Arnaud Bodin avril

Arnaud Bodin

Description

Niveau: Elementaire
Éléments de géométrie Arnaud Bodin, avril 2012 Exercices – La règle et le compas 1 Constructions élémentaires 1 2 Les corps 2 3 Nombres constructibles et corps 2 4 Les problèmes grecs 3 5 Constructions assistées 3 1 Constructions élémentaires Exercice 1 (Constructions élémentaires) 1. À l'aide du théorème de Pythagore, construire successivement à la règle et au compas√ 2, √ 3, √ 4, √ 5,. . . (Répondre à cette question sans utiliser de résultat du cours.) 2. Construire les approximations suivantes de pi : 227 = 3, 1428 . . ., √ 2+ √ 3 = 3, 1462 . . . 3. Construire √ 2√ 3 , 5 1 4 , √ 3? √ 3, Exercice 2 (Approximation de Kochanski) Une valeur approchée de pi avec quatre décimales exactes est donnée par ? = √ 40 3 ? 2 √ 3 = 3, 141533 . . . Soient les points suivants O(0, 0), I(1, 0), Q(2, 0). On construit les points P1, P2, . . . ainsi : – P1 est l'intersection des cercles centrés en O et I de rayon 1 ayant une ordonnée positive. – P2 est l'intersection des cercles centrés en O et P1 de rayon 1 (l'autre intersection est I).

• intersection des cercles


• tangente en m1


• trissection des angles


• intersection de la droite p2i avec l'axe des ordonnées


• ordonnée positive


• angle

Informations

• Publié par: profil-fool-2012
• Publié le: 01 avril 2012
• Nombre de lectures: 42
• Langue: Français

Extrait

Èlments de gomtrie

Arnaud Bodin, avril 2012

Exercices – La rgle et le compas

1 ConstructionsÉlÉmentaires Exercice 1(Constructions lmentaires)

1. âl’aide du thorme de Pythagore, construire successivement á la rgle et au compas √ √ √ √ 2,3,4,5á cette question sans utiliser de rsultat du cours.),. . . (Rpondre √ √ 22 2. Construireles approximations suivantes deπ:=3, 1428 . . .,2+3=3, 1462 . . . 7 √ p 1 √ 2 3. Construire,5,3−3, √ 4 3

Exercice 2(Approximation de Kochanski) Une valeur approche deπavec quatre dcimales exactes est donne par r √ 40 φ= −2 3=3, 141533 . . . 3 Soient les points suivantsO(0, 0),I(1, 0),Q(2, 0). On construit les pointsP 1 , P 2 , . . .ainsi : –P 1 est l’intersection des cercles centrs enOetIde rayon1ayant une ordonne positive. –P 2 est l’intersection des cercles centrs enOetP 1 de rayon1(l’autre intersection estI). –P 3 est l’intersection de la droiteP 2 Iavec l’axe des ordonnes. –P 4 est l’image deP 3 par une translation de vecteur(0,−3). Calculer les coordonnes de chacun desP i . Montrer que la longueurP 4 Qvautφ.

Exercice 3(Construction au compas seul) Construire au compas seulement :

1

1 ConstructionsÉlÉmentaires 1 2 Lescorps 2 3 Nombresconstructibles et corps2 4 LesproblÈmes grecs3 5 ConstructionsassistÉes 3

1. Lesymtrique dePpar rapport á une droite(AB). (Seuls les pointsP, A, Bsont tracs, pas la droite.) 2. Lesymtrique d’un pointPpar rapport á un pointO. 3. (*)Le milieu de deux pointsA,B. (La droite(AB)n’est pas trace!)

Exercice 4(Pentagone rgulier) Soit(A 0 , A 1 , A 2 , A 3 , A 4 )un pentagone rgulier. On noteOson centre et on choisit un repre −−→ −→−→−→ orthonorm(, vO, u)avecu=OA 0 , qui nous permet d’identifier le plan avec l’ensemble des nombres complexesC. k 1. Donnerles affixesω 0 , . . . , ω 4 des pointsA 0 , . . . , A 4 . Montrer queω k =ω 1 pourk∈ 2 3 4 {0, 1, 2, 3, 4}. Montrer que1+ω 1 +ω+ω+ω=0. 1 1 1 2π 2 A 2 2. Endduire que cos( )est l’une des solutions de l’quation4z+2z−1=0. En dduire 5 2π la valeur de cos( ). 5 2π 3. Onconsidre le pointBd’affixe−1. Calculer la longueurBA 2 en fonction de cos 5 √ puis de5. i1 4. Onconsidre le pointId’affixe ,le cercleCde centreIet enfin le pointde rayonJ A 2 2 3 d’intersection deCavec le segment[BI]. Calculer la longueurBIpuis la longueurBJ. 5.Application :Dessiner un pentagone rgulier á la rgle et au compas. Expliquer.

2 Lescorps Exercice 5(Nombres transcendants)

1. Montrerque l’ensemble des nombres rels algbriques est un ensemble dnombrable. 2. Endduire l’existence de nombres rels qui ne soient pas algbriques.

3 Nombresconstructibles et corps Exercice 6 Un corpsK⊂Rest stable par racine carre s’il vrifie la proprit suivante : √ ∀x∈K, x≥0⇒x∈K. Montrer que l’ensembleC R des nombres constructibles est le plus petit sous-corps deR stable par racine carre.

2

i A 1

O

A 4

A 0 1

4 LesproblÈmes grecs Exercice 7(Trissection des angles) Le but est de montrer que tous les angles ne sont pastrissectables(divisibles en trois) á π la rgle et au compas. Nous allons le prouver pour l’angle: plus prcisment le point de 3 π ππ π coordonnes(cos,sin)est constructible mais le point(cos,sin)ne l’est pas. 3 39 9 1. Exprimercos3θen fonction de cosθ. 3 31 π 2. SoitP(X) =X−X−. Montrer queP(cos) =0. Montrer queP(X)est irrductible 4 89 dansQ[X]. 3. Conclure. iθ 3 Indications 2l’aide des nombres complexes, calculer1. â(e)de deux faÇons. a 2. Toutd’abord montrer que s’il tait rductible alors il aurait racine dansQ. Siest b a cette racine avec pgcd(a, b) =1alors á partir deP( )=0obtenir une quation b d’entiers. 3. Utiliserle thorme de Wantzel.

5 ConstructionsassistÉes Exercice 8(Spirale d’Archimde) Soit(S)laspirale d’ArchimÈdeparamtre par M t = (tcos(2πt), tsin(2πt)), t≥0. 1. TracerS. 2.Trissection des angles. Ètant trace la spirale d’Archimde, construire avec la rgle et π le compas la trissection d’un angle donn.Indications.Supposer l’angleθ <. Ècrire 2 l’angle sous la formeθ=2πt; placerM t et tracer un cercle centr á l’origine du bon rayon. 3.Quadrature du cercle. (a) Calculerune quation de la tangente á(S)en un pointM t . (b) La tangente enM 1 (pourt=1) coupe l’axe des ordonnes enN. Calculer la longueurON. (c) Endduire qu’avec le trac de la spirale d’Archimde et le trac de la tangente enM 1 on peut rsoudre la quadrature du cercle á la rgle et au compas.

3

Exercice 9(La rgle tournante) On souhaite trissecter les angles á l’aide d’un compas et d’une rgle gradue. SoitCle cercle de rayonr > 0centr enO. SoientA, B∈Cde telle sorte que l’angle enOd’un triangleOAB C 0 0 soit aigu. Notonsθcet angle.Sur la rÈglemarquer deux pointsOetCtel queO C=r. θ/3 Faire pivoter et glisser la rgle autour du pointBafin que le pointCappartienne áCet 0 0 0 O le pointOappartiennent á la droite(OA)(de sorte queOsoit dans le segment[O A]). 0 0 θ Montrer que l’angle enOdu triangleAO Bvaut . 3

Exercice 10(Cissode de Diocls) Soient les pointsO(0, 0)etI(1, 0). SoitCle cercle de diamtre[OI]etLla droite d’quation 0 00 (x=1). Pour un pointMdeC, soitMl’intersection de(OM)avecL. Soit enfinMle point −−−→−−−→ 00 000 tel queOM=MM. L’ensemble des pointsMlorsqueMparcourtCestla cissode de DioclÈs, noteD. Le but de l’exercice est de montrer que la duplication du cube est possible á l’aide de la rgle, du compas et du trac de la cissode. 0 1. Ladroite(OM)ayant pour quation(y=tx), exprimer les coordonnes deM,M 00 puisMen fonction det. 2. Endduire une quation paramtrique deD:

2 t x(t) =, 2 1+t

3 t y(t) =. 2 1+t

3. Montrerqu’une quation cartsienne deDest :

2 22 x(x+y) −y=0.

4. Ètudieret tracerD. 5. SoitP(0, 2). La droite(PI)coupeDen un point notQ. La droite(OQ)coupeLen un point notR. Calculer une quation de(PI)ainsi que les coordonnes deQetR. 6. Conclure.

4

θ O

B

A

L

0 M M C 00 M I O

P(0, 2)

O(0, 0)

Exercice 11(Lunules d’Hippocrate de Chios) Montrer que l’aire des quatre lunules gale l’aire du carr.

Indications 3 C’est un calcul simple d’aires.

5

Q

L

R

I(1, 0)