EXEMPLES D ETUDE DE SERIES REELLES OU COMPLEXES

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EXEMPLES D ETUDE DE SERIES REELLES OU COMPLEXES

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 - ¥ - q -  ¥ a q ˛ ¥ p q  ¥ - ˛ ¥ q ¥ a  q - p q   q    * ¥ ˛ p q -  - q  p a ˛  q * p a a EXEMPLES D'ÉTUDE DE SÉRIES RÉELLES OU COMPLEXES NON ABSOLUMENT CONVERGENTES Exercice 1 n( 1) Soient
et u la suite définie sur par : u = .n+ n +1 1. Montrer que la série de terme général u est convergente et que :n 1 dt u =
n 0 1+ tn=0 2. En déduire : n n n( )1( 1) ( 1) 1 = ln 2 = = ln 2 +


2n +1n +1 4 3n +1 3 3n=0n=0 n=0 Exercice 2 n+1 1 e 1. Montrer que il existe dans ]0, 1[ tel que : e = +
p! (n + 2)! p=0 n 2 n! 2. Montrer que est un entier pair.
p! p=0 3. Montrer que la série de terme général u = sin ( n! e) est semi-convergente.n Exercice 3 Soit ]0 ; 2 [. ine 1. Montrer que la série est convergente.
n n 1 2. Étudier de deux manières différentes la limite de la suite I ( ) définie par :( )n n n ikt I ( ) =
e dtn k=1 [On pourra utiliser le lemme de Lebesgue] in e cos(n ) sin(n ) 3. En déduire les valeurs de , et .


n n n n =1 n =1 n=1 Exercice 4 Étudier la nature de la série de terme général : n 1( ) u = (n 2)n n n + 1( ) suivant les différentes valeurs de ]0, 1]. Exemples de séries semi-convergentes Page 1 G. COSTANTINI a - ¥ ˛ fi - - a - -  ˛ - " ¥ a a - p  - -  - - - ¥ ˛ a   a - - ¥ a a  a -   ¥ a ¥ a a   a  a a   -   a  a a  ˛ -  EXEMPLES D'ÉTUDE DE SÉRIES RÉELLES OU COMPLEXES NON ABSOLUMENT CONVERGENTES : SOLUTIONS Exercice 1 1. On a : n • n , |u | = ( 1) un n • la suite (|u |) est décroissanten n • la suite (u ) tend vers 0n n D'après le théorème sur les séries alternées, on en déduit la convergence de la série de terme général u .n Calculons, pour N : N n N N N +1 (N +1)11 1 1 1dt( 1) 1 ( t ) tn n n N + 1 = ( 1) t dt = ( t ) dt = dt = ( 1) dt


0 0 0 0 1+ t 0n +1 1+ t 1+ t n=0 n=0 n=0 On a donc : N n (N +1)1 1 1( 1) dt t 1(N +1) dt t dt
n +1 0 0 0 (N +1) +11+ t 1+ t n=0 D'où, par passage à la limite lorsque N tend vers + : 1 dt u =
n 0 1+ t n=0 n 1( 1) dt 2. Pour = 1 : = = ln 2
0n +1 1+ t n=0 n 1( 1) dt Pour = 2 : = = Arctan 1 Arctan 0 =
202n +1 41+ tn=0 Pour = 3 : n 1( )1 dt =
33n +1 0 1+ t n=0 Considérons la fraction rationnelle : 1 F(t) = 31+ t On décompose F en éléments simples : 1 A Bt + C F(t) = = + 3 21+ t1+ t 1 t + t 1 On a : A = F(t)(1 + t)|t = 1 = 3 1 lim tF(t) = A + B = 0 donc B = t 3 2 F(0) = A + C = 1 donc C = 3 Exemples de séries semi-convergentes Page 2 G. COSTANTINI  -        ˛ p  p   p   q  -  p   -       p  p  p      q p -    - -  p  q     -    q  p  p - -         - p     -    - q p  p p p a - q
q -  ˛  "  -  $  q  ·  - - -      - 1 t 1 1 1 t 2 1 1 3 12D'où : = = + 3 2 2 23 1+ t 3 1+ t 21+ t 1 t + t 1 t + t 1 3 t + 2 4 1 En posant u = t dans le troisième terme, on obtient : 2 1 1 1dt 1 1 1 du22= ln 2 ln t t +1 + 13 0 30 3 2 21+ t 22 u + 4 1 1 2dt 1 1 2 2u = ln 2 0 + Arc tan 3 10 3 21+ t 3 3 2 1 dt 1 1 = ln 2 + 30 3 31+ t 3 1 1dt D'où : = ln 2 + 30 31+ t 3 Les amateurs pourront encore étudier le cas = 4. Exercice 2 1. La formule de Taylor avec reste de Lagrange, à l'ordre n + 1, appliquée à ƒ = exp sur [0, 1] donne : n+1 (n+2) 1 exp ( )(k) [0, 1] tel que : exp(1) = exp (0) +
p! (n + 2)! p=0 n+1 1 e D'où : e = +
p! (n + 2)! p=0 2. Pour tout entier n 3, n(n 1) est un entier pair, donc : n! p 0, n 2 , est un entier pair p! n 2 n! Par conséquent est un entier pair.
p! p=0 3. D'après la question 1 : n+1 n! e n! e = +
p! (n +1)(n + 2) p = 0 n 2 n! Notons 2k l'entier pair , ainsi :
p! p=0 n! n! e e n! e = 2k + +1+ + = 2k + (n + 1) + + n +1(n 1)! (n +1)! (n +1)(n + 2) (n +1)(n + 2) e en+1 D'où : u = sin ( n! e) = sin (n +1) + + = ( 1) sin +n n +1 (n +1)(n + 2) n +1 (n +1)(n + 2) Exemples de séries semi-convergentes Page 3 G. COSTANTINI p  e  -  e $   e  -  e   " e p e ¥ -  e   - e - e  e  e p -  e ˛ - e e - e - - fi -  e - e  -  e  -  e p e  -  -    ˛  " p e   q  ˛ e 1 1n+1 n+1u = ( 1) + + o = ( 1) + On 2 2n +1 (n +1)(n + 2) n +1n n n+1( 1) On en déduit : u n n n +1 Du théorème spécial à certaines séries alternées, on déduit la convergence de la série de terme général u .n n+1 ( 1) Et comme la série de terme général n'est pas absolument convergente, la série de terme général un n +1 est bien semi-convergente. Exercice 3 Rappelons la règle d'Abel pour les séries : Soit ( ) une suite de réels positifs, décroissante et convergeant vers 0.n Soit (a ) une suite de complexes telle que :n Cette règle existe aussin M
, n , a M pour les intégrales.p
p=0 (Majoration des sommes partielles) Alors la série de terme général a est convergente.n n Démonstration de la règle d'Abel : n Posons : A = an p
p=0 * Ainsi : A = a et p , a = A A0 0 p p p 1 n Posons également : S = an p p
p=0 Nous allons montrer que la suite (S ) converge :n n S = a + (A A )n 0 0 p p p 1
p=1 n n 1 S = a + A An 0 0 p p p+1 p

p=1 p=0 Cette dernière écriture est souvent appelée n 1 "transformation d'Abel". On notera l'analogie S = A + ( )An n n
p p+1 p avec une intégration par parties. p=0 • La suite (A ) est bornée et la suite ( ) converge vers 0 donc la suite ( A ) converge aussi vers 0.n n n n n 1 • De plus : | || A | M( ) M0 n 0p p+1 p
p=0 La série de terme général ( )A est donc absolument convergente, donc convergente (car est complet)p p+1 p On en déduit la convergence de la suite (S ), c'est-à-dire la convergence de la série de terme général a .n n n Exemples de séries semi-convergentes Page 4 G. COSTANTINI