Brevet de technicien supérieur session groupement A2

Description

Niveau: Secondaire, Collège, Troisième
Brevet de technicien supérieur session 2008 - groupement A2 Exercice 1 11 points On considère un système analogique « entrée-sortie » dans lequel le signal d'entrée est représenté par une fonction e et celui de sortie par une fonction s. Une fonction définie sur R est dite causale si elle est nulle surl'intervalle ]?∞ ; 0[. Les fonctions e et s sont des fonctions causales et on suppose qu'elles admettent des transformées de Laplace notées respectivement E et S. On rappelle que la fonction échelon unitéU est définie sur R par : { U (t)= 0 si t < 0 U (t)= 1 si t ≥ 0 1. La fonction de transfert H du système est définie par S(p)=H(p)?E (p). On suppose, dans le cadre de cette étude, que H(p)= 1 1+2p et e(t)=U (t). a. Déterminer S(p). b. Déterminer les réels ? et ? tels que S(p)= ? p + ? p+ 1 2 . c. En déduire s(t). 2. On se propose d'approcher la fonction de transfert analogique H par la fonc- tion de transfert numérique F telle que F (z)=H ( 10 1? z?1 1+ z?1 ) =H ( 10z?10 z+1 ) .

• tion de transfert numérique


• signal d'entrée du système analogique


• supérieur session


• harmoniques de rang impair d'ordre supérieur

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Extrait

Brevet de technicien supérieur session 2008  groupement A2

Exercice 111 points On considère un système analogique « entréesortie »dans lequel le signal d’entrée est représenté par une fonctioneet celui de sortie par une fonctions. Une fonction définie surRest dite causale si elle est nulle surl’intervalle ]− ∞; 0[. Les fonctionseetssont des fonctions causales et on suppose qu’elles admettent des transformées de Laplace notées respectivementEetS. On rappelle que la fonction échelon unitéUest définie surRpar : ( U(t)=0 sit<0 U(t)=1 sit≥0 1.La fonction de transfertHdu système est définie parS(p)=H(p)×E(p). 1 On suppose, dans le cadre de cette étude, queH(p)=ete(t)=U(t). 1+2p a.DéterminerS(p). α β b.Déterminer les réelsαetβtels queS(p)= +. 1 p p+ 2 c.En déduires(t). 2.On se propose d’approcher la fonction de transfert analogiqueHpar la fonc µ ¶µ ¶ −1 1−z10z−10 tion de transfert numériqueFtelle queF(z)=H10=H. −1 1+z z+1 L’entrée et la sortie du système numérique sont modélisés respectivement par deux signaux causaux discretsxety, admettant des transformées enZnotées respectivementXetY. On se place toujours dans le cas où le signal d’entrée du système analogique estU(t). Le signal d’entrée du système analogique est échantillonné au pas de 0,2. Ainsi, le signal d’entréexdu système numérique est défini parx(n)=U(0, 2n) pour tout nombre entier natureln. Les transformées enZdes signauxxetyvérifientY(z)=F(z)×X(z). z+1 a.Montrer queF(z)=. 21z−19 b.DéterminerX(z).   z20z   c.Vérifier queY(z)= −   . 19 z−1 21 z− 21 En déduire l’expressiony(n), pour tout nombre entier natureln. 3.Compléter, surl’annexe, à rendre avec la copie,le tableau en donnant des −3 valeurs approchées à 10près des résultats demandés. La méthode utilisée dans l’exercice 1, pour discrétiser le système analogique, est sou vent appelée transformation bilinéaire. Dans le cadre de l’exemple étudié, nous ob servons que cette transformation préserve la stabilité du système et que les signaux de sortie analogique et numérique convergent vers la même limite.

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Exercice 1

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11 points

Spécialités électrotechnique et génie optique On rappelle que la fonction échelon unité, notéeU, est définie sur l’ensemble des nombres réels par ( U(t)=0 sit<0 U(t)=1 sit≥0 Une fonction définie surRest causale si elle est nulle sur l’intervalle ]− ∞; 0[. 1.On considère la fonction causaleedéfinie sur l’ensemble des nombres réels par : e(t)=4 [U(t)−U(t−2)] a.Tracer la représentation graphique de la fonctionedans un repère or thonormal. b.On noteEla transformée de Laplace de la fonctione. DéterminerE(p). 2.On considère la fonctionstelle que ′ 4s(t)+s(t)=e(t) ets(0)=0 On admet que la fonctionsadmet une transformée de Laplace, notéeS. Démontrer que : 1 ¡ ¢ −2p S(p)= µ ¶ 1−e 1 p p+ 4 3.Déterminer les réelsaetbtels que : 1a b µ ¶ = + 1 1 p p p+ p+ 4 4 4.Compléter le tableau cidessous dans lequelfreprésente la fonction causale associée àF:

1 11 1 −2p−2p F(pe) e 1 1 p p p+p+ 4 4 f(t)U(t) 5. a.Déterminers(t),tdésignant un nombre réel quelconque. b.Vérifier que :  s(t)=0 sit<0   t − s(t)=4−4e si0≤t<2 4 ³ ´ t1  −  4 2 s(t)=4e e−1 sit≥2 6. a.Justifier que la fonctionsest croissante sur l’intervalle [0 ; 2[. b.Déterminer lims(t). t→2 t<2 7. a.Déterminer le sens de variation de la fonctionssur l’intervalle [2 ;+∞[. b.Déterminer lims(t). t→+∞ 8.Tracer la courbe représentative de la fonctionsdans un repère orthonormal.

Groupe A2

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Exercice 39 points Dans ce problème, on approche un signal à l’aide d’une fonction affine par mor ceaux. On désigne parEun nombre réel de l’intervalle ]0 ;3[. On considère la fonctionfdéfinie surR,paire, périodique depériode 5, telle que :  E×tsi 0≤t<1   (3−E)t+2E−3 si1≤t<2 f(t)= 5   3 si2≤t≤ 2 Partie A : Dans cettepartie, et uniquement dans cette partie,on se place dans le cas oùE=2. £ ¤ 5 1.Préciser l’écriture def(t.2 ;; 2[ et; 1[, [1) sur chacun des intervalles [0 2 2.Représenter graphiquement la fonctionfsur l’intervalle [−10].5 ; Partie B : Dans cettepartie,on se place dans lecas général, c’estàdire dans le cas où la valeur deEn’est pas spécifiée. On appelleSla série de Fourier associée à la fonctionf. µ µ¶ µ¶¶ +∞ X 2nπ2nπ On noteS(t)=a 0 +a n cost+b n sint. 5 5 n=1 1.Montrer que la valeur moyenne de la fonctionfsur une période esta 0 = E+3 2 . 5 2.Déterminerb n pour tout entier naturelnsupérieur ou égal à 1. 3. a.Montrer que pour tout nombre entier naturelnsupérieur ou égal à 1 : Z µ¶ µ¶ µµ ¶¶ 1 2nπ5 2nπ25 2nπ tcostdt=sin+cos−1 . 2 2 0 5 2nπ5 4nπ5 Z µ¶ Zµ ¶ 5 2 2nπ2nπ 2 b.On a calculé les intégralesf(t) costdtetf(t) costdt. 1 5 2 5 On a ainsi obtenu pour tout nombre entier naturelnsupérieur ou égal à 1 : Z µ¶ µµ ¶µ ¶¶ 5 2nπ25 2nπ4nπ 2 f(t) costdt=(2E−3) cos+(3−E) cos−E. 2 2 0 5 4nπ5 5 En déduire que pour tout nombre entier naturel supérieur ou égal à 1 : µ µ¶ µ¶ ¶ 5 2nπ4nπ a n =(2E−3) cos+(3−E) cos−E. 2 2 nπ5 5 4.Pour tout nombre entier naturelnsupérieur ou égal à 1, on appelleu n l’har monique de rangn. µ ¶µ ¶ 2nπ2nπ On a alorsu n (t)=a n cost+b n sintpour tout nombre réelt. 5 5 a.Montrer qu’au rang 5,u 5 (t) est nul pour tout nombre réelt. b.On appelleE 0 la valeur deEpour laquelle l’harmonique de rang 3 est nulle, c’estàdire la valeur deEtelle queu 3 (t) est nul pour tout nombre réelt. −2 Déterminer la valeur exacte, puis une valeur approchée à 10près, de E 0 .

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Dans ce problème, à l’aide d’un transformateur à diode, on approche un signal sinu soïdal redressé par une fonction affine par morceaux. Un tel signal avecu 3 (t)=u 5 (t)=0permettra : s’il est associé à un moteur, de réduire les àcoups du couple 3 s’il est associé à un transformateur, d’éviter les pertes 3 s’il est associé à un filtre, d’éliminer plus facilement les harmoniques de rang impair 3 d’ordre supérieur.

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n 0 1 5 10 15 20 25 50

Annexe à rendre avec la copie

y(n)

5

t=0, 2n 0 0,2 1 2 3 4 5 10

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s(t)

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