Capesext deuxieme composition de mathematiques 2003 capes maths capes de mathematiques

Description

Capes externe 2003, deuxi`eme ´epreuve page 1Notations, rappels et pr´esentation du probl`eme⁄L’ensemble des entiers naturels sera not´e N, celui des entiers relatifs Z. On notera (Z=nZ) l’ensembledes ´el´ements deZ=nZ inversibles pour la multiplication.´Etant donn´es deux entiers relatifs a et b, le plus grand diviseur commun de a et b sera not´e PGCD(a;b)ou a^b. On rappelle que a^0=a.a est dit premier avec b si a^b=1.a·bmodn signifie que a est congru `a b modulo n, c’est-`a-dire que n divise (b¡a).Un groupe (G;£) est dit cyclique s’il existe un ´el´ement a de G et un entier naturel p tel que G =' “2 3 p k1;a;a ;a ;:::;a , ou` a =a£a£:::£a (k termes); a est alors un g´en´erateur de (G;£).Pour un entier naturel n sup´erieur ou ´egal `a 2, on notera respectivement :S l’ensemble des entiers strictement positifs, inf´erieurs ou ´egaux `a n, et premiers avec n.nDble des diviseurs de n, entiers positifs (en particulier, 1 appartient `a D ).n nPLa notation d´esignera une somme ´etendue `a tous les ´el´ements d de D .nd2DnEnfin, on notera `(n) le cardinal de S .nLa premi`ere partie du probl`eme a pour but d’´etablir une identit´e due `a Euler concernant la fonction `,`a l’aide d’un raisonnement probabiliste.Dans la deuxi`eme partie, on ´etudie le groupe des ´el´ements inversibles pour la multiplication dansZ=nZ,et on montre que, si n n’a qu’un seul diviseur premier, alors ce groupe est cyclique.La troisi`eme partie introduit la notion de nombres ...

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Extrait

Capesexterne2003,deuxiemeepreuve

Notations,rappelsetpresentationduprobleme

page 1

∗ L’ensembledesentiersnaturelsseranoteN, celui des entiers relatifsZ. On notera (Z/nZ) l’ensemble deselementsdeZ/nZinversibles pour la multiplication.  Etantdonnesdeuxentiersrelatifsaetb, le plus grand diviseur commun deaetb(seranotePGCDa, b) oua∧b. On rappelle quea∧0 =a. aest dit premier avecbsia∧b= 1. a≡bmodnsignie queautrsgoncaebmodulonrediequst’ea--c,ndivise (b−a). Un groupe (G,×ntmeeelneutsixeli’seuqilcy)estditcadeGet un entier naturelptel queG= © ª 2 3p k 1, a, a, a, . . ., a,oua=a×a×. . .×a(ktermes) ;aesuoralstrenegn(edruetaG,×). Pour un entier naturelnroeueguaalon2,etonerarcepsevit:emtnspueir S n i,sfitisoptnemetgaeourseurienfmelbe’snltricerssentiedesxuan, et premiers avecn. D n l’ensemble des diviseurs denosspifiten,ertiitrappa1atnertpaens(r,ieulicD n ). P LanotationdesigneraunesommeetendueatousleselementsddeD n . d∈D n Enn, on noteraφ(n) le cardinal deS n .

Lapremierepartieduproblemeapourbutd’etabliruneidentitedueaEulerconcernantlafonctionφ, al’aided’unraisonnementprobabiliste. Dansladeuxiemepartie,onetudielegroupedeselementsinversiblespourlamultiplicationdansZ/nZ, et on montre que, sinn’a qu’un seul diviseur premier, alors ce groupe est cyclique. Latroisiemepartieintroduitlanotiondenombrespseudo-premiersfortsetseproposed’endonnerune caracterisationalgorithmiquesurunecalculatriceprogrammable. Enn,laquatriemepartieapourobjetl’etudedenombresappelesnombresdeCarmichael,presentant dessimilaritesaveclesnombrespremiers,etsetermineparlapresentationd’untestprobabilistepourla detectiondenombrespremiers.