Equations differentielles et calcul variationnelle

Description

Chapitre 4 Equations differentielles et calcul variationnelle Introduction Les equations differentielles, au sens litteral les equations qui font intervenir une fonction (scalaire, ou vectorielle) et ses derivees jusqu'a un ordre n donne, soit (E) F (t, y, y?, · · · , y(n)) = 0 forment l'expression la plus courante des lois d'evolution de sytemes physiques. Ces sytemes sont materialises par la fonction t 7? y(t) ? Rm, le systeme depend de m parametres, et un parametre d'evolution, appele le temps. L'equation la plus simple est y?(t) = f(t) ou f(t) est supposee definie continue sur un intervalle I. Si t0 ? I, on sait que la seule solution qui prend la valeur C en t0 est yC(t) = C + ∫ t t0 f(u) du Cette equation est donc ”en theorie” completement resolue par une seule qua- drature (integrale). Caracteristique des des solutions : dans le plan (t, y) les graphes des courbes yC , si C varie, sont translates dans la direction de Oy de l'un d'eux, donc disjoints deux a deux. Plus generalement, soit un systeme a deux ”parametres” R(t) = (x(t), y(t)), les vecteurs R?(t) et R??(t) representent toujours la vitesse et l'acceleration du mouvement.

• condition initiale


• equations differentielles


• courbe integrale du champ


• bornes de l'intervalle de definition


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• graphes des courbes yc

Sujets

• Cauchy
• Condition initiale
• Équation différentielle
• Équation

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Extrait

Chapitre 4

Equationsdiffe´rentielleset calcul variationnelle

Introduction Les´equationsdiffe´rentielles,ausenslitte´rallese´quationsquifontintervenir unefonction(scalaire,ouvectorielle)etsesde´riv´eesjusqu’a`unordren´e,donn soit (E)F(t, y, y 0 ,∙ ∙ ∙, y (n) ) = 0 formentl’expressionlapluscourantedesloisd’e´volutiondesyt`emesphysiques. Cessyt`emessontmat´erialise´sparlafonctiont7→y(t)∈R m `tmesesyepdndee´,l demtr`e’´ednptuamarrte`e,sepmara.L’´equaeletemps,npaep´lvelotuoialnoit plus simple est y 0 (t) =f(t) ` ouf(tinnuteesuornutnilneiecrdv´aelfi´seepuopsest)I. Sit 0 ∈I, on sait que la seule solution qui prend la valeurCent 0 est y C (t) =C+ Z t 0 t f(u)du Cettee´quationestdonc”enth´eorie”comple`tementre´solueparuneseulequa- drature(inte´grale).Caract´eristiquedesdessolutions:dansleplan(t, y) les graphes des courbesy C , siCveiearidalsnaddnoitcerratton,sest´lansOyde l’und’eux,doncdisjointsdeux`adeux.Plusg´ene´ralement,soitunsyst`eme`a deux ”p `t es”R(t) = (x(t), y(t)), les vecteursR 0 (t) etR 00 (tttnnee´eserrp) arame r toujourslavitesseetl’acce´le´rationdumouvement.SiRpositionseneetalrpe´r d’une particule en mouvement, de massemceor`aseefuns,uoimF(x, y) = (X(x, y), Y(x, yebrc´elnala)),otwnoedeNleio ` mR 00 (t) =F⇐⇒ ( ym mx 00 00 ( ( t t)= =)Y X ( ( x x ( ( t t ) )y, y, ( ( t t )) ))

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´ CHAPITRE 4. EQUATIONS DIFFERENTIELLES

Fig.4.1 – Graphes des solutions dey 0 = cost.

Danscetexemplel’´equationestd’ordredeux.L’objectifestdetrouverde manie`reaussiexplicitequepossiblelaformedeR, la solution, ayantF.l’´qeauitno TrouverR, ouy(titau.not´egouin’´eqrerlefi´rgiinrd,eseuoniioatqu,sleiant)e´’lsnad Enge´ne´ralcelaneserapaspossible.Onrecherchera`ad´efautdesinformations qualitatives,et(ounum´eriques)surlasolutionesp´ere´e.Pourcelaunebatterie deme´thodesestconnue,recherched’inte´gralespremi`eres,ouloisdeconserva- tion.Classiquementl’´energietotaleE=E p +E c )estiquen´ete+cieillettn(op une telle quantit´ e. On notera qu’une solutiont→R(td´)infieenutruocapebram´etr´ee,dite courbeinte´grale. Leprincipedebasedelathe´oriedes´equationsdiff´erentielles,principe de Cauchyse,’uqtndioE)e(esunutolmenedte´setttolaeunefoistermin´eano’uq fixe´certainesconditionsinitiales(lavaleurdey (k) (t 0 ),0≤k≤nen un temps initialt 0 ellerutalemmoc,squesade`snontiesleoa)C.optrvuer’intervallede tempsmaximaldede´finitiondecettesolution,etsoncomportementpourdes tempstr`esgrands,sil’intervalleestR, ou lorsque le temps s’approche des bornes del’intervalledede´finition.Danslasuiteonselimitera`al’ordreauplusdeux. 4.1 Equations du premier ordre D´efinitions Onfixelesd´efinitionspourlese´quations(E)dupremierordre.Bienque n’ayantenvuequedese´quationsdansR, ou bienR 2 , donc scalaire, ou dans leplan(syste`me),lade´finitiong´en´erale,i.edansR n npesoobl`eme.epasdepr Soit d’abord le casscalaireC.nois´dncfoontionernesuf(t, y, zfie´dsein)urun domaineD⊂R 3 . D´efinition4.1.1.´’lednoitulosraprendrempcoitdoOntielleqeauitnoid´ffrene (t, y(t), y 0 (t)) = 0

4.1. EQUATIONS DU PREMIER ORDRE85 ladonne´ed’unefonctiony(t)de´finieetde´rivablesurunintervalleI⊂R, telle que pourt∈I, le point (t, y(t), y 0 (t)) soit dansD, et pour toutt∈I, on a f(t, y(t), y 0 (titausenot=0.Onditquel’´eq))ee´rulossi elle est de la forme y 0 (t) =f(t, y(t)). Dans ce cas de figure la fonctionfeslbseraaiuevxdtdersu´e,diefinD⊂R 2 . On parlera deDedesphasel’espace`em.seudystsmmoc Demanie`replusge´n´erale,unee´quation(re´solue)a`ncomposantes (on parle aussidesyste`med’ordrennfieiapurdnmoiaended´efinitiones)´etdD⊂R n+1 (l’espace des phases) , une fonctionf:D→R n , de composantesf 1 ,∙ ∙ ∙, f n . Une solutiont7→y(t) = (y 1 (t),∙ ∙ ∙, y n (tenutse)noitcnofesniefid´urI⊂R, telle que∀t∈I,(t, y(t))∈D, et y 0 (t) =f(t, y(t). Onpeutmettreene´videncelescomposantes,soitlaformee´quivalente(syste`me ancomposantes) `   y 1 0 (t) =f 1 (t, y 1 (t)∙ ∙ ∙, y(t)) , n ∙ ∙ ∙=∙ ∙ ∙  y 0 n (t) =f n (t, y 1 (t),∙ ∙ ∙, y n (t)) Unee´quationestditeautonomesi le second membre, la fonctionfnednd´epe pas du tempst, mais que dexeedalofmreestdoncnautonomuqe´oitaenU. x 0 (t) =f(y(t)). The´ore`medeCauchy(casscalaire) Dor´enavantonneconside`reraquedes´equationsscalaires du premier ordre re´solues y 0 =f(t, y). On parlera dey(t)ocmmde’unesolutiond´efiseinnuruetnilavrleI=]a, b[,−∞ ≤ a < b≤ ∞, et deIedescommed´dlaeletvrnoni.ontiniefi D´efinition4.1.2.Soitt 0 ∈Isuppos´eunpointevtnxfie´s(uot 0 = 0). Soit y(t 0 ) =y 0 , de sorte que (t 0 , y 0 )∈D. On appellera le couple (t 0 , y 0 ) la condition initiale ent 0 . Interpr´etationge´ome´trique:Onutpeteinr´rpterealofcnitnof(t, y) commed´efinissantdansl’espacedesphasesunchamp de vecteursF(t, y), de composantes (1, f(t, y)). Imaginer au point (t, ytta)ecteur(1ach´elev, f(t, y)). Siy(tehposemargntuoidnel)etsnuseloon,onfor’´equatit7→(t, y(t)), qu’on regardecommeunecourbeparam´etr´ee.Levecteur tangenta cette courbe au ` pointdeparam`etretest exactement (1, f(t, y(t)). On dit que la courbe est une courbeintale´egrdu champ. Si on a affiare a une equation autonome, donc ` ´ y(t) =f(y(t)), la fonctionf:D→R n rsdevecteuuscnahpmadsnecac´editfin surD, et une solutiony(tnc:.poDhcmaeludgeart´inbeurconetues)