Capes et Xcas

Renee De Graeve

Description

Niveau: Supérieur, Bac+5
Capes 2011 et Xcas 2010 Table des matieres 1 Theme : les transformations 3 1.1 L'exercice . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3 1.2 La solution proposee par un eleve a la question 2) . . . . . . . . . 3 1.3 Le travail a exposer devant le jury . . . . . . . . . . . . . . . . . 3 1.4 Solution de l'exercice avec Xcas . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3 1.5 Analyse de la reponse proposee par l'eleve . . . . . . . . . . . . . 7 1.6 Les exercices faisant appel aux transformations . . . . . . . . . . 7 2 Theme : fonctions 9 2.1 L'exercice . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9 2.2 Un extrait de manuel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9 2.3 Le travail a exposer devant le jury . . . . . . . . .

• mediatrices du triangle efk


• eleve


• point fixe


• logiciel de geometrie dynamique


• solution de l'exercice avec xcas


• mediatrice


• geometrie au college


• point d'intersection des mediatrices

Sujets

• Degraeve
• Point fixe
• Médiatrice
• bac

Informations

• Publié par: profil-meshug-2012
• Nombre de lectures: 154
• Langue: Français

Extrait

Capes 2011 etXcas [e-mail] 2010

Tabledesmatie  res 1 Theme  : les transformations 1.1 L'exercice. . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . 1.2Lasolutionpropos´eeparune´levealaquestion2). . . . . . . . . 1.3 Le  travail aexposer devant le jury . . . . . . . . . . .. . . . . . 1.4 Solution de l'exercice avecXcas. . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.5Analysedelar ´ eponsepropos ´ eeparl' ´ ele  ve. . . . . . . .. . . . . 1.6 Les exercices faisant appel aux transformations. . . . . . . . . . 2 Theme  : fonctions 2.1 L'exercice. . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . 2.2 Un extrait de manuel. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.3 Le travail aexposer devant le jury. . . . . . . . . . . . . . . . . 2.4 Solution de l'exercice avecXcas. . . . . . . . . . . . . . . . . . 3The  me:g ´ eom ´ etrieplane 3.1 L'exercice. . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . 3.2 Un extrait des programmes ofciels. . . . . . . . . . . . . . . . 3.3 Le  travail aexposer devant le jury . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.4 Solution de l'exercice avec les complexes. . . . . . . .. . . . . 3.5 Solution  ge´ome´trique de l'exercice . . . . . . . . . . .. . . . . . 3.6 Solution de l'exercice avec la trigonom e´trie. . . . . . . . . . . . 3.7 Solution de l'exercice avecXcas. . . . . . . . . . . .. . . . . . 4The  me:g ´ eometrieaucolle  ge ´ 4.1 L'exercice. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4.2Lare´ponsed'un´elevealaquestion1). . . . . . . . . . . . . . . 4.3 Le  travail aexposer devant le jury . . . . . . . . . . . . . . . . . 4.4Laproductiondel'´eleve. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4.5 Solution de l'exercice avecXcas. . . . . . . . . . . . . . . . . .

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3 3 3 3 3 7 7 9 9 9 9 10 13 13 13 13 14 14 15 15 18 18 18 18 19 19

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The  me:courbesparam ´ etr ´ ees 5.1 L'exercice propos e au candidat. . . . . . . . . . . . . . . . . . . ´ 5.2 Le travail aexposer devant le jury. . . . . . . . . . .. . . . . . 5.3 Solution de l'exercice avecXcas. . . . . . . . . . . .. . . . . . Theme : arithmetique ´ 6.1 L'exercice. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6.2Lessolutionsdelaquestion1)propose´esparcinqe´levesdecollege 6.3 Le  travail aexposer devant le jury . . . . . . . . . . . . . . . . . 6.4 Solution de l'exercice avecXcas. . . . . . . . . . . .. . . . . . The  me:diff ´ erentstypesderaisonnement 7.1 L'exercice. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7.2 Un extrait des programmes ofciels. . . . . . . . . . . . . . . . 7.3 Le travail aexposer devant le jury. . . . . . . . . . .. . . . . . 7.4 Solution de l'exercice avecXcas. . . . . . . . . . . .. . . . . .

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22 22 22 22 24 24 24 25 25 26 26 26 26 27

1 Theme  : les transformations 1.1 L'exercice SoitABCun triangle isocele enAet soitEun point de[AB]. On considere le pointFde[AC]tel queAF=BE. On note(D) la me´diatrice de [EF]. On se propose de montrer que, lorsqueEde´crit[AB], la me´diatrice de[EF]passe par un point xe. 1.Mettreene´videncelaproprie´te´al'aided'unlogicieldegeome´triedynamique. ´ 2. De´montrer la conjecture obtenue dans la question pre´ce´dente. 1.2 La  solution propose´e par un eleve ala question 2) ´ LorsqueEestenB,FestenAetdonclam ´ ediatricede[EF]estlamediatrice ´ de [AB]. LorsqueEestenA,FestenCetdonclam ´ ediatricede[EF]estlam ´ ediatrice de [AC]. Le point xe est donc le point d'intersection des me´diatrices de [AB] et [AC] c'est adire le centre du cercle circonscrit au triangle ABC. 1.3 Le  travail aexposer devant le jury 1. Indiquer  les compe´tences, les me´thodes et les savoirs mis en jeu dans l'exer- cice. 2.Analyserl´e´eparl'e´leve. a reponse propos 3.Donneruner ´ edactioncompl ´ eted'uncorrige ´ delaquestion2)enconsid ´ erant une transformation qui convient. 4. Proposer plusieurs exercices faisant appel aux transformations en tant qu'outils ded ´ emonstration. 1.4 Solution de l'exercice avecXcas Pourfairelagure,onouvreunniveaudeg ´ eome ´ trie(Alt+g) et on tape (O est le milieu deBC) : A:=point(5*i); B:=point(-2); C:=point(2); triangle(A,B,C); O:=milieu(B,C); t:=element(0..1); E:=element(segment(B,A),t); _ F:=inter unique(segment(A,C),cercle(C,longueur(A,E))); segment(E,F);

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D:=mediatrice(E,F,affichage=1); segment(A,O); On obtient :

E

A

F D B O C

et si on rajoute la commande : trace(D) On obtient :

A

E F

B D O C

Puis on fait bougertal  esruterudia'cude ´ edielamitquonvoecedtairEF, \ semble passer par un point xeIsitue´ sur la bissectrice de l'angleBAC. Ilyadiff ´ erentesfac¸onsdecontinuer. Par exemple, au de´part sans utiliser de transformation) : –Onchercheuntriangledeco ˆ t ´ eEF et qui a comme me´diatrice, la bissectrice \ de l'angleBAC. Parexemple,ond ´ enitlepointKsurACtel queAK=AE.

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A EK

F D B O C

d

Les me´diatrices du triangle EF KsontD(lacidee ´ mdeairtEF),AO(la me´diatrice deEK´emdaelcaiidrette)KF. Le triangleAEKeeleocisst doncAK=F Cdiatam ´ edericenolcdKFest aussi la bissectrice de l'an- \ gleBAC.AK=CF´ediatricedednolcmaKFest aussi la me´diatrice de AC. Les me´diatrices du triangle EF K se coupent en un meˆme point donc la me´diatrice de EKpasse par le point d'intersection de la bissectrice de l'an- \ gleBACet de la me´diatrice deAC. On voit avec cette de´monstration que l'hypoth ese  ”le triangleABC est isocele” ne sert pas.

A K E F I C O

d m B – Si le triangleABC est isocele, pour des raisons de syme´trie par rapport a OAint´de,onE1etF1ueiqtr´eesdsmuEetFpar rapport aOAainsi que D1 la me´diatrice de E1F1: E1:=symetrie(droite(A,O),E);segment(A,O); F1:=symetrie(droite(A,O),F); segment(E1,F1); D1:=mediatrice(E1,F1,affichage=1); 5

_ I:=inter unique(D,D1,affichage=1); On obtient : D1 A E E1 I F1 F D  CB O

Puis on fait bougertet on voit que le point al'aide du curseur Iintersection des me´diatrices de EFet deE1F1est xe. Commentd ´ enircepoint?I est le centre du cercle circonscrit a EF1E1F doncc'estaussil'interscetiondesm ´ ediatricesdeEF1et deE1F. PuisqueAE=BF1al ´ mdeairtcideeEF1estaussilam ´ edrtaidecieAB. PuisqueAE1 =CFamldi ´ eecedtairE1Fam ´ essilricediatedtsuaeAC doncI intersection des me´diatrices de ABet deACest xe et c'est le centre du cercle circonscrit au triangleABC. On tape alors : J :=centre(circonscrit(A,B,C)) ;pour voir queIetJsont con- fondus. –Onutilisedestransformations(carc'estlethe  me!) On cherche les transformations qui permettent de transformerEenF. On effectue successivement la syme´trie s1 par rapport a AObissectrice de \ l'angleBACtr ´ eymaselidivsueis2 par rapport ala me´diatrice de AC. On a : s1(E) =K=E1ec ´ espr ´ es)edentlcsea(evitnoonatt s2(E1) =FcarAE2 =CF. Doncs2(s1(E)) =Fde2sym ´ etriesparL.camoopisitnoppar  troseda droites concourantes est une rotation de centre le point de concours de ces droites. Donc icis2◦s1est une rotation de centre le point de concours de la \ bissectrice de l'angleBACet de la me´diatrice deAC. Donc le centre de cette rotation est le centre du cercle circonscrit au triangle ABClorsqueABCest isocele et sinon, ce centre n'a pas de nom c'est le \ point de concours de la bissectrice de l'angleBAC et de la me´diatrice de AC.

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1.5Analysedelar ´ eponsepropose ´ eparl'ele  ve ´ Danslare ´ ponsepropos ´ eeparl'e ´ le  ve: Le point xe est donc le point d'intersection des me´diatrices de [AB] et [AC] c'est adire le centre du cercle circonscrit au triangle ABC.il faut contester ledoncen lerempla¸cantlare ´ ponsepar: silame ´ diatricedeEFpasseparunpointxe,cepointxedoi ˆ ettrelepointd'inter- section des me´diatrices de [AB] et [AC] c'est adire le centre du cercle circonscrit au triangle ABC. Il reste ale de´montrer Pourconvaincrel' ´ el ´ eveonpeutrefaireleme ˆ meexerciceavecFsurACmais avecCF=AE2. On cherche les positions limites et cela ne donne rien car la ´diatrice de EFne passe pas par un point xe.... me Onfaitlagurecorrespondanteenmettantpourd´enirF: F :=inter unique(segment(A,C),cercle(C,longueur(A,E)/2)) ; et on observe la trace deD, on obtient :

BE

A

F

O C

une belle enveloppe ! ! ! 1.6 Les exercices faisant appel aux transformations En tant qu'outils de d e´monstration, les exercices faisant appel aux transforma- tions sont difciles car une transformation n'est souvent pas visible.... Par contre quand on a trouve´ la transformation, tout devient limpide et facile... Voici quelques exercices classiques (On se reportera au manuel de ge´ome´trie de

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Xcassnoi:)snomtartsd ´ eurlepo Problemes de construction –Construireuntriangle ´ equilate ´ ralABCde sommetA donne´ et ayant ses sommetsBetC sur 2 droites donne´es du plan. –Construireuntrianglee ´ quilat ´ eralABCayant ses sommetsA,BetCsur 3 droitesparalle  lesdonn ´ eesduplan. −→−→ Lethe ´ ore  meGH= 2OG Soit un triangleA B Cet soienttA1 B1 C1les milieux respectifs deBC,AC, AB. SoientGsoennc ´ tiv,edertargeHson orthocentre etOle centre de son cercle cir- conscrit. L'homoth e´tie hde centreGet de rapport -2 transformeA1enA, (respB1enB) et donc puisque l'homoth e´tie conserve les angles,htransforme la me´diatrice de BCen la hauteur issue deAcede ´ ediatrisedpr(ransonctelamformACen la hau- teur issue deB) donc transforme le centre le centreOde son cercle circonscrit en l'orthocentreHdonc : −→−→ GH=−2GO Le th´oreme de 1968 e Soit un triangle quelconque directABC. On construit sur les coˆte´s du triangle ABCescalsdirrr ´ estceCBDE,ACF Get BAKH, puis les paralle´logrammesF CDJetEBKL. Alors le triangleAJ L est isocele rectangle direct. Le theoreme de Napole´on ´ Soit un triangle quelconqueABC. On construit al'ext e´rieur du triangleABCgnelrtaiiual´sqeauxtereslBAD,CBE etACFqnoiuuoptnecredtrraegt ´ vie:G1,G2etG3. Onalespropri´et´essuivantes: Le triangleG1G2G3est e´quilate´ral et a meˆme centre de gravite´ que le triangle ABC. Les droitesAE,DC,BFsont concourantes en un pointTqui s'appelle le point de Torricelli. Le pointTest aussi le point de concours des cercles circonscrits aux triangles BAD,CBEetACF.

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2 Theme  : fonctions 2.1 L'exercice On trouve dans le manuel De´clic - Terminale S, enseignement obligatoire (Ha- chette 2006), dans le chapitre«it ´ etinuctnonoesaiitV-ransioctonF» i  ´ , l' en gme suivante : Le marcheur Un marcheur a parcouru 10 km en une heure. Existe-t-il un intervalle d'u ne demi- heure pendant lequel il a parcouru exactement 5 km ? 2.2 Un extrait de manuel Pour guider les e´leves dans la re´solution de l' e´nigme, le manuel De´clic propose l'exercice ci-dessous. Pourtpengrartpaapi'tnreavnenatla,ond´esille[0;1]f(t)la distance, en kilometres, parcourue al'instant t, en heures. Il est naturel de faire l'hypoth ese quefest une fonction continue sur [0 ;1]. 1.Pr ´ eciserf(0)etf(1). ´ 2. Ecrire l'  e´quation traduisant le probleme 3. Soitglavretni;0[eltiond´eniesurl'alofcn 2 1 ] par : g(t) =f(t 2 )+ 1 −f(t) De´montrer q  l'  ´  ationg(t) = 5admet au moins une solution dans l'in-ue equ tervalle [0 ; 1 2 ] 4. Conclulre 2.3 Le  travail aexposer devant le jury 1.Quelssontlessavoirsetlesme´thodesmisenjeuparl'´enigmeinitiale? 2.Commentpeut-onenvisagerd'introduiredansuneclassel'exercicedestin´e auxe ´ le  ves? Citerquelquesdifcult´esquepeuvente´prouvercertains´elevesfaceacette situation. Quelles autres formes d'aide sont envisageables ? 3.Pr´esenterlesexplicationsquevousdonneriezauneclasseaumomentde corriger la question 2. de l'exercice. 4.Proposerplusieursproble  mesa  supportconcretfaisantappela  lacontinuit ´ e oualade´rivabilite´desfonctions.

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