Dénombrer et sommer Rappels ensemblistes

Charles Suquet

Description

Niveau: Elementaire

• cours - matière potentielle : i

Table des matières 1 Dénombrer et sommer 5 1.1 Rappels ensemblistes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5 1.1.1 Opérations ensemblistes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5 1.1.2 B?ections . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7 1.2 Ensembles finis et dénombrement . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8 1.3 Dénombrabilité . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16 1.4 Rappels sur les séries . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 1.4.1 Généralités . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 1.4.2 Séries à termes positifs . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

• caractère universel de la loi de poisson


• base du processus


• comparaison des intégrales ordinaires


• loi uniforme


• variable aléatoire


• lois


• indépendance

Sujets

• Loi uniforme
• Variable aléatoire
• Indépendance

Informations

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• Nombre de lectures: 34
• Langue: Français
• Poids de l'ouvrage: 1 Mo

Extrait

Table

des

matières

1 Dénombrer et sommer 1.1 Rappels ensemblistes. . . . . . . . . . . . . . . . . 1.1.1 Opérations ensemblistes. . . . . . . . . . . 1.1.2 Bijections. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.2 Ensembles finis et dénombrement. . . . . . . . . . 1.3 Dénombrabilité. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.4 Rappels sur les séries. . . . . . . . . . . . . . . . . 1.4.1 Généralités. . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.4.2 Séries à termes positifs. . . . . . . . . . . . 1.4.3 Séries à termes de signe non constant. . . . 1.4.4 Opérations sur les séries. . . . . . . . . . . 1.5 Familles sommables. . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.6 Séries doubles. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

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Événements et Probabilités 2.1 Notion de mesure. . . . . . . . . . . . . . 2.2 Modéliser l’aléatoire. . . . . . . . . . . . 2.2.1 Notion d’expérience aléatoire. . . 2.2.2 Événements. . . . . . . . . . . . . 2.2.3 Une question de dés. . . . . . . . 2.3 La probabilité comme mesure. . . . . . . 2.4 Exemples. . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.5 Remarques sur le choix d’un modèle. . . . 2.6 Probabilités conditionnelles. . . . . . . . 2.6.1 Introduction. . . . . . . . . . . . . 2.6.2 Propriétés. . . . . . . . . . . . . . 2.6.3 Quelques exemples. . . . . . . . . 2.7 Indépendance. . . . . . . . . . . . . . . . 2.7.1 Indépendance de deux événements. 2.7.2 Indépendance mutuelle. . . . . . . 2.7.3 Épreuves répétées. . . . . . . . . .

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5 5 5 7 8 16 24 24 25 27 28 34 46

51 51 57 57 58 59 62 68 75 77 77 79 82 84 84 86 88

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Variables aléatoires 3.1 Introduction. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.2 Généralités. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.2.1 Variables aléatoires réelles. . . . . . . . . . . 3.2.2 Loi d’une variable aléatoire. . . . . . . . . . 3.2.3 Fonction de répartition. . . . . . . . . . . . . 3.2.4 Lois à densité. . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.3 Lois discrètes classiques. . . . . . . . . . . . . . . . 3.3.1 Lois de Bernoulli. . . . . . . . . . . . . . . . 3.3.2 Loi uniforme sur un ensemble fini de réels. . 3.3.3 Lois binomiales. . . . . . . . . . . . . . . . . 3.3.4 Lois hypergéométriques. . . . . . . . . . . . . 3.3.5 Lois géométriques. . . . . . . . . . . . . . . . 3.3.6 Lois de Poisson. . . . . . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.3.7 Sur le caractère universel de la loi de Poisson. . . . . . . . . . . . .

3.4 Lois à densité classiques. . . . . . . . . . . . . . . . 3.4.1 Lois uniformes. . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.4.2 Lois exponentielles. . . . . . . . . . . . . . . 3.4.3 Lois gaussiennes. . . . . . . . . . . . . . . . . 3.4.4 Lois de Cauchy. . . . . . . . . . . . . . . . .

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91 91 94 94 96 99 101 106 107 107 107 108 110 111 116 119 119 121 124 125

Espérance127 4.1 Introduction. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 127 4.2 Espérance d’une variable aléatoire positive. . . . . . . . . . . . . . . . . 130 4.3 Espérance d’une variable aléatoire réelle. . . . . . . . . . . . . . . . . . 146 4.4 Moments. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 152

Vecteurs aléatoires et indépendance159 5.1 Vecteurs aléatoires160. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5.1.1 Généralités160. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5.1.2 Covariance. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 168 5.2 Indépendance de variables et vecteurs aléatoires. . . . . . . . . . . . . . 170 5.2.1 Suites indépendantes170. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5.2.2 Indépendance des composantes175. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5.2.3 Indépendance et espérance de produits. . . . . . . . . . . . . . . 183

Théorèmes limites189 6.1 Convergences de suites de v.a.189. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6.1.1 Convergence presque sûre et en probabilité189. . . . . . . . . . . . . 6.1.2 Convergence en moyenne d’ordrep196. . . . . . . . . . . . . . . . . 6.1.3 Bilan sur les convergences de v.a.201. . . . . . . . . . . . . . . . . . 6.2 Loi des grands nombres. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 202 6.2.1 Loi faible des grands nombres. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 202 6.2.2 Loi forte des grands nombres. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 204

2

6.2.3

L’aiguille de Buffon. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 206

A Intégrale de Riemann sur[a, b]211 A.1 Construction211. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . A.2 Riemann intégrabilité. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 217 A.3 Propriétés de l’intégrale de Riemann. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 224 A.3.1 Propriétés de l’ensembleR[a, b]. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 224 A.3.2 Propriétés relatives à l’intervalle d’intégration. . . . . . . . . . . 230 A.4 Interversion limite intégrale234. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

B

Intégrale généralisée237 B.1 Construction. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 237 B.2 Critère de Cauchy pour intégrales généralisées. . . . . . . . . . . . . . . 247 B.3 Intégrales généralisées de fonctions positives253. . . . . . . . . . . . . . . . B.4 Divers258. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . B.4.1 Changements de variable258. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . B.4.2 Intégration par parties261. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . B.4.3 Comparaison des intégrales ordinaires et généralisées. . . . . . . 263

Tables de la loi normale standard

Ch.Suquet,Cours I.P.É. 2008

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Chapitre

1

Dénombrer

et

sommer

Compter des objets et faire des additions, voilà bien les deux activités les plus élé- mentaires à la base des mathématiques. Et pourtant à y regarder de plus près, ce n’est pas si facile. Déjà pour un ensemble fini, la méthode qui consiste à regarder ses éléments l’un après l’autre et à les compter (donc à les numéroter) n’est applicable que pour de « petits » ensembles. Le plus souvent on s’en sort en faisant une représentation de l’en- semble à dénombrer à l’aide d’un autre ensemble plus familier. Cette représentation est ce que l’on appelle une bijection. Elle est d’ailleurs à la base du processus de comptage qui consiste simplement à mettre en bijection un ensemble avec un ensemble de nombres entiers. Cette notion de bijection permet d’étendre en un certain sens le dénombrement aux ensembles infinis. L’extension de la notion de somme d’une suite finie de nombres à une suite infinie conduit naturellement à la notion desérieque nous réviserons dans ce chapitre. La théorie des probabilités utilise implicitement une notion plus générale, celle defamille sommable. Il s’agit de définir la somme, si elle existe, d’une famille de nombres indexée ∗ par un ensemble infini qui n’est pas forcémentNouN. Nous présentons cette théorie dans la dernière partie du chapitre. ∗ Dans tout ce qui suit, la notation{1, . . . , n}pourn∈Ndésigne l’ensemble de tous les entiers compris au sens large entre 1 etn. L’écriture un peu abusive «∀i= 1, . . . , n» signifie «∀i∈ {1, . . . , n}».

1.1

Rappels ensemblistes

1.1.1 Opérations ensemblistes SoitΩ;un ensemble Aest unsous-ensemble(ou unepartie) deΩsi tout élément deAest aussi un élément deΩ(∀ω∈A,ω∈Ω). On noteA⊂Ω. On appelleP(Ω) 1 l’ensemble des parties deΩ, ce que l’on peut noter

P(Ω) ={A;A⊂Ω}. 1. Dans toutes les écritures d’ensembles entre accolades, nous utilisons le point virgule au sens de « tel que ».

5

Chapitre 1.

Dénombrer et sommer

2 Ainsi les écrituresA⊂ΩetA∈P(Ω).sont deux façons de dire la même chose SiAetBsont deux parties du même ensembleΩ, on dit queAestinclusedans B(notationA⊂B) si tout élément deAest aussi élément deB(∀ω∈A,ω∈B), autrement dit, si l’appartenance àAimpliquel’appartenance àB:

A⊂B

signifie

∀ω∈Ω,

(ω∈A)⇒(ω∈B).

SoitIun ensemble quelconque d’indices (fini ou infini) et(A i ) i∈I une famille de parties deΩ. On définit son intersection∩A i et sa réunion,∪A i par : i∈I i∈I

∩A i :={ω∈Ω;∀i∈I, ω∈A i } i∈I

et

∪A i ={ω∈Ω;∃i∈I, ω∈A i }. i∈I

(1.1)

Remarque 1.1.La réunion et l’intersection d’une famille de parties deΩsont définies de façon globale, elles s’obtiennent d’un coup,sans passage à la limitequandIest infini et sans qu’un ordre éventuel sur l’ensemble d’indicesIn’ait d’importance.

Réunion et intersection sont très utiles pour la traduction automatique des quanti- ficateurs. SiIest un ensemble quelconque d’indices,(π i )une propriété dépendant de l’indiceietA i l’ensemble desω∈Ωvérifiant(π i ), on a :

{ω∈Ω;∀i∈I, ωvérifie(π i )} {ω∈Ω;∃i=i(ω)∈I, ωvérifie(π i )}

= =

∩A i , i∈I ∪A i . i∈I

Ainsi le quantificateur∀peut se traduire par une intersection et le quantificateur∃par une réunion. L’intersection et l’union sont distributives l’une par rapport à l’autre, c’est à dire     B∪∩A i =∩(A i ∪B)B∩∪A i =∪(A i ∩B). i∈I i∈I i∈I i∈I

c LecomplémentairedeA(dansΩ) est l’ensembleA:={ω∈Ω;ω /∈A}. L’opération c c passage au complémentaire (qui est une bijection deP(Ω)dans lui-même) vérifie(A) = c c A,Ω =∅,∅= Ωet échange réunions et intersections grâce aux très utiles formules :   c   c c c ∪A i =∩A . ∩A i =∪A i i i∈I i∈I i∈I i∈I

On définit leproduit cartésiende deux ensemblesEetF, notéE×Fpar :

E×F:={(x, y);x∈E, y∈F}.

Attention, dans cette écriture(x, y)ne désigne en aucune façon un ensemble mais un couple d’éléments (l’ordre d’écriture a une importance). Pour éviter toute confusion,

2. Noter cependant la différence de statut deA: dans la première écriture,Aest considéré comme un ensemble, dans la deuxième comme un élément d’un ensemble d’un type un peu particulier.

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1.1.

Rappels ensemblistes

on utilise des accolades pour la description des ensembles et des parenthèses pour les couples d’éléments. On définit de manière analogue le produit cartésien d’une suite finie d’ensembles 3 E 1 , . . . , E n par   E 1 × ∙ ∙ ∙ ×E n := (x 1 , . . . , x n );∀i= 1, . . . , n, x i ∈E i .

2 L’ensembleE:=E×E={(x 1 , x 2 );x 1 ∈E, x 2 ∈E}peut être utilisé pour représenter l’ensemble de toutes les applications de{1,2}dansE, le couple(x 1 , x 2 ) correspondant à l’applicationf:{1,2} →Edéfinie parf(1) =x 1 etf(2) =x 2 . Il pourrait de la même façon, représenter les applications d’un ensemble à deux éléments dansE(remplacer les chiffres 1 et 2 par n’importe quelle paire de symboles distincts : 0 et 1,aetb, etc.). n Plus généralement, pourn≥2,Eest l’ensemble desn-uplets ou listes de longueur nd’éléments deE. Dans unn-uplet(x 1 , . . . , x n ), il peut y avoir des répétitions. On peut n aussi utiliserEpour représenter toutes les applications de l’ensemble{1, . . . , n}(ou de n’importe quel ensemble ànéléments) dansE. SoitIun ensemble quelconque, fini ou infini. Par analogie avec ce qui précède, l’en- I semble de toutes les applicationsf:I→Esera notéE. Par exemple avecE={0,1} N etI=N, on obtient l’ensemble{0,1}de toutes les suites de chiffres binaires indexées N parN:{0,1}={u= (u i ) i∈N ;u i = 0ou1}. AvecE=RetI= [0,1], on obtient [0,1] l’ensembleRdes fonctions définies sur l’intervalle[0,1]et à valeurs dansR.

1.1.2 Bijections Définition 1.2(injection).Une applicationf:E→Fest diteinjectivesi deux élé- ments distincts deEont toujours des images distinctes dansF:

′ ∀x∈E,∀x∈E,

Une formulation équivalente est :

′ ∀x∈E,∀x∈E,

′ ′ (x6=x)⇒(f(x)6=f(x)).

′ ′ (f(x) =f(x))⇒(x=x).

Une application injectivef:E→Fest appeléeinjectiondeEdansF.

Définition 1.3(surjection).Une applicationf:E→Fest ditesurjectivesi tout élément de l’ensemble d’arrivée a au moins un antécédent parf:

∀y∈F,∃x∈E,

f(x) =y.

Une application surjectivef:E→Fest appeléesurjectiondeEsurF.

3. Noter qu’ici le quantificateur «∀i» ne se traduit pas par une intersection. Ne confondez pas «∀i= 1x, . . . , n, ∈E i » qui traduit l’appartenance dexà l’intersection desE i avec «∀i= 1, . . . , n, x i ∈E i ».

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Chapitre 1.

Dénombrer et sommer

Définition 1.4(bijection).Une applicationf:E→Fest ditebijectivesi elle est à la fois injective et surjective, autrement dit si tout élément de l’ensemble d’arrivéeFa un uniqueantécédent parfdans l’ensemble de départE: ∀y∈F,∃!x∈E, f(x) =y. Une application bijectivef:E→Fest appeléebijectiondeEsurF. Remarque 1.5.Sif:E→Fest une injection, en restreignant son ensemble d’arrivée àf(E) :={y∈F;∃x∈E;f(x) =y}la nouvelle applicationf:E→f(E)est une bijection. En effet cette opération préserve clairement l’injectivité et rendfsurjective. Définition 1.6(application réciproque).Soitf:E→Fune bijection. Touty∈F −1 admet un unique antécédentxparfdansE. En posantf(y) :=x, on définit une −1 applicationf:F→Eappelée application réciproque defou inverse def. Cette −1 applicationfest bijective. −1′ Justification.Pour vérifier l’injectivité def, soientyetydeux éléments deFtels que −1−1′ f(y) =f(y). Cela signifie qu’ils ont le même antécédentxparf, donc quey=f(x) ′ ′ ety=f(x), d’oùy=y. Pour la surjectivité, soitx∈Equelconque. Posonsy=f(x). Alorsxest antécédent −1−1 deyparf, doncf(y) =xet ainsiyest antécédent dexparf. Tout élément deE −1−1 a donc un antécédent dansFparf. Autrement dit,fest surjective. Remarque 1.7.Ainsi l’existence d’une bijectionE→Féquivaut à celle d’une bijection F→E. On dira queE« est en bijection avec »Fs’il existe une bijectionE→F(ou F→E). Proposition 1.8.Soientf:E→Fetg:F→Gdeux bijections. Alorsg◦fest une −1−1−1 bijection deEsurG. De plus(g◦f) =f◦g.

Preuve.Rappelons que(g◦f)(x) :=g(f(x))pour toutx∈E. Pour vérifier l’injectivité, ′ ′ soientxetxdansEtels que(g◦f)(x) = (g◦f)(x). Cette égalité réécriteg(f(x)) = ′ ′ ′ g(f(x))implique par injectivité degl’égalitéf(x) =f(x), laquelle impliquex=xpar injectivité def. Pour la surjectivité deg◦f, soitz∈Gquelconque. Par surjectivité deg,za au moins un antécédentydansFavecg(y) =z. À son toury∈Fa un antécédentx∈Epar la surjectionf. Finalementy=f(x)etz=g(y), d’oùz= g(f(x)) = (g◦f)(x), ce qui montre queza pour antécédentxparg◦f. Commez était quelconque, la surjectivité deg◦fest établie. Ainsig◦fest une bijection deE −1−1 surG. En conservant les notations on a(g◦f) (z) =x. D’autre partx=f(y)et −1−1−1−1−1 y=g(z), d’oùx=f(g(z)) = (f◦g)(z). On a donc pourzquelconque dans −1−1−1−1−1−1 Gl’égalité(g◦f) (z) =x= (f◦g)(z), d’où(g◦f) =f◦g.

1.2

Ensembles finis et dénombrement

Définition 1.9.Un ensembleEest dit fini s’il est vide ou s’il est en bijection avec un ensemble{1, . . . , n}pour un certain entiern≥1. Un telnest alors unique et est appelé cardinal de E (notationcardE). Par convention le cardinal de l’ensemble vide est0.

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