Exercice 1 Exercice 2

Description

• cours - matière potentielle : soit

Departement Informatique Parcours Developpeurs d'applications et charge d'affaires Controle terminal du lundi 12 Decembre a 8h00 (2h00) La qualite et la precision de la redaction entrent pour une part importante dans l'appreciation des copies On appelle Solution Convenable toute suite finie d'affirmations correctement justifiees, tres lisiblement ecrites, parfaitement redigees et sans faute d'orthographe. Seules les solutions convenables sont notees positivement. Sont autorises : – Une seule feuille de notes de dimension maximale 21cm x 29,7 cm – Une seule calculatrice – Les regles graduees pour souligner les titres et resultats importants La langue d'expression de l'examen est le Franc¸ais Vous pouvez sautez des

• parcours developpeurs d'applications
• addi- tionner par colonnes
• linearite de l'esperance
• lois des variables aleatoires
• hh hhhx
• debut de l'examen exercice
• definition
• variable aleatoire
• fx
• exercices
• exercice

Sujets

• exercice
• exercices

Informations

• Publié par: dasof
• Nombre de lectures: 56
• Langue: Français

Extrait

D´epartementInformatique ParcoursD´eveloppeursd’applicationsetcharge´d’affaires Controˆleterminaldulundi12De´cembrea`8h00(2h00)

Laqualit´eetlapr´ecisiondelar´edactionentrentpourunepartimportantedansl’appr´eciation des copies On appelle Solution Convenable toute suite finie d’affirmationsrrocetcetnemtsujifi´ees, tr`eslisiblement´ecrites,parfaitementre´dige´esetsansfauted’orthographe. Seuleslessolutionsconvenablessontnot´eespositivement. Sontautoris´es: – Uneseule feuille de notes de dimension maximale 21cm x 29,7 cm – Uneseule calculatrice –Lesr`eglesgradu´eespoursoulignerlestitresetr´esultatsimportants Lalangued’expressiondel’examenestleFran¸cais Vouspouvezsautezdesquestions,enlesadmettant,apr`esl’avoirclairementsignal´esur la copie.

De´butdel’examen

Exercice 1 Question de cours Soit{Ω,F,P}prceabobunpaes.S´eisiltoiX: Ω−→Rrurer´atoie.Poeelliravenue´laelba λ∈R,nodie`ocsnqireeularencfoontim´nu   2 ϕ(λ) =E(X−λ) D´emontrerqueleminimumdeϕest atteint enλ=E(Xteinneruneonndtee)oi.ntetapr´r

Exercice 2 Application directe du cours Soit{Ω,F,P}neuacspil´seetpeorabibX: Ω−→Rvraerri´aeebllleal´eautnoeietdesirce` defonctiondere´partitionF X pein:rafie´d  0 six <0 1 si 06x <1   2 F X (x) = si 16x <2 3 11 si 26x <3  12  1 six>3

1

1. Construirele graphe deF X   1 2. DonnerPX > 2 3. DonnerP({2< X64}) 4. DonnerP({X= 1})

Exercice 3 Laloideprobabilit´ed’uncoupledevariablesale´atoiresr´eelles(X;Y)estraele´peodnn tableau suivant : ❍ ❍ Y ❍ 0 +1+2 ❍ X ❍ ❍ -1a2a a +1 0a a 0 3a0a 1. Calculeza 2.De´terminerlaloimarginaledeXet deYpendnd´eancenfitidae´lei’oidn.Urlseliti pourde´cidersiXetYinntepd´daenesnt.os 2 2 3.Utiliserlesloismarginalespourd´etermierE(X),E(Y),σ(X),σ(Y) 4.D´eterminerlesloisdesvariablesal´eatoiresS=X+YetT=XY.SetTsont-elles ind´ependantes? 5. CalculerE(S)

Findel’examen

2

Corrige´del’examen

Exercice 1 Question de cours Soit{Ω,F,P}itSoe.s´libiaborpecapsenuX: Ω−→Rruo´eelle.Peatoirerailbae´lnuvera h i 2 λ∈Rioctumnneleronafnocn`diso,equri´eϕ(λ) =E(X−λ)miniuelemume´Dqrertnom deϕest atteint enλ=E(X)enetnndounernteirpreate´noit. h i 2 C’estunequestionquia´ete´d´emontre´eencours.Ilsuffitded´evelopperE(X−λ) . h i   2 2 2 E(X−λ) =EX−2λX+λ    2 2 =EX−2λE(X) +Eλ   2 2 Ceciestobtenuparlaline´arite´del’esp´erance.Or,Eλ=λ, et donc,   2 2 ϕ(λ) =λ−2λE(X) +EX −b ϕnr´eenocegeddmoˆnsudeunnclypoedostλqui est minimum enλ 0 = =E(X). Le minimum est 2a h i 2 2 donc :ϕ(E(X)) =E(X−E(X)) =σ(X) Onpeutdoncl’interpre´terendisant,qu’ausensdesmoindrescarre´s,c’estlaconstanteE(X) qui approche 2 lemieuxlavariableal´eatoireX, et que la varianceσ(X´d)irceispersiotbienladailbednlevaraX

Exercice 2 Application directe du cours Soit{Ω,F,P}nestpu´seeibilorabcapeX: Ω−→Ruavenbairalleat´ereoieer´lldesirce`eted fonctionder´epartitionF X ´d:rapeinfie  0 six <0 1 si 06x <1   2 F X (x si 1 ) = 6x <2 3 11 si 26x <3  12  1 six>3 1.Construire le graphe deF X

FigurefaledehpargeL–1tioiner´epartonctiond

1

  1 2.Donner PX > 2    1 1 Enpassanta`l’´eve´”nementcontraire,ilestconnuque:X >=X6, et donc : 2 2     1 11 1 PX >= 1−PX6= 1−F X = 2 22 2 3.Donner P({2< X64}) Encours,ilae´te´vuque:P({2< X64}) =F X (4)−F X donc, ici,(2) ; 11 1 P({2< X64}) = 1−= 12 12 4.Donner P({X= 1}) Nous avons toujours :{X61}={X= 1} ∪ {X <1}, et doncP({X61}) =P({X= 1}) + P({X <1}`u)o’d, P({X61})−P({X <1}) =P({X= 1}) 2 11 CommeP({X61}et) =P({X <1}, nous obtenons que) =P({X= 1}) = 3 26 Exercice 3 Laloideprobabilite´d’uncoupledevariablesale´atoiresr´eelles(X;Y)raelestodnne´pe tableau suivant : ❍ Y ❍ ❍ +20 +1 X ❍ ❍ -1a2a a +1 0a a 0 3a0a 1.Calculeza X Il faut partir deP({X= 1;Y=j}) = 1. Donc, ici, nous devons avoir : 10a=eiradt`esc’1, i,j 1 a= 10 2. (a)deD´eterminrealolmiraiganelXet deY Pour trouver la loi deX, il suffit d’additionner par lignes, et pour trouver celle deY, d’addi- tionner par colonnes. – Ainsi,pourX, 2 P({X=−1}) =4a= 5 1 P({X= 1}) =2a= 5 2 P({X= 0}) =4a= 5 – EtpourY, 2 P({Y= 0}4) =a= 5 3 P({Y= 1}) =3a= 10 3 P({Y= 2}) =3a= 10 (b)liseUtiurd´ecidersidni’epe´nadnopecadrlfin´eioitelndXetYostnni´dpeneadtn.es Lesdeuxvariablesale´atoiresXetYst,eittrnusoepe,lueomtsntiusentinsoendad´epiet toutj, P({X=i;Y=j}) =P({X=i})×P({Y=j})

2