = 0 pourk∈IN). Les deux processus de “‘capitalisation” de la suite (u n ) n0 donnent naissanceadessuitesnumeriquesdenaturedierente,cequimontrebienquela reglede“capitalisation”imposeeen(1.1)joueunroˆleessentiel.Onyreviendra.