Petite introduction aux mathématiques des dérivés financiers ...

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Petite introduction aux mathématiques des dérivés financiers ...

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Petiteintroductionauxmathe´matiquesdesd´erive´sfinanciers (notes de cours) Michel Miniconi De´partementdeMath´ematiques Universite´deNice–Sophia-Antipolis Cesnotessontcens´eesprocurerleminimumvitalpermettantdelireavecprofitlalitt´eratureexistante surlesmathe´matiquesdesde´riv´esfinanciers.Ils’agitdoncd’uneintroductionrapideauxconceptsetaux mode`lesdebasedel’e´valuation.Ilarriveracependantquecertainsre´sultatssoientde´montr´es.

I – Introduction 1.Formulationduproble`mea`traversunexemple. ´ U ´gociant en vins doit livrer 1000 caisses de bouteilles de vin, soit 6000 bouteilles, aux Etats-Unis n ne debutnovembre.Lecontratavecsonclientest´etablile5juillet(date t = 0) pour livraison dans quatre mois ´ (le5novembre,datenote´e T ).Ileststipule´queleclientpayeraendollarset`aladatedelivraison;lesdeux parties se sont entendues sur le prix de 300 000 USD. ´ Le taux actuel EUR/USD est de 1 , 37:uneuros’´echangecontre1 , 37 dollars US. Evidemment ce taux vafluctueraucoursdesquatremoisquise´parentladated’´ecritureducontratdeladatedelivraison.Ces variations,d’amplitudeimpr´evisible,exposerontlen´iantau risque de change : si le taux EUR/USD egoc augmente, i.e. siledollarchute,iltoucheraapresconversiondesdevisesencaisse´esunesommeeneuros ` infe´rieure`alasommeattendue. 2.Quelquesstrate´giesenvisageables. Sipouruneraisonquelconquelen´egociantnepeut´eviterl’expositionaurisquedechange,illuireste diversespossibilite´sder´eduirecerisque.Nousenretiendronsdeux,lecontratdeventea`terme(forwardou futures) et l’option de vente (put). ` a. Le forward. A la date t =0,apre`savoirsign´elecontratdeventeavecsonacheteurame´ricain, len´egociantconclutavecsaproprebanqueuncontratdeventea`termeportantsur300000USD.Parce contrat,ils’engage`a´echangerdansquatremoiscettesommeendollarscontreunesommeeneuroscalcul´ee`a l’aidedutauxdechangea`terme.Desoncoˆt´elabanques’engage`aacheter`acetauxlesdollarsdune´gociant. Cetauxdechangeestd´etermine´aujourd’hui(date t =0)parlemarche´deschangesa`terme,pourun termedequatremois;ild´ependdesattentesdumarch´esurlesdeuxdevisesainsiquedestauxd’inte´reˆt domestiquesenvigueurdanslesdeuxzonesconcerne´es(EURetUSD).Maiscequiestimportantpourle negociantc’estquecetauxforwardestconnud`esaujourd’huietqueceseraletauxquiserviradansquatre ´ moispourl’´echangedesdevises.Cecontratsupprimedonctouteincertitudesurlechange. Unforwardestuncontratentredeuxparties,nomme´esl’acheteuretlevendeur.Ici,lene´gociantestle vendeurdansceforward,labanqueestl’acheteur:len´egociantvenda`terme300000USD`asabanque autauxforward.Pourfixerlesid´ees,supposonsqueletauxforwardEUR/USD`aquatremoissoit1 , 40 : lenegociantestassur´ederecevoira`l’e´ch´eance214270eurosene´changedeses300000dollars.Parcette ´ op´erationlevendeursupprimelerisqueli´e`aunebaisseimportantedudollarUSparrapport`al’euro. Onremarqueracependantquesi,aulieudechuter,ledollars’appr´ecierelativementa`l’eurolevendeur perdrauneopportunit´edegainli´ee`auneparite´EUR/USDdevenueavantageusepourunexportateur.Dans cettesituationc’estlabanque(l’acheteur)quire´aliseraunb´ene´fice,puisqu’ellepourraacheterlesdollarsau taux´ecritdanslecontratforwardetlesrevendreautauxdumah´equiestplusavantageuxpourelle.Si rc parexempleledollars’appr´ciecontrel’euro,faisantpasserletauxEUR/USDa`1 , 30,labanque,apre`savoir e achete´les300000USDaun´egociantauprixde214270EUR,pourraimme´diatementrevendrecesdollars surlemarch´edesdevisesautauxcourantde1europour1 , 30dollars;ellerecevraen´echange230769euros, re´alisantainsiunb´´ficedepre`sde16500euros. ene Pourcetteraison,len´egociantpeutpr´efe´rersecouvrirdurisquedechangea`l’aided’une option de vente. 2002-2010 michel miniconi version du 6 avril 2010

b. L’option de vente. Parcecontratpass´eavecsabanque,lene´gociantala possibilite´, mais non l’obli- gation,deluivendredansquatremois300000USDpaye´seneurosa`untauxdetermine´aujourd’hui(date ´ t =0)entrelesdeuxparties.Desoncˆote´,labanqueestengag´eecompl`etementparcecontrat:silen´egociant veutluivendrea`cetaux,labanqueal’obligationdeluiachetersesdollars`acetaux. La`encore,cecontratsupprimetoutrisqueli´ea`labaissedutauxdechangeEUR/USD.Maisa`ladiff´erence ducontratforward,siletauxdumarch´e`al’´ech´eancedesquatremoisestplusavantageuxpourlenegociant ´ queletaux´ecritdanslecontrat,c’est-a`-diresiledollarUSagrimp´eparrapporta`l’euroaucoursdesquatre moisjusqu’`ade´passera`l’e´che´anceletauxducontrat,lene´gociantpourraprofiterdecetteappre´ciationdu dollarUSparrapporta`l’euroens’adressantdirectementaumarche´desdevisespourvendresesdollars. Cettefois-ci,lecontratestin´egal,`al’avantagedune´gociant;labanqueassumetouslesrisques,puisqu’elle n’amˆemepluslapossibilite´defaireunb´en´eficesiledollars’appre´ciecontrel’euro;eneffet,danscecasle ne´gociantiravendresesdollarsUSdirectementsurlemarch´edesdevises,etnonaupre`sdesabanqueselon letauxducontratpass´eavecelle.Pourcetteraison,en´echangedurisqueassum´e,labanquere´clameraune certainesommed’argent,appele´elaprime,quedevraluiverserlen´egocianta`l’e´critureducontrat. 3. Options d’achat, options de vente : calls et puts. On appelle optiond’achateurop´eenne(europeancall) un contrat entre deux parties, l’acheteur et le vendeurducontrat,quiconf`erea`l’acheteurledroit–maisnonl’obligation–d’achete`ertaindate r, a une c e T (lamaturite´oul’e´che´ance)eta`uncertainprix(lestrike,ouprixd’exercice)fix´esa`l’avance,unecertaine quantite´d’unproduitde´termine´ (le sous-jacent). La contrepartie (le vendeur, celui qui a ´ecrit l’option) a l’obligation deproce´der`alatransactionsiled´etenteurdel’optionenmanifestelede´sir.Enraisondu caract`eredissyme´triquedececontrat( option pourlede´tenteur, obligation pourlevendeur)etdurisqueli´e auxfluctuationsal´eatoiresduprixdusous-jacent,risquequiseraassume´parlevendeur,celui-cir´eclamera une prime quiserar´egl´eelorsdel’´etablissementducontrat, i.e. a`ladate t =0.Pourde´teniruneoptionon doitl’acheterenversantlaprimeoubienlaracheter`aquelqu’unquiveuts’end´ebarrasser.Laprimeetle prixderachatsontde´termin´esparn´egociationssurlesmarch´esded´erive´s. Onnoteraquelesous-jacentd’uneoption,commed’ailleursceluid’unforwardouplusg´ene´ralementde toutde´riv´e,peuteˆtreuntauxdechangeouunedevise,maisaussiuneaction,unindice,unequantit´ede mati`erepremi`ere,dem´etauxpr´ecieux,unedenre´eagricole,unindiceboursier,uneressourcee´nerge´tique etc. ouencoreunproduitde´rivedeceux-ci. ´ Lefait,pourlede´tenteurdel’option,deproc´eder`alatransaction(pouruncall,l’achatdusous-jacent) a`ladate T selonlestermesducontratcontingent(l’option)qu’ilaachet´es’appelle l’exercice. ` Acˆote´desoptionsd’achat,onavuqu’ilexisteles options de vente (puts), quiconfe`rent`aleurd´etenteur le droit – mais non l’obligation – de vendre unequantite´d´etermin´eedesous-jacent;sil’optionestexerc´ee, l’´emetteurdel’option(levendeur)al’obligationd’acheterlaquantit´edesous-jacentpre´vue.Ainsi,quatre casdefigurepeuventsepre´senter: – achat d’une option d’achat, – vente d’une option d’achat, – achat d’une option de vente, – vente d’une option de vente. Enfin,certainesoptionsconf`erenta`leurd´etenteurledroitd’exercera`n’importequelledatedurantla pe´riodedematurite´:onparlealors d’optionam´ericaine(americanoption) . . . sanspre´jugerdelaposition ge´ographiqueou`s’effectuentlestransactions. 4. Encore un peu de terminologie. D’unemanie`reg´ene´rale,lorsquel’onavendua`termeunecertainequantit´ed’unactif(option,action, taux,or,pe´trole . . . ),onditquel’ond´etientune position courte (short position) sur cet actif. Dans le cas d’un achat, on parle de position longue (long position) . La valeurintrinse`que d’uneoption`aunedatedonn´eeestlaquantit´edecashquiseraitcre´dit´ee`ason d´etenteursicelui-ciexerc¸aitimme´diatementl’option,eneˆut-illapossibilte´,puisfermaitsapositionsurle sous-jacentauprixdumarche´.Parexemplesilesous-jacentsene´gociea`90 – C , un call 85 – C a une valeur intrins`equede5 – C .Eneffet,enexerc¸ant(´eventuellement)cetteoptionlede´tenteurducall85 – C ach`eteraitle sous-jacent`a85 – C . S’il le revendait ensuite 90 – C surlemarche´,ilauraitfinalementencaisse´5 – C . 2