Algèbre approfondie Automne ENS Lyon

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Niveau: Elementaire
Algèbre approfondie - Automne 2007 ENS-Lyon ALGÈBRE MULTILINÉAIRE II Exercice 1 (Trace) — Soient A un anneau et M,N deux A-modules libres de rang fini. On pose M? = HomA(M,A) et on note ?? ,x? l'évaluation d'une forme linéaire ? ? M? sur un élément x de M. 1) Démontrer que l'application M??N ? HomA(M,N), (? , y) 7? (x 7? ?? ,x?y) induit un isomorphisme du A-module M??A N sur le A-module HomA(M,N). 2) Soit u un élément de HomA(M,M) et soit u = ∑i?I ?i?xi une représentation de u comme somme de tenseurs élémentaires dans M??A M. Démontrer que l'élément ∑i?I??i,xi? de A ne dépend pas de la représentation de u que l'on considère ; c'est par définition la trace de l'endomorphisme u. 3) Soit u ? HomA(M,M) un endomorphisme de M. Démontrer l'identité suivante : det(TidM ?u) = Tn + n ∑ p=1 (?1)ptr(?pu)Tn?p, où n = rg(M) et, pour tout i, ?p est l'endomorphisme du A-module libre ?pM induit par u. (Indica- tion : on pourra développer ?n(TidM ?u) = det(TidM ?u)id?nM et observer que, si (ei)1≤i≤n est une base de M et ?pu = ∑ I

• struc- ture naturelle de variété algébrique


• dimension finie sur ?


• endomorphisme de ?•


• unique équation quadratique


• m?a ap

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Extrait

Algèbre approfondie - Automne 2007

A LGÈBRE MULTILINÉAIRE II

ENS-Lyon

Exercice 1(Trace) — Soient A un anneau et M,N deux A-modules libres de rang fini. On pose ∨ ∨ M=Hom A (M,A)et on noteh j ,xil'évaluation d'une forme linéaire j ∈un élémentM surxde M. 1) Démontrer que l'application ∨ M×N→Hom A (M,N),( j ,y)7→(x7→ h j ,xiy) ∨ induit un isomorphisme du A-module M⊗ A N sur le A-module Hom A (M,N). u j tion deucomme somme 2) Soituun élément de Hom A (M,M)et soit= å i∈I i ⊗x i une représenta ∨ lément e de tenseurs élémentaires dans M⊗ A M. Démontrer que l'é å i∈I h j i ,x i ide A ne dépend pas d la représentation deuque l'on considère ; c'est par définition latracede l'endomorphismeu. 3) Soitu∈Hom A (M,M)un endomorphisme de M. Démontrer l'identité suivante : n n pp n−p det(Tid M −u) =T+ (−1)tr(>u)T, å p=1 p p oùn=rg(M)et, pour touti,>est l'endomorphisme du A-module libre>M induit paru. (Indica- tion: on pourra développer n >(Tid M −u) =det(Tid M −u)id >M n et observer que, si(e i ) 1≤i≤n est une base de M et p∗ å >u=u J,I e I ⊗e J I,J p p est la décomposition de>urelativement à la base(e I )de>E et à sa base duale (I⊂ {1, . . . ,n},Card(I) = p n−p i,e e) p, et, si I={i 1 , . . .i p }aveci 1 <. .< . pI = i 1 ∧. . .∧e i p , l'endomorphisme>u∧>id M de n .) >M est l'homothétie de rapportu 1,...,p}1...,p} {,{,

Exercice 2(Algèbre symétrique) — Soient A un anneau et M,N deux A-modules. • • 1) Si N⊂M, démontrer que le noyau de l'homomorphisme canonique S(M)→S(M/N)est •1 l'idéal de S(M)engendré par N vu comme sous-ensemble de S(M) =M. 2) Démontrer qu'il existe un isomorphisme canonique de A-algèbres • •• S(M)⊗ A S(N)˜→S(M⊕N).

Exercice 3(Relations de Graßmann) — Soientkun corps et E unk-espace vectoriel de dimension ∨ • finienl'espace vectoriel dual Hom. On désigne par E k (E,k)et par>E l'algèbre extérieure de E. Il q sera commode de convenir que>E=0 pour tout entierq<0. 1) Démontrer qu'il existe un isomorphisme canonique   ∨ • ∨• >(E)→˜>E   ∨ p∨p∨ •∨ • appliquant>(E)sur(>E). On identifie dans ce qui suit les espaces vectoriels>(E)et>E . p Unp-vecteurx∈>E est ditdécomposables'il est de la formex 1 ∧. . .∧x p avecx 1 , . . . ,x p ∈E linéairement indépendants. Toutp-vecteur est évidemment une somme dep-vecteurs décomposables p et l'objet de cet exercice est d'obtenir une caractérisatio n desp-vecteurs décomposables dans>E ; ce seront ceux satisfaisant auxrelations de Graßmann.

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p 2) Étant donné unp-vecteurx∈>EE, vérifier qu'il existe un plus petit sous-espace vectoriel x de p E tel quex∈>E x et justifier quexest décomposable si et seulement si dim(E x ) =p. En déduire que xest décomposable si et seulement si ∀y∈E x ,x∧y=0. p∨ •∨ 3) Soit w ∈>(E). Le produit extérieur par w est l'endomorphisme de>(E)défini par j 7→ q∨p+q∨ j ∧ w ; il applique>(E)dans>(E). Ayant identifié l'espace vectoriel E avec son bidual, on • appelleproduit intérieurpar w , et on notex7→ w yx, l'endomorphisme de>E transposé du produit extérieur par w . Notanth.,ile crochet de dualité, on a donc h j , w yxi=h j ∧ w ,xi • •∨ pour tousx∈>E, j ∈>(E). p+q q (i) Vérifier que w y∙applique>E dans>E. ∗ ∗ (ii) Soit(e)lune base de E e i1≤i≤n t soit(e i ) 1≤i≤n a base duale. Calculereye J pour toutes parties I I,J de{1, . . . ,n}. p 4) Étant donné unp-vecteurxdans>E, démontrer que le sous-espace vectoriel E x de E est l'image de l'application linéaire p−1∨1 >(E)→>E=E, w 7→ w yx. (Indication: introduire une base de E contenant une base de E x et utiliser la question précédente.) 5) Déduire de ce qui précède qu'unp-vecteurxest décomposable si et seulement si x∧( w yx) =0   p n p−1∨ ∨ > pour tout w ∈>(E). Ayant introduit une base(e i ) 1≤i≤n de E, les dim(E) =équations p−1 ∗ x∧(eyx) =0,I⊂ {1, . . . ,n}et Card(I) =p−1 I caractérisant lesp-vecteurs décomposables sont lesrelations de Graßmann. 6) Expliciter les relations de Graßmann pourn=4,p=2 et vérifier qu'elles se ramènent à l'unique équation quadratique x 12 x 34 −x 13 x 24 +x 14 x 23 0, où(x 12 ,x 13 ,x 14 ,x 23 ,x 24 ,x 34 )sont les coordonnées d'un 2-vecteurxdans la base(e 1 ∧e 2 ,e 1 ∧e 3 ,e 1 ∧ 2 e 4 ,e 2 ∧e 3 ,e 2 ∧e 4 ,e 3 ∧e 4 )de>E. p p 7) Étant donnép∈ {1, . . . ,n}, on désigne parP(>E)l'ensemble des droites vectorielles dans>E et parGr p (E)l'ensemble des sous-espaces vectoriels de E de dimensionp. Vérifier que l'application p p :Gr(E)→P(>E), p p définie en associant à F=Vect(x 1 , . . . ,x p )la droitek(x 1 ∧. . .∧x p )dans>E, réalise une bijection p sur un sous-ensemble deP(>E)défini par des équations homogènes quadratiques en tout système de coordonnées déduit d'une base de E. Remarque:ce qui précède établit essentiellement que, siEest un espace vectoriel de dimension finie, l'ensembleGr p (E)des sous-espaces vectoriels deEde dimension p≤dim Epossède une struc- ture naturelle de variété algébrique, obtenue en réalisantGr p (E)comme une sous-variété algébrique p de l'espace projectifP(>E). L'ensembleGr p (E)est lagrassmanniennedes p-plans deEet l'appli- cation p est classiquement appeléeplongement de Plücker.

Exercice 4(Déterminant) — Soit A un anneau noethérien. On rappelle que, pour tout idéal premier pde A, k (p)désigne le corps des fractions de l'anneau A/p. 1) Démontrer que les deux conditions suivantes sont équivalentes pour tout A-module M de type fini : – pourtout idéal premierpde A, M p =M⊗ A A p est un A p ;-module libre

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−1 −1 – ilexiste des élémentsf, . . . ,fde 1n A engendrant l'idéal unité et tels que M[f i ] =M⊗ A A[f i ] −1 soit un A[f]pour touti∈ {1, . . . ,n}. i Un A-module M satisfaisant aux deux conditions précédentes est ditlocalement libre. 2) Soit M un A-module de type fini localement libre. Vérifier que M[p] =M⊗ A k (p)est un espace vectoriel de dimension finie sur k (p)pour tout idéal premierpde A et démontrer que la fonction orsque p7→dim k (p) M[p]est localement constante sur Spec(A)(voir l'exercice 4 de la fiche 2). L Spec(A)est connexe, cette fonction est donc constante et sa valeur est par définition lerangde M, noté rg(M). 3) On suppose que l'espace topologique Spec(A)est connexe. Étant donné un A-module M de type p r fini et localement libre de rangr, démontrer que>M=0 sip≥r+1 et que>M est un A-module r localement libre de rang 1; on pose det(M) =>M. 4) On suppose toujours que Spec(A)est connexe. Étant donnée une suite exacte de A-modules de type fini et localement libres b a ′ ′′ E M M : 0 M 0 , démontrer qu'il existe un isomorphisme canonique ′ ′′ j E : det(M)⊗ A det(M)→˜ det(M) ′ ′′′ ′′′ ′′ ′′ ′′ ) = a ( a tel que j (m∧. . .∧m ′ ∧m∧m r m 1 )∧. . .∧(m ′ )∧m 1 ∧. . .∧m r pour tousm, . . . ,m ′ ∈M , ′′ 1 r 1 r 1 r ′′ ′′′′ ′′′ ′′′ ′′ metr=log(M). 1 , . . . ,m ′′ ∈M etm 1 , . . . ,m r ∈M avec b (m i ) =m, oùr=rg(M),r=rg(M) ′′ r i